2014年全国高考理科数学试题及答案-天津卷

绝密 ★ 启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B =+U
()()()P AB P A P B =.
•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式1
3
V Sh =
. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，
h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）i 是虚数单位，复数
734i
i
+=+（ ）
（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）
17312525i + （D ）172577
i -+
E
D C
B
A
（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z x y =+的
最小值为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）
（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945
（4）函数()()
212
log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）
（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥
（D ）(),2-?
（5）已知双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：
210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） （A ）
221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）
2233125100x y -= （D ）22
33110025
x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的
圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF Ð；
②2
FB FD FA =?； ③AE CE BE DE ??；
④AF BD
AB BF ??.
则所有正确结论的序号是（ ）
（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④
（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）
（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?o ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，
DF DC m =.若1AE AF ?u u u r u u u r ，2
3
CE CF
?-
u u u r u u u r ，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712
第Ⅱ卷
注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. （10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体
积为_______3
m .
（11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.
若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. （12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知
1
4
b c a -=
，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. （13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相
交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________.
（14）已知函数()2
3f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则
实数a 的取值范围为__________
.
俯视图
侧视图
正视图
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）
已知函数()2
3cos sin 3cos 3f x x x x π⎛
⎫
=⋅+-+ ⎪
⎝
⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，
2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.
（Ⅰ）证明 BE DC ^；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角
F AB P --的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知
123
2
AB F F =
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该
圆相切. 求直线的斜率.
（19）（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-L ，集合
{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+?==++L L .
（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；
（Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，11
2n n t b b q b q -=+++L ，其中
（20）（本小题满分14分）
已知函数()x f x x ae =-()a R Î，x R Î.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明
2
1
x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.
x
y 2O -2
2
1参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
B
D
A
D
C
C
（1）i 是虚数单位，复数
734i
i
+=+（ ）
（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）
17312525i + （D ）172577
i -+ 解：A ()()()()73472525134343425
i i i
i i i i i +-+-===-++-.
（2）设变量x ，y 满足约束条件0,
20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z x y =+的最
小值为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
解：B 作出可行域，如图。

结合图象可知，当目标函数通过点（1，1）
时，z 取得最小值3.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）
（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945
解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；
3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.
（4）函数()()
212
log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）
（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥
（D ）(),2-?
解：D 2
40x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为
(),2-?.
F
E
D C
B
A
（5）已知双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的
一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）
（A ）
221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）
2233125100x y -= （D ）22
33110025
x y -= 解：A 依题意得22225b a c c a b
ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为
221520x y -=. （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的
圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结
论：①BD 平分CBF Ð；②2
FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；
④AF BD
AB BF ??.
则所有正确结论的序号是（ ）
（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：D 由弦切角定理得FBD
EAC BAE ???，又
BFD AFB ??，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BD
AF AB
=
，即AF BD
AB BF ??，排除A 、C . 又FBD
EAC
DBC ???，排除B .
（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）
（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件
解：C 设()f x x x =，则()220,0
,x x x x f x ìï³-=í<ïïïî，所以()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.
（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?o ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，
DF DC m =.若1AE AF ?u u u r u u u r
，2
3
CE CF
?-u u u r u u u r ，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712
解：C 因为120BAD ?o
，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-o u u u r u u u r u u u r u u u r .
因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+u u u r u u u r u u u r ，AF AB AD m =+u u u r u u u r u u u r
.
因为1AE AF
?u u u r u u u r
，所以()()1AB AD AB
AD l m +?=u u u r u u u r u u u r
u u u r ，即3
222
l m l m +-= ①
同理可得23l m l m --=- ②，①+②得5
6l m +=. 第Ⅱ卷
注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.） （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，
拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 解：60 应从一年级抽取4
604556
300?
+++名.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何
体的体积为_______3
m . 解：
203p
该几何体的体积为212042233
p p p ?鬃=
3
m . （11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1
a 的值为__________. 解：12
-
依题意得2
214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.
俯视图
侧视图
正视图
（12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1
4
b c a -=
，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.
解：1
4
-
因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32c b =，2a c =.
所以2221
cos 24
b c a A bc +-=
=-. （13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是
等边三角形，则a 的值为___________.
解：3 圆的方程为()2
2
24x y +-=，直线为y a =.
