2017版高考数学课件：7.4 直线、平面平行的判定与性质

EN 1
= ,得MN∥AB.又
NB 2
MN⊄平面ABC,MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABC,AB⊂平面ABD,因此,MN∥
平面ABC,MN∥平面ABD.
第十一页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
6.(2015浙江杭州西湖高级中学月考)如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1
D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
解析 (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面
GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
c
(2)连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.
第二十三页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
1,1), BC=(1,1,0).
第十四页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),
n AB 0, x 0,
则
即
n AF 0, y z 0.
令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1).
设直线BC与平面ABF所成角为α,
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线面平行的判定方法:(1)定义法:证明直线与平面没有公共点,通常要借
助于反证法来证明.
(2)判定定理法:在平面内找到一条直线与已知直线平行.
(3)利用面面平行的性质定理证明直线为一平面与两平行平面的交线.
(4)向量法:证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;或证明直线的方向
第二页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
(2)判定定理(文字语言、图形语言、符号语言)
序号
文字语言
图形语言
符号语言
判定
如果一个平面内有两条相交的直线都平
a⊂α,b⊂α,
定理1
行于另一个平面,那么这两个平面平行(简
a∩b=P,
记为“③ 线面平行⇒面面平行
a∥β,b∥β
”)
⇒α∥β
判定
如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.
因为n是平面ABF的法向量,所以n· AH
=0,
即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.
4 2 2
பைடு நூலகம்
2
解得λ= ,所以点H的坐标为 , , .
3
3 3 3
2
2
2
所以PH= 4 2 4 =2.
3 3 3
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5.如图所示,在四面体ABCD中,M、N分别是△ACD、△BCD的重心,则四
面体的四个面中与MN平行的是
.
答案
平面ABC、平面ABD
解析
连结AM并延长,交CD于E,连结BN并延长,交CD于F,由重心性质可
c
知,E、F重合为一点,且该点为CD的中点,由
EM
=
MA
·GK=
2
4 ×83=18.
2
第二十五页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
平面与平面平行的判定与性质
典例2 (2015浙江杭州模拟,18,15分)如图所示,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底
面ABCD为菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:平面AB1C∥平面DA1C1;
(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位
∵A1B1 AB DC,
∴四边形A1B1CD为平行四边形.
∴A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P,
使C1C=CP,连结BP,
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面
GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
∴BE∥平面AOC1.
∵O为BC的中点,E是B1C1的中点,
∴OE∥BB1,且OE=BB1,又AA1 BB1,∴OE∥AA1,且OE=AA1,
第二十页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
则四边形AA1EO为平行四边形,∴A1E∥AO,
又AO⊂平面AOC1,A1E⊄平面AOC1,
∴A1E∥平面AOC1.∵A1E∩BE=E,
∴A1B∥平面AOC1.
1-2 (2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方
形,四条侧棱长均为2
,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四
17
点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
第二十二页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
(1)证明:GH∥EF;
点,∴A1B∥OD,
又A1B⊄平面AOC1,OD⊂平面AOC1,
∴A1B∥平面AOC1.
第十九页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
证法二:取B1C1的中点E,连结BE,A1E,OE,
∵O为BC的中点,且四边形BCC1B1为平行四边形,
∴BO EC1,∴四边形BOC1E为平行四边形,
∴BE∥OC1,又OC1⊂平面AOC1,BE⊄平面AOC1,
故选C.
第八页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
4.在空间中,有如下命题:
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条
直线;
②若平面α∥平面β,则平面α内任意一条直线m∥平面β;
③若平面α与平面β的交线为m,平面α内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面
β;
④若平面α内的三点A,B,C到平面β的距离相等,则α∥β.
②若l⊥α,m⊥β,且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中真命题的个数是
(
A.0
D.3
B.1
答案 C
C.2
)
m可能在α内,①错;由l∥m,m⊥β得l⊥β,由l⊥α,l⊥β得α∥β,②
c
对;只有当m与n相交时,才有α∥β,③错;根据面面垂直的性质定理知④对,
1 ,即K为OB的中点.
从而KB= 1DB= OB
4
2
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。
1 ,即G是PB的中点,且GH= BC=4.
1
再由PO∥GK得GK= PO
2
2
由已知可得OB=4 ,PO=
=6,
2
68 32
PB 2 OB=2
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S= GH EF
又因为AB⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,
所以AB∥平面PDE.
因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,
所以AB∥FG.
(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.
建立空间直角坐标系A-xyz如图,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,
1.直线与平面的位置关系
位置关系
公共点个数
直线在平面内
直线上所有点都在平面内
直线和平面相交
直线与平面有且仅有一个公共点
直线和平面平行
直线与平面没有公共点
直线在平面外
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2.直线和平面平行
(1)定义:直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行,记作l∥α.
(2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么
则sin α=|cos<n, BC
>|=
n BC= . 1
| n || BC | 2
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 .
6
设点H的坐标为(u,v,w).
因为点H在棱PC上,所以可设
=λ
PH
(0<λ<1),
PC
即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2).
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向量能被平面上的两个不共线向量线性表示.
第十七页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
1-1 (2015浙江深化课程改革协作校期中,20(1),7分)已知三棱柱ABC-A1
B1C1,O为BC的中点.求证:A1B∥平面AOC1.
第十八页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
证明 证法一:连结A1C,交AC1于D,连OD,则D为A1C的中点,又O为BC的中
边形EFGH及其内部运动,则M满足条件
时,有MN∥平面
B1BDD1.
答案 M∈线段FH
解析
连结FH,HN,FN,由题意易得平面
c HNF∥平面B1BDD1,故当M点在
线段FH上时,有MN∥平面B1BDD1.
第十二页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
直线与平面平行的判定与性质
典例1 (2014北京,17,14分)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,
其中正确命题的个数为
A.1
B.2
C.3
(
)
D.4
第九页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
答案
A ①中,互相平行的两条直线的射影可能重合,也可能为两个点;
②正确;③中,平面α与平面β不一定垂直,所以直线n不一定垂直于平面β;
④中,若平面α内的三点A,B,C在同一条直线上,则平面α与平面β可以相交,
所以④错误.综上,只有命题②正确.
置;若不存在,说明理由.
第二十六页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
解析
(1)证明:由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1,A1D∥B1C,又
AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D,所以平面AB1C∥平面DA1C1.
第二十七页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
(2)存在这样的点P满足题意.
4.线线平行、线面平行、面面平行的转换
5.解答或证明线面平行、面面平行的有关问题,常常要作辅助线或辅助
面.
第五页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
1.(2015浙江五校第一次联考)设m、n表示两条不同的直线,α、β表示两
个不同的平面,则下列结论中正确的是
(
)
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
定理2
两个平面平行
判定
平行于同一个平面的两个平面平行
定理3
l

