八年级数学下册第18章平行四边形学科素养思想方法(含解析)(新版)新人教版
八年级数学下册第18章平行四边形18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定教案1(新版)新人教版
18.1.2平行四边形的判定一、教学目标知识技能：1、通过探索平行四边形常用判定条件的过程，掌握平行四边形的两种常用的判定方法。
2、理解平行四边形的两种判定方法，并学会简单运用。
过程与方法：经历平行四边形判定条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，使学生逐步掌握说理基本方法。
情感态度：在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探索、质疑和独立思考的习惯。
数学思考：解决一个数学问题,常要通过“动手实践”-----“猜想” -----“验证猜想(证明)”-----“得出结论”二、教学重难点：重点：平行四边形的判定定理难点：平行四边形的判定定理的证明方法和应用。
三、教学过程：1、生活中的图片导入，复习平行四边形的定义和性质。
设计意图：通过生活图片让学生感受数学就在身边，通过复习提问，可以为本节课的顺利进行做好铺垫，自然引出本节课题。
2、通过动手用纸条拼平行四边形，猜想平行四边形的一种判定方法，并对猜想加以证明。
设计意图：让学生借助学具动手探究平行四边形的判定条件，将动手实践得出的经验归纳成数学猜想，并验证它。
使学生亲身参与数学探究的过程，体会数学探究的乐趣。
第一个判定定理的证明过程由教师给出规范的证明过程的板书，可以起到示范的作用，也在向学生强调要重视数学基本功。
第二个判定定理的证明过程由学生独立完成。
3、练一练。
通过解决问题加深对判定方法的理解。
设计意图：（1）通过“试一试”和“填一填”可以及时巩固得到的平行四边形判定定理。
（2）现实生活提炼的那题可以更加巩固定理，并且体现贯穿本节课的隐线：数学源自于生活运用于生活。
（3）书本例题解法很多，可以锻炼学生的思维能力，更可以将本节课的得出的判定方法逐一加以应用。
4、比一比。
通过和平行四边形性质的对比，让学生进一步体会定理和逆定理的特点，并且引出平行四边形的另一种判定方法的猜想，并交由学生课下自己验证。
设计意图：学生通过对比平行四边形的性质定理和相应的判定定理，不难发现，它们互为逆定理，于是自然的猜想出新的判定方法，但这不是本节课的教学内容，可以让学有余力的学生课下完成证明，可以使课堂学习得到延伸。
第18章 平行四边形 核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)
第18章平行四边形核心素养整合与提升-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)一、知识概述1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对顶边分别平行的四边形。
在平行四边形中，对边相等，对角线相等，并且对角线平分彼此。
2. 平行四边形的性质•对边相等：平行四边形的对边长度相等。
•对角线平分：平行四边形的对角线相交于中点。
•相邻角互补：平行四边形中，相邻的两个内角互为补角，即两个内角的和为180度。
3. 平行四边形的判定•对边平行：平行四边形的对边必定平行。
•对角线平分：平行四边形的对角线相交于中点。
二、核心素养整合与提升1. 平行四边形的应用平行四边形广泛应用于日常生活和实际问题中。
例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于确定建筑物中墙壁、地板等的形状和大小；在地理学中，平行四边形的概念可以用于描述地图中的方位关系和地理区域的形状；在计算机图形学中，平行四边形的属性可以用于绘制图形和计算图形的面积等。
2. 平行四边形的推导与证明平行四边形的性质可以通过数学推导与证明来得到。
例如，可以通过使用直线平行公理和线段相等公理，结合平行四边形的定义和性质，证明平行四边形的对边相等、对角线平分等性质。
3. 平行四边形的练习与应用题为了提高对平行四边形的理解和应用能力，可以通过练习与应用题来巩固知识。
题型可以包括判断题、选择题、填空题、解答题等。
同时，可以结合实际情境设计问题，让学生运用平行四边形的性质解决实际问题。
4. 平行四边形的拓展与扩展除了基本的平行四边形概念和性质，学生还可以进一步拓展与扩展平行四边形的知识。
例如，可以研究平行四边形的面积计算公式，探索平行四边形的相关图形如菱形、矩形、正方形等的性质与关系，并进行证明与推导。
5. 平行四边形的思维训练为了提高学生的思维能力和解决问题的能力，可以设计一些思维训练题目。
这些题目可以要求学生分析、推理、归纳和判断，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
【人教版】数学八下：第18章《平行四边形》全章名师说课稿
【人教版】数学八下：第18章《平行四边形》全章名师说课稿一. 教材分析《人教版》数学八下第18章《平行四边形》是学生在学习了三角形、四边形的基础上，进一步研究平行四边形的性质和判定。
本章内容主要包括平行四边形的定义、性质、判定以及平行四边形的应用。
通过本章的学习，使学生能理解和掌握平行四边形的性质和判定方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了三角形、四边形的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对平行四边形的性质和判定方法容易混淆，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 说教学目标1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质和判定方法。
2.能够运用平行四边形的性质和判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 说教学重难点1.平行四边形的性质和判定方法的掌握。
2.平行四边形在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.采用讲授法，讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。
