高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.3集合的基本运算交集与并集

第1课时交集与并集
考点学习目标核心素养
交集的概念及运算理解交集的概念，会用符号、维
恩图表示交集，并会求简单集合
的交集
数学抽象、数学运算
并集的概念及运算理解并集的概念，会用符号、维
恩图表示并集，并会求简单集合
的并集
数学抽象、数学运算
交集与并集的性质
掌握交集与并集的相关性质，并
会应用
逻辑推理、数学运算、数学抽象问题导学
预习教材P14－P17，思考以下问题：
1．两个集合的交集与并集的含义是什么？
2．如何用维恩图表示集合的交集和并集？
3．交集和并集有哪些性质？
1．交集
2．并集
■名师点拨
(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成的，而非部分元素组成．
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪∅＝A A∩∅＝∅
A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∪B的元素个数等于集合A中元素的个数与集合B中元素的个数的和．( )
(2)并集定义中的“或”能改为“和”．( )
(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )
(4)交集的元素个数一定比任何一个集合的元素个数都少．( )
(5)若A∩B＝A∩C，则必有B＝C.( )
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×
已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( ) A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}
C．{－1，0，2} D．{0，1}
解析：选B.M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}．
设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( ) A．{1，3} B．{3，5}
C．{5，7} D．{1，7}
解析：选B.因为A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，所以A∩B ＝{3，5}．
已知区间M＝(－1，3)，N＝(－2，1)，则M∩N＝________．解析：在数轴上表示出区间，如图所示，
由图知M∩N＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
集合交集的运算
(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝( )
A．{0，1} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
(2)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B ＝( )
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}
【解析】(1)易知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N＝{－1，0，1}，故选B.
(2)将集合A、B画在数轴上，如图，
由图可知A∩B＝{x|2<x<3}，故选C.
【答案】(1)B (2)C
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
1．若区间A ＝(－2，1)，B ＝(0，2)，则集合A ∩B ＝(
) A ．(－1，1) B ．(－2，1)
C ．(－2，2)
D ．(0，1)
解析：选D.如图，
因为A ＝(－2，1)，
B ＝(0，2)，
所以A ∩B ＝(0，1)．
2．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝( )
A ．{2，1}
B ．{x ＝2，y ＝1}
C ．{(2，1)}
D ．(2，1)
解析：选C.A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1＝{(2，1)}．
集合并集的运算
(1)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ∪B ＝(
) A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3}
C ．{2，3，4}
D ．{1，3，4}
(2)已知区间P＝(－1，1)，Q＝(0，2)，那么P∪Q＝( )
A．(－1，2) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
(3)点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】(1)由题意A∪B＝{1，2，3，4}．
(2)因为P＝(－1，1)，
Q＝(0，2)，画数轴如图所示，
所以P∪Q＝(－1，2)．
(3)由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．【答案】(1)A (2)A (3)A
1．(2019·福州检测)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0，3}
C．{1，3，9} D．{0，1，3，9}
解析：选D.因为M＝{0，1，3}，
N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，
所以M∪N＝{0，1，3，9}．
2．若集合M ＝{x |－3＜x ≤5}，N ＝{x |x ＜－5或x ＞5}，则M ∪N ＝________．
解析：将－3＜x ≤5，x ＜－5或x ＞5在数轴上表示出来， 所以M ∪N ＝{x |x ＜－5或x ＞－3}．
答案：{x |x <－5或x >－3}
交集、并集性质的应用
已知区间A ＝(2，4)，B ＝(a ，3a )(a >0)．
(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．
【解】 (1)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，
观察数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2. (2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图． 观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a >0，
所以0<a ≤23
或a ≥4. (变条件)本例条件下，若A ∩B ＝(3，4)，求a 的值．
解：画出数轴如图，
观察数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，3a ≥4，
即a ＝3.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝
A ，A ∪
B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．
1．已知集合M ＝{1，2，a 2
－3a －1}，N ＝{－1，a ，3}，M ∩N ＝{3}，则实数a 的值为________．
解析：因为M ∩N ＝{3}，
所以a 2－3a －1＝3，
解得a ＝－1或a ＝4.
