2015-2016年福建省三明市清流一中高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年福建省三明市清流一中高一（下）期中数学试卷一.选择题（本题12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题
意，请将正确答案填入答题卷中．）
1．（5分）观察如图所示几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱2．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）
A．1B．4C．3D．不确定3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）
A．9B．C．5D．
4．（5分）在△ABC中，有a2+b2﹣c2=ab，则角C为（）
A．60°B．120°C．30°D．45°或135°5．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5B．x2+（y﹣2）2=5
C．（x+2）2+（y+2）2=5D．x2+（y+2）2=5
6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
7．（5分）如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三
边及中线AD中，最长的线段是（）
A．AB B．AD C．BC D．AC
8．（5分）直线（2m2﹣5m+2）x﹣（m2﹣4）y+5m=0的倾斜角45°，则m的值为（）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
9．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．
C．D．
10．（5分）若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2﹣λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[，1]
C．（1，+∞）∪（﹣∞，）D．R
11．（5分）等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]
二.填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）圆x2+y2=4上的点到点A（3，4）的距离的最大值是．14．（5分）正方体的内切球与外接球的表面积的比为．
15．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为．
16．（5分）下列命题：
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④三条平行线最多可确定三个平面．
其中正确答案的序号是．
三.解答题（共6题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体切削得到，求切削掉部分的体积．
18．（12分）在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=8，求角C及边c的大小．19．（12分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0，求满足下列条件的直线l2的方程．
（1）l1与l2平行且过点（﹣1，3）
（2）l1与l2垂直且与两坐标轴围成的三角形面积为4．
20．（12分）过点（4，﹣3）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的切线，求此切线的方程．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC1；
（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
22．（12分）已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D
（1）求圆Q的方程．
（2）若△QCD的周长为18，求m的值．
2015-2016学年福建省三明市清流一中高一（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题
意，请将正确答案填入答题卷中．）
1．（5分）观察如图所示几何体，其中判断正确的是（）
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱【解答】解：图形①，不满足棱台的定义，所以①不正确；
图形②，不满足圆台的定义，所以②不正确；
图形③满足棱锥的定义，所以③正确；
图形④是棱柱，所以④的判断不正确．
故选：C．
2．（5分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）
A．1B．4C．3D．不确定
【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，
∴AB的斜率和AC的斜率相等，
即=，
∴a=3，
故选：C．
3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线AC1的长为（）
A．9B．C．5D．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，C1（0，2，3）．
则对角线AC1的长为：=．
故选：B．
4．（5分）在△ABC中，有a2+b2﹣c2=ab，则角C为（）
A．60°B．120°C．30°D．45°或135°【解答】解：△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC===，
故C=60°，
故选：A．
5．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2=5B．x2+（y﹣2）2=5
C．（x+2）2+（y+2）2=5D．x2+（y+2）2=5
【解答】解：圆（x+2）2+y2=5的圆心（﹣2，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（2，0）所求圆的方程是（x﹣2）2+y2=5．
故选：A．
6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z
轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故选：D．
7．（5分）如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）
A．AB B．AD C．BC D．AC
【解答】解：△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图中，AB⊥BC，AC为斜边，最长的线段是AC，
故选：D．
8．（5分）直线（2m2﹣5m+2）x﹣（m2﹣4）y+5m=0的倾斜角45°，则m的值为（）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【解答】解：∵直线（2m2﹣5m+2）x﹣（m2﹣4）y+5m=0的倾斜角45°，当m2=4时，与题意不符，
∴=1，解得m=3或m=2（舍去）．
故选：D．
9．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：C．