2.利用多媒体演示，直观展示平行四边形的性质和判定过程。
3.运用例题和练习，让学生在实际问题中应用平行四边形的性质和判定方法。
4.小组讨论，培养学生合作学习的能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过复习三角形、四边形的基本知识，引导学生学习平行四边形。
2.讲解平行四边形的定义、性质、判定方法：通过多媒体演示和板书，详细讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。
3.例题讲解：选取典型例题，讲解平行四边形的性质和判定方法在实际问题中的应用。
4.练习巩固：学生自主完成练习题，巩固对平行四边形的性质和判定方法的理解。
5.小组讨论：学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。
6.课堂小结：总结本节课所学内容，强调平行四边形的性质和判定方法。
7.作业布置：布置相关练习题，让学生课后巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.对边平行且相等2.对角相等3.对边相等4.对角线互相平分5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形6.两组对角分别相等的四边形是平行四边形7.对边平行且相等的四边形是平行四边形八. 说教学评价通过课堂讲解、练习完成情况、小组讨论参与度等方面，评价学生对平行四边形的性质和判定方法的掌握程度。
人教版初中数学八年级下册素养课件 第十八章 平行四边形
知识点 平行四边形的判定
如图所示的是一种儿童的游乐设施——儿童荡板.这个荡板上方的 四边形ABCD想设计成平行四边形,在没有其他测量工具的情况下, 小明利用手头的一根足够长的绳子,结合平行四边形的判定方法, 就可以将四边形ABCD设计成平行四边形.
Hale Waihona Puke 知识点 平行四边形的判定(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. (2)一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形. (3)平行四边形的判定定理与性质定理是互逆定理,解题时要注意区 别,以防混淆.
学科素养课件
新课标人教版·数学 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
知识点 平行四边形的定义
形态各异的平面图形不但充满了我们的空间,也美化了我们的生 活环境,其中平行四边形更是司空见惯的平面图形.例如小区的伸 缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都给我们以平行四 边形的形象.
知识点 平行四边形的性质
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直、平分,并且每条对角线平分一组对角,因 此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等,直线平行、垂直及进 行有关的计算.
知识点 菱形的定义和性质
菱形的对角线互相垂直平分,但不一定相等.
知识点 菱形的判定
红丝带是对HIV和艾滋病认识的国际符号,是一种希望的象征,象征疫 苗的研究和治疗感染者的成功,象征HIV感染者生活质量的提高.红丝 带代表着一种支持,支持HIV感染者,支持对未感染者的继续教育,支 持尽全力去寻找有效的治疗方法、疫苗,支持那些因艾滋病失去至 爱亲朋的人.人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别 在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形就是一个菱形.
第十八章+平行四边形平行四边形中的最值问题+讲练课件+++2023—2024学年人教版数学八年级下册
如图2，过点O作OM⊥AD于点M，与DE的交点即是
2AP＋PD的值最小的点P的位置. 而此时(2AP＋PD)的
最小值＝2OM，
∵△ADE≌△ODE，AD＝2， ∴AD＝DO＝2.
在Rt△OMD中，∵∠ODA＝2∠ADE＝60°， ∴∠DOM＝30°. ∴DM＝ 12 DO＝1. ∵DM2＋OM2＝DO2， ∴12＋OM2＝22. ∴OM＝ 3 . ∴(2PA＋PD)的最小值为2OM＝2 3 .
6. 如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B，C分别 在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，点C随之 在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中， 点D到点O的最大距离为_2_5__.
利用线段转化求最值 7. 如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，
引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B 两点，求线段AB的最小值.
∴△AOB是等腰直角三角形. ∴AB＝ 2 OA. ∴当OA最小时，AB最小. ∵OA⊥CD时，OA最小， ∴A为CD的中点，∴OA＝ 12CD＝1. ∴AB＝ 2 OA＝ 2 . ∴线段AB的最小值为 2 .
8. 如图1所示，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD 上，将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，使点A、 点C都恰好落在点O处. (1)求证：∠EDO＝∠FBO；平行四边形
专题：平行四边形中的最值问题
利用轴对称求最值
1. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE ＝2，点P在对角线BD上，则PE＋PC的最小值为 ( B )
2. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为 BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE 的最小值为__3__.