又N ＝{－1，a ，3}，所以a ≠－1，所以a ＝4.
答案：4
2．已知集合A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．
解：由a <a ＋8，又B ＝{x |x <－1或x >5}，
在数轴上表示出集合A ，B ，如图，
要使A ∪B ＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8≥5，a <－1， 解得－3≤a <－1.
综上，可知a 的取值范围为{a |－3≤a <－1}．
1．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，则(A ∩B )∪C 等于( )
A．{1，2，3} B．{1，2，4}
C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A∩B＝{1，2}．
又C＝{2，3，4}，
所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．
2．已知区间A＝[－3，4)，B＝[－2，5]，则A∩B＝( ) A．[－3，5] B．[－2，4)
C．[－2，5] D．[－3，4)
解析：选B.因为区间A＝[－3，4)，B＝[－2，5]，所以A∩B ＝[－2，4)．
3．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N*}，则M∩N ＝( )
A．{0} B．{1，2}
C．{1} D．{2}
解析：选C.因为N＝{1，3，5，…}，M＝{0，1，2}，所以M∩N ＝{1}．
4．已知区间A＝[3，9]，B＝(2，5)，C＝(a，＋∞)．
(1)求A∪B；
(2)若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
解：(1)由A＝[3，9]，B＝(2，5)，得A∪B＝(2，9]．
(2)由B∩C＝∅，B＝(2，5)，
C＝(a，＋∞)，得a≥5，
故实数a的取值范围是[5，＋∞)．
[A 基础达标]
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
解析：选D.集合M＝{0，－2}，N＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，选D.
2．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
解析：选C.在数轴上表示两个集合，如图，
易知P∪Q＝{x|x≤4}．
3．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B.(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩C＝{1，2，4}．
4．已知集合M＝{－1，1}，则满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.依题意，得满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N有{2}，{－1，2}，{1，2}，{－1，1，2}，共4个．
5．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B ＝________；A∩B＝________．
解析：如图所示，借助数轴可知，
A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．
答案：R{x|4≤x＜5}
6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．
解析：当a＞2时，A∩B＝∅；
当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；
当a＝2时，A∩B＝{2}．
综上，a＝2.
答案：2
7．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，维恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
答案：2
8．设集合A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A ∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解：(1)因为A∩B＝{2}，
所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，
所以(A∪B)∩C＝{2}．
9．(2019·伊春检测)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.
[B 能力提升]
10．下列表示图形中的阴影部分正确的是( )
A．(A∪C)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C) D．(A∪B)∩C
解析：选A.阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分．所以A正确．
11．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________．解析：因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2，5}，
所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
答案：－14
12．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C ＝{－1，7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1，7}且A∩B＝C，得
7∈A，7∈B，－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3.
当x ＝－2时，在集合B 中，x ＋4＝2，
又2∈A ，故2∈A ∩B ＝C ，
但2∉C ，故x ＝－2不合题意，舍去；
当x ＝3时，在集合B 中，x ＋4＝7，
故有2y ＝－1，
解得y ＝－12
， 经检验满足A ∩B ＝C .
综上知，所求x ＝3，y ＝－12
. 此时A ＝{2，－1，7}，B ＝{－1，－4，7}，
故A ∪B ＝{－1，2，－4，7}．
13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．
(1)A ∩B ＝∅；
(2)A ⊆(A ∩B )．
解：(1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5， 即a <6.
若A ≠∅，如图所示，
则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，
解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是
{a |a ≤7}．
(2)因为A ⊆(A ∩B )，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B .
显然A ＝∅满足条件，此时a <6.
若A ≠∅，如图所示，
则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －53a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16.
由⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1，解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16，解得a >152
. 综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a <6或a >152
}． [C 拓展探究]
14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
(2)这三天售出的商品最少有________种．
解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售
出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，
则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－
x )－x ＝16(种)．
(2)这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．
由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，
所以0≤y ≤14.
所以(43－y )min ＝43－14＝29.
答案：(1)16 (2)29。