因为AOB D
是等边三角形，所以其中一个交点坐标为a 骣÷
÷÷，代入圆的方程可得3a =. （14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程
()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取
值范围为__________. 解：01a <<或9a >
显然0a >.
（ⅰ）当()1y a x =--与2
3y x x =--相切时，1a =，此时
()10f x a x --=恰有3个互异的实数根.
（ⅱ）当直线()1y a x =-与函数2
3y x x =+相切时，9a =，
此时()10f x a x --=恰有2个互异的实数根. 结合图象可知01a <<或9a >.
解2：显然1a ¹，所以231
x x
a x +=-.
令1t x =-，则4
5a t t
=+
+.
t
因为(][),,4
44t t ???+
+U ， 所以(][)4
5,19,t t
?ゥ+++U .
结合图象可得01a <<或9a >.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）
已知函数()2
cos sin 34
f x x x x π⎛
⎫
=⋅+-+ ⎪
⎝
⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. （15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：由已知，有()21cos sin 224
f x x x x x 骣
÷ç÷=诅+-+
÷ç÷ç桫
21
sin cos cos 224
x x x =
?+
)1
sin 21cos2444x x =
-++
1
sin 24
x x =
- 1sin 223
x p 骣÷ç=
-÷ç÷ç桫. 所以，()f x 的最小正周期22
T p
p =
=. （Ⅱ）解：因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌
上是增函数. 1
44
f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1
122
f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1
44
f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫.
所以，函数()f x 在闭区间,44
p p 轾犏
-犏臌上的最大值为14，最小值为1
2-.
（16）（本小题满分13分）
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则
()12
03
3737310
4960
C C C C P A C ??=
=
. 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960
. 所以，()f x 的最小正周期22
T p
p =
=. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.
()346
3
10
k k C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是
X 0 1 2 3
P
16
12 310 1
30 随机变量X 的数学期望()113161236
210305
0E X ??=+??.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，
AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为
棱PC 的中点.
（Ⅰ）证明 BE DC ^；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值.
（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. （方法一）
依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱
PC 的中点，得()1,1,1E .
（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE =u u u r ，()2,0,0DC =u u u r
，故0BE DC
?u u u r u u u r . 所以，BE DC ^.
（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD =-u u u r ，()1,0,2PB =-u u u r
.
设(),,n x y z =r 为平面PBD 的法向量，则0,0,n BD n PB ìï?ïíï?ïîu u u r r u u u r r 即20,20.x y x z ì-+=ïïíï-=ï
î 不妨令1y =，可得()2,1,1n =r
为平面PBD 的一个法向量.于是有
cos ,n BE n BE n BE
×==
=×u u u r r u u u r r
u u u r r .
所以，直线BE 与平面PBD
所成角的正弦值为
3
. （Ⅲ）解：向量()1,2,0BC =u u u r ，()2,2,2CP =--u u u r ，()2,2,0AC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r
.
由点F 在棱PC 上，设CF CP l =u u u r u u u r
，01l
＃.
故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
由BF AC ^，得0BF AC
?u u u r u u u r
，
C
因此，()()2122220l l -+-=，解得3
4
l =.即113,,222BF 骣÷ç=
-÷ç÷
ç桫u u u r . 设()1,,n x y z =u r 为平面FAB 的法向量，则110,
0,n AB n BF
ìï?ïíï?ïîu r u u u r
u r u u u r 即0,1130.2
22x x y z ì=ïï
ïíï-++=ïïî 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u r
为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =u u r
，则
121211
310cos ,10101n n n n n n ×´==
=-×u r u u r
u r u u r u r u r . 易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为310
10
. （方法二）
（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM .
由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且
1
2
EM DC =
，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM .
因为PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ， 因为AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，所以BE CD ^.
（Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^.
又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，所以PD ^平面
BEM ，故平面BEM ^平面PBD .
所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故
EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角.
依题意，有22PD =，而M 为PD 中点，可得2AM =，进而2BE =.
故在直角三角形BEM 中，tan 2
EM AB EBM
BE BE ?==，因此3in 3
s EMB ?.
所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3. （Ⅲ）解：如图，在PAC D 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .
因为PA ^底面ABCD ，故FH ^底面ABCD ，从而FH AC ^.又BF AC ^，得AC ^平面FHB ，因此
AC BH ^.
在底面ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.
由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面. 由AB PA ^，AB AD ^，得AB ^平面PAD ，故AB AG ^. 所以PAG Ð为二面角F AB P --的平面角. 在PAG D 中，2PA =，12
42
PG PD =
=，45APG ?o ，
由余弦定理可得10
AG =
，3os 10
c PAG ?. 所以，二面角F AB P --的斜率值为310
10
. （18）（本小题满分13分）
设椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知
123
2
AB F F =
. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该
圆相切. 求直线的斜率.
（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .
由12AB F =
，可得2223a b c +=， 又2
2
2
b a
c =-，则221
2
c a =.
所以，椭圆的离心率2
e =
. =，所以22223a c c -=
，解得a =
，2
e =
. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2
2
2a c =，2
2
b c =.故椭圆方程为22
2212x y c c
+=.
设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F
P x c y =+u u u r ，()1,F B c c =u u u r
. 由已知，有11
0FP FB ?u u u r u u u r ，即()000x c c y c ++=.又0c ¹，故有
000x y c ++=. ①
又因为点P 在椭圆上，故
22
002212x y c c
+=. ② 由①和②可得2
00340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-
，代入①得03
c y =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷
ç-÷ç÷
ç桫. 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -
+=
=-，12323
c
c
y c +==，进而圆的半径
r =
=
. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.
由l
r =
=
， 整理得2
810k k -+=
，解得4k =?
所以，直线l
的斜率为4+
4-
（19）（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-L ，集合
{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+?==++L L .
（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；
（Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，11
2n n t b b q b q -=+++L ，其中,i i a b M Î，
1,2,,i n =L . 证明：若n n a b <，则s t <.
（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i
==+?+.
可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.
（Ⅱ）证明：由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，11
2n n t b b q b q -=+++L ，,i i a b M Î，
1,2,,i n =L 及n n a b <，可得
()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-L
()()()21111n n q q q q q q --?+-++--L
()()
11111n n q q q q
----=
--
10=-<. 所以，s t <.
（20）（本小题满分14分）
已知函数()x f x x ae =-()a R Î，x R Î.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明
2
1
x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.
（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：由()x f x x ae =-，可得()1x f x ae ¢=-.
下面分两种情况讨论： （1）0a £时
()0f x ¢>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a >时，
由()0f x ¢=，得ln x a =-.
当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：
这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥.
于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在()1,ln a s ??，满足()10f s <；
3°存在()2ln ,a s ?
+?，满足()20f s <.
由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得1
0a e
-<<，而此时，取10s =，满足
()1,ln a s ??，且()10f s a =-<；取222
ln s a a
=
+，满足()2ln ,a s ?+?，且
()22222ln 0a a f s e e a a 骣骣鼢珑鼢=-+-<珑鼢珑鼢珑桫桫
. 所以，a 的取值范围是()
10,e -. （Ⅱ）证明：由()0x f x x ae =-=，有x x a e
=
. 设()x x g x e =，由()1x
x
g x e -¢=，知()g x 在(),1-¥上单调递增，在()1,+¥上单调递减. 并
且，当(],0x ?
?时，()0g x £；当()0,x ??时，()0g x >.
由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由()
10,a e -Î，及()g x 的单调性，可得
()10,1x Î，()21,x ??.
对于任意的()
1120,,a a e -Î，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；
()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<.
因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得
22x h <.
又由11,0x h >，得
222
111
x h h x x h <<. 所以，
2
1
x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）证明：由11x
x ae =，22x
x ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+.
故2
21211
ln ln ln
x x x x x x -=-=. 设
21x t x =，则1t >，且2121,ln ,
x tx x x t ì=ïïí
ï-=ïî解得1ln 1t x t =-，2ln 1t t
x t =-.所以，
()121ln 1
t t
x x t ++=
-. ①
令()()1ln 1
x x
h x x +=
-，()1,x ??，则()()
2
1
2ln 1x x x h x x -+-
¢=
-.
令()1
2ln u x x x x
=-+-，得()2
1x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷
ç桫. 当()1,x ??
时，()0u x ¢>.因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的
()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增.
因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.
而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.。