例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”
湖州二中陆丽滨
日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91=对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．
在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．
在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、比较两个集合的元素个数
人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：
{1,2,,,}A n =,{2,4,,2,}B n =，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合B 是集合A 的真子集吗？”
我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？ 其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n 维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．
今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”
为此，有如下定理：
（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．
（2）有限集合不和其任何真子集等势．
（3）无限集合可以和其真子集等势．
二、 割圆术，化直为曲
刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十
二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．
这种处理是比较符合直观的．从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．
正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．
这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．
三、 数式中的有限与无限
3.1 （定）积分
看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．
从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数()f x ，直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积． 步骤如下：将区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -
(1)i n ≤≤，每个区间上任取一点i ξ，以()i f ξ作为矩形的高，求出n 个矩形的面积并求和：
11lim lim [()()]()b n n i i i n n i a S S f x x f x dx ξ-→∞→∞===⋅-=∑⎰
3.2 数列极限的公式
数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：111lim()n n n n n
→∞
+++个如何计算？按照有限的计算法则，11lim()n n n
n →∞++个11lim lim
0n n n n n →∞→∞=++=个，显然是不对的！不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法
则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的！
3.3 球表面积、体积公式的推导
球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！
如图1所示，)i r i n =≤≤
21122()n n i i i i R V V r n π====⋅∑∑322321(1)42lim[()]3
n R n n R n n ππ→∞++-=-=．
如图2所示，将球分割成n 份三棱锥，其体积
11111333n
n i i i i V S R R S R S ===⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∑∑，由上述球的体积公式，得：2
4S R
π=． 3.4 结合律和分配律的使用
大家都知道()()a b c a b c ++=++，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：
图2
图1
1(1)1(1)1
z=+-++-++，如果你认为数的加法可以任意结合，那么z=+-++=+
1[(1)1]10
++=，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：01
，也没有问题吧！这时推出的结论z=+-++-+=++
[1(1)][1(1)]0
z
==就有大问题了！原因何在呢？
01
解释并不困难：结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误．所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”！
四、切线：割线的极限位置
中学阶段对切线的认识，是逐步深入的．平面几何中，直线和圆与一个交点叫做相切；而在后来的圆锥曲线中，双曲线学习时便会出现新的问题，而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点不止一个，因此不能用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．
如图3所示，直线与圆相切的情形
在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负
迁移的影响，不少学生对切线问题产生
错误的想法，导致错解时常发生，因此
要加强概念性知识的理解．于是，割线
“无限化”之后，才有了较为科学的切图3
线定义，避开从交点的个数来定义，方便得解决了切线的概念问题．
五、古典概型与几何概型中的概率加法公式
大家知道，必修3中的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而几何概型是一种连续性的等可能性概型．恰恰因为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度．
概率加法公式：()()()1P A B P A P B +=+=
如图4，古典概型中，概率加法公式体现事件A 、B 必定是一对互斥事件，这是离散、有限决定的，也是学生易理解的；如图5，我们也可以看到其实概率加法公式体现的事件A 、B 就不一定是互斥事件，这是连续、无限所凸显的．如图5所示，譬如：在区间[0,2]内投点，记落在区间[0,1]内为事件A ，落在区间[1,2]内为事件B ，显然概率论加法公式()()()1P A B P A P B +=+=在几何概型中也是成立的，事件A 、B 不互斥！
另一方面，有限的古典概型和无限的几何概型又是相容相通的． 问题：甲、乙、丙三人相约7点到8点之间在某处会面，一起乘车去游玩，已知该车站每隔30分钟有一班车，发车时间为7点30，8点，若3人约定在车站就乘，求3人乘同一班车的概率．
分析：设甲、乙、丙三人分别在7点到8点之间的x 分、y 分、z 分到达，则所有可能的结果表示的区域为棱长60的正方体．记事件A 表示三人乘同一班车，要使得事件A 发生，只需三人同一个30分钟内达到即可．
解法（1）：事件A 表示的可能结果（如图6所示）： A
B 图 4 图5
0303060(,,)03030600303060x x A x y z y or y z z ⎧≤≤<≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤≤<≤⎨⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤≤<≤⎩⎩⎩⎭
，
表示的空间区域为2个棱长为30的正方体，由几何概型的公式可得：
332301()604
A V P A V Ω⨯===．
解法（2）：因为三人乘坐哪一班车是随机的，且等可能的，若以三人的一种乘车方式作为一个基本事件，则基本事件的总数为2228⨯⨯=种，而三人同乘一班车包含2个基本事件，因此概率为2184
=．
古典概型与几何概型的本质是对于基本事件个数有限还是无限的一种区分，有些问题中，不同角度理解基本事件，“有限”、“无限”的问题还能相互转化．
六、 希尔伯特旅馆
有一个故事据说出自杰出的数学家大卫.希尔伯特之口，上述引语就是他说的．一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅馆想要一个房阿．店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间．”然后店主离开了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间图6
的房客搬到了2号房间，2号房间的房客搬到了3号房间……
以此类推，直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止．令这位迟来者感到十分吃惊的是，i号房间竟然被腾了出来．他很高兴地搬了进去，然后安顿下来过夜．但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢?（要知道，他来时所有的房间都住人了）这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据认为无数个房间的旅馆！
这是一个关于无限的趣味故事，从这里也让学生深深知道：从“有限”到“无限”是很容易产生质变的！也让教师的教与学更上层楼！
七、中学生“有限”、“无限”教育观念的认识
在我国中学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时．但是在数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是有关数学基础和数学哲学的问题．
在数学上有限与无限是相互联系的．无限是由有限构成的．无限又要通过有限来表现，加以掌握．例如，自然数集是无限的，但它是由无数个具体的有限数组成的；周期函数的图像长度是无限的，但刻画它的最小正周期却是有限的；直线的长度是无限的，而线段作为构成直线的部分，其长度却是有限的；向量空间所含向量个数是无限的，而表达该向量空间的基底（向量）个数却是有限的；数学归纳法表达的是关于无限的推理过程，而它的证明步骤却只有两步．反之，有限中存在着无限．例如，0到1的单位线段上就有无限多个有理数点，也有无限多个无理数点．在“整除”关系中，约数是有限的，而倍数的个数是无限的；有理数、无理数值都是有限数，而它们的级数表达式既体现了无穷小，又体现了无穷多．
总之在中学数学教学中，应向学生普及一些与数学基础和数学哲学有关的知识，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判的人文观念．也许这样会使中学生更喜欢数学，更能深刻认识像“无限”这一类涉及数学基础和数学哲学等概念的博大内涵．
参考文献：
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教育学报[J].2007,11
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[3]杨之.王雪芹.无限性与数学教育.中学数学月刊[J].2006,7
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