l ⇒α∥β
⇒α∥γ


第三页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
(3)性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)
序号
文字语言
性质
如果两个平面平行,那么在一个平面内
α∥β且a⊂α
定理1
所有直线都平行于另一个平面
⇒a∥β
性质
如果两个平行平面同时和第三个平面
α∥β且γ∩α=a
定理2
相交,那么它们的交线平行(简记为
且γ∩β=b⇒a∥b
“ ④ 面面平行⇒线线平行
图形语言
符号语言
”)
性质
如果两个平行平面中有一个垂直于一
α∥β且l⊥α
定理3
条直线,那么另一个平面也垂直于这条
⇒l⊥β
直线
第四页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
答案
D A选项不正确,n还有可能在平面α内;B选项不正确,还有可能
c
平面α与平面β相交;C选项不正确,n还有可能在平面
β内,D选项正确.
第六页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
2.α为平面,m,n是两条不同的直线,则m∥n的一个充分条件是 (
MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC
分别交于点G,H.
(1)求证:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并
求线段PH的长.
第十三页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
解析 (1)证明:在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE.
A.m∥α且n∥α
B.m,n与平面α所成的角相等
C.m⊥α且n⊥α
D.m,n到平面α的距离相等
答案 C
)
若m⊥α且n⊥α,则m∥n,反之,不成立,故选C.
c
第七页，编辑于星期六：二十点 二十四分。
3.已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,给出下列命
题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
这条直线和这个平面平行(简记为“①
线线平行⇒线面平行
”).
(3)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个
平面相交,那么这条直线就和交线平行(简记为“②
线面平行⇒线线平行 ”).
3.两个平面平行
(1)定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面.符号表示:平面α、平面β,
若α∩β=⌀,则α∥β.
∴平面A1BE∥平面AOC1,
第二十一页，编辑于星期六：二十点 二十四分
。
又A1B⊂平面A1BE,∴A1B∥平面AOC1.
1
证法三:∵ BA1= BA+ BB,1 OA= BA
- BO
= BA
,
BC
2
1
+ OC
,1
OC1 = OC+ CC1= BC+ BB,∴
BA=1 OA
1
2
又A1B⊄平面AOC1,OA⊂平面AOC1,OC1⊂平面AOC1,OA∩OC1=O,