10．（5分）若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2﹣λ+1=0表示圆，则λ的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[，1]
C．（1，+∞）∪（﹣∞，）D．R
【解答】解：因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2﹣λ+1=0表示圆，
所以D2+E2﹣4F＞0，
即4λ2+4λ2﹣4（2λ2﹣λ+1）＞0，
解不等式得λ＞1，
即λ的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
11．（5分）等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C﹣BM﹣A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=BC=1，M为AC中点，
∴AM=CM=BM=，AM⊥BM，CM⊥BM，
所以沿BM把它折成二面角后，∠AMC就是二面角的平面角．
在△AMC中，∵AM=CM=，AC=1，
由余弦定理，知cos∠AMC==0，
∴∠AMC=90°．
故选：C．
12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．
二.填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）圆x2+y2=4上的点到点A（3，4）的距离的最大值是7．
【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2，
∵点A（3，4）与圆心的距离为d=5，圆的半径为2，
∴圆x2+y2=4上的点到点A（3，4）的距离的最大值是d+r=5+2=7，
故答案为：7．
14．（5分）正方体的内切球与外接球的表面积的比为．
【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，
正方体的内切球与外接球的面积之比：==．
故答案为：．
15．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为1或﹣3．
【解答】解：∵直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，
解得a=1或a=﹣3．
故答案为：1或﹣3．
16．（5分）下列命题：
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④三条平行线最多可确定三个平面．
其中正确答案的序号是③④．
【解答】解：①没有公共点的两条直线是异面直线错误，平行直线也没有公共点，故①错误；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面错误，有可能相交，故②错误；
③若直线与另一条直线平行，根据直线平行的性质可知这两条直线也平行于这两
条直线是异面直线矛盾，
即一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；故③正确，
④三条平行线最多可确定三个平面．正确，故④正确，
故答案为：③④．
三.解答题（共6题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体切削得到，求切削掉部分的体积．
【解答】解：由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．切削掉部分的体积V1=π×32×6﹣π×22×4﹣π×32×2=20π（cm3）．
18．（12分）在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=8，求角C及边c的大小．【解答】解：∵在△ABC中，A=30°，a=8，b=8，
∴由正弦定理=，得sin B===，
又∵b＞a，
∴B=60°或120°．
当B=60°时，C=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴；
当B=120°时，C=180°﹣30°﹣120°=30°，
∴a=c=8．
19．（12分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0，求满足下列条件的直线l2的方程．
（1）l1与l2平行且过点（﹣1，3）
（2）l1与l2垂直且与两坐标轴围成的三角形面积为4．
【解答】解：（1）直线l1：3x+4y﹣12=0，，
∵l1∥l2∴，
∴直线l2：y=，
即3x+4y﹣9=0，
（2）∵l1⊥l2，
∴，
设l2的方程为y=，
则它与两坐标轴交点是（0，b），（），
∴S=，即，
∴b=，
∴直线l2的方程是．
20．（12分）过点（4，﹣3）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的切线，求此切线的方程．
【解答】解：设过P点的圆的切线为y+3=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣3=0
它与圆心（3，1）的距离等于半径，故=1．
解得，k=，过P点的圆的切线方程：15x+8y﹣36=0
当k不存在即过（4，﹣3）与x轴垂直的直线方程：x=4．
故过P点的圆的切线方程为15x+8y﹣36=0或x=4．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC1；
（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，
∴cos∠CED==，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
解法二：
∵直三棱锥ABC﹣A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直．如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），
B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），∴•=0，
∴⊥．
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）
∵=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），
∴=，∴∥
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．
（Ⅲ）∵=（﹣3，0，4），=（0，4，4），
∴cos＜，＞==，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
22．（12分）已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D
（1）求圆Q的方程．
（2）若△QCD的周长为18，求m的值．
【解答】解：（1）解：∵圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，﹣2），（1，6），
∴由题意得：，
∴则圆方程为x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0．
（2）∵圆x2+y2﹣8x﹣4y﹣5=0的圆心Q（4，2），半径r==5，
直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣6=0与圆Q相交于C，D，△QCD的周长为18，
弦CD的长度为：18﹣2r=18﹣10=8，
∴圆心（4，2）到直线l的距离为=4，∴，
解得．…（12分）。