高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法高效测评 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

人教A版选修2-2
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新人教A版选修2—2
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝错误!(a≠1）”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4
解析：将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C。

答案：C
2．用数学归纳法证明(n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n·1·3·…·(2n－1)（n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为( )
A．2（2k＋1) B．2k＋1
C．错误!D．错误!
解析：当n＝k时,等式左端为（k＋1）（k＋2）·…·（k＋k），
当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1）（k＋1＋2）…(k＋k)（k＋k＋1)（2k＋2)，
∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2（2k＋1）．
答案：A
3．若命题A(n）(n∈N*）n＝k(k∈N*）时命题成立,则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n
(n0∈N*）时命题成立．则有（)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析：由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案: C
4．k棱柱有f(k）个对角面,则(k＋1）棱柱的对角面个数f（k＋1）为（k≥3,k∈N*）（) A．f（k)＋k－1 B．f(k）＋k＋1
C．f(k）＋k D．f（k）＋k－2
解析：三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋（3－1）)；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋（4－1)）;六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋（5－1）)．猜想：若k棱柱有f（k)个对角面，
则（k＋1)棱柱有f（k)＋k－1个对角面．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分）
5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n〉n3"时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
解析：∵210＝1 024>103,29＝512〈93，
∴填10.
答案：10
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＊)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1,右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1,则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝错误!＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＊，等式都成立．
上述证明的错误是________．
解析：本题在由n＝k成立,证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案: 未用归纳假设
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．用数学归纳法证明：1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＋）．
证明: (1）当n＝1时，左边＝1－错误!＝错误!＝右边,等式成立．
（2）假设当n＝k时等式成立，即1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!
＋…＋1
2k 。

当n＝k＋1时，1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!－错误!＝错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1）和（2），知等式对所有n∈N＋都成立．
8．用数学归纳法证明1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋n（n∈N*)．
证明：(1）当n＝1时，左式＝1＋错误!,右式＝错误!＋1,
∴错误!≤1＋错误!≤错误!，命题成立．
（2）假设当n＝k(k∈N＊)时命题成立，即1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋k,
则当n＝k＋1时，
1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＞1＋错误!＋2k·错误!＝1＋错误!。

又1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜错误!＋k＋2k·错误!＝错误!＋（k＋1）,
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1）和(2）可知,命题对所有n∈N＊都成立．
错误!☆☆☆
(10分)是否存在一个等差数列{a n}，使得对任何自然数n,等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n ＋1）（n＋2）都成立，并证明你的结论．
解析：将n＝1,2，3分别代入等式得方程组：
错误!
解得a1＝6,a2＝9，a3＝12,
设等差数列{a n}的公差为d,则d＝3，从而a n＝3n＋3。

故存在一个等差数列a n＝3n＋3，
使得当n＝1,2，3时，等式成立．
下面用数学归纳法证明结论成立．
①当n＝1时，结论显然成立．
②假设n＝k（k≥1，且k∈N*）时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k
＝k（k＋1)(k＋2)．
那么当n＝k＋1时，
a
＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋（k＋1)a k＋1
1
＝k(k＋1)（k＋2）＋（k＋1）［3（k＋1)＋3]
＝（k＋1)（k2＋2k＋3k＋6）
＝（k＋1）(k＋2)（k＋3）
＝（k＋1）[(k＋1）＋1］[（k＋1）＋2］
所以当n＝k＋1时结论也成立．
由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，
使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n（n＋1）（n＋2)都成立．。