人教版初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B A G E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（ ）A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．43．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（ ）A ．52B ．26C ．13D ．39 4．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）A ．AE CE =B ．12AE BE =C ．EBD EDB ∠=∠ D ．△ABE ≌△CDE 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912B ．101012C ．101112D ．102112 7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤8．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．60 B．30 C．20 D．16a b c，若,a c的边长分别为1和3，则b的面积为（）9．如图，直线L上有三个正方形,,A．8 B．9 C．10 D．1110．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．13D．611．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即BDE）的面积为（）A．6 B．7.5 C．10 D．2012．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8 B．3C．16 D．16313．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º14．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+ 15．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①BDF 是等腰三角形 ②12DE BC =③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为______cm 2． 17．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．18．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．20．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 21．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 22．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若4AB =，6BC =，则EDF 的周长为__________．23．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________24．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．25．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．26．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ，则AE 的长为_____．三、解答题27．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ．（1）求证：ABM CDN ≌；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．28．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，连接CE 使得点A 的对应点F 落在CE 上．（1）求证：CEB DCF ≅；（2）若2AB BC =，求CDE ∠的度数．29．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形； （2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．30．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线． （1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．。
人教版初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点(含答案解析)
一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（ ）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠ 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．43．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）A ．（一3，0）B ．（3，0）C ．（0，0）D ．（1，0） 4．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．7．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．48．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）A ．2B ．2C ．3D ．510．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠11．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（ ）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 12．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 13．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③14．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．20D ．2415．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（ ）A ．12aB ．25aC ．32aD ．33a 二、填空题16．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．17．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）18．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．19．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．20．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．21．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ．22．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AE 是对角线，则EAB ∠的度数是__________．23．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________．24．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．25．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．26．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．三、解答题27．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．28．如图，已知在Rt ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是斜边AB 上的中线，点E 是边BC 延长线上一点，连结,AE DE 、过点C 作CF DE ⊥于点F ，且DF EF =．（1）求证：AD CE =．（2）若5,6AD AC ==，求BDE ∆的面积．29．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，M 为边AB 的中点，连接MC ，MD ．（1）求证：MC ＝MD ：（2）若△MCD 是等边三角形，求∠AOB 的度数．30．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB ）顶端有一根绳子（AC ），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m （即0.7BC =），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m 处（即点E 到AB 的距离为3m ），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE ）为1.7m ，求宣传牌（AB ）的高度．。
第十八章平行四边形核心素养评估(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
在本次《第十八章平行四边形》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的方面。首先，学生在理解平行四边形的性质和判定方法时，普遍表现出一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重对这些核心概念的深入讲解和实例演示。通过具体的图形和案例，帮助学生更好地把握平行四边形的内涵。
其次，实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中，积极性很高，但我也发现部分学生在操作过程中对平行四边形性质的应用还不够熟练。因此，我计划在接下来的教学中，增加一些类似的实践活动，让学生有更多机会亲自动手操作，提高他们对平行四边形性质的掌握程度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行四边形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如平行四边形的判定，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行四边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器绘制平行四边形，演示其性质。
3.培养学生的数据分析能力，让学生在实际问题中运用平行四边形相关知识，进行数据计算和论证。
4.提高学生的应用意识和创新能力，将平行四边形知识应用于解决综合性、探索性问题，激发学生的几何探究兴趣。
5.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论、合作探究，共同完成平行四边形相关问题的研究。
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
八年级数学下册 第18章 平行四边形复习教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学教
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；
2、平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别
教
学
目
标
知识
与
技能
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；
2、平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别
过程
与
方法
梳理知识-----查漏补缺 -----总结规律-----练习，提高效率
3、有一组邻边相等的平行四边形。
4、每条对角线平分一组对角的四边形。
1、有一个角是直角的菱形；
2、对角线相等的菱形；
3、有一组邻边相等的矩形；
4、对角线互相垂直的矩形；
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S=ahS=ab
S=
S=a2
2、集合表示，突出关系
二、复习巩固P67
复习题18讲析
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
1、两组对边分别平行；
2、两组对边分别相等；
3、一组对边平行且相等;
4、两组对角分别相等；
5、两条对角线互相平分.
1、有三个角是直角的四边形;
2、有一个角是直角的平行四边形;
3、对角线相等的平行四边形.
1、四边相等的四边形；
2、对角线互相垂直的平行四边形；
三角板
课时
1课时
教 学 过 程
修改栏
教学内容
师生互动
一、归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
八年级数学下册 第十八章《平行四边形》教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学
《平行四边形》一、内容和内容解析关于平行四边形的概念，在小学，学生已经学过，并不会感到生疏，但对于这个概念的本质属性，理解的并不是十分深刻，所以，本节课的学习，并不是简单的重复。
本节课，平行四边形的定义采用的是内涵定义法，即“种概念+属差=被定义的概念”．在平行四边形的定义中，大前提是“四边形（种概念）”，条件是“两组对边分别平行（属差）”．“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性，这也是平行四边形概念的核心之所在。
平行四边形的概念，揭示了平行四边形与四边形的隶属关系、区别与联系，反映了平行四边形的本质属性。
同时，它既是平行四边形的判定，又可以作为平行四边形的一个性质。
关于平行四边形边、角的性质，“平行四边形的对边相等”相对于定义中的“两组对边分别平行”，是由位置关系向数量关系的一种延伸；“平行四边形的对角相等”相对于“两组对边分别平行”，是由“相邻的角互补”产生的思维的一种深化。
同时，两条性质的探究，经历的是“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程；两条性质的研究，先从边分析，再从角分析，再到下一节课的从对角线分析，提供的是研究几何图形性质的一般思路；两条性质的证明，渗透的是将四边形问题转化为三角形问题的一种转化思想，而添加对角线，介绍的是将四边形问题转化为三角形问题的一种常用的转化手段。
在本章的后续学习中，对于几种特殊的四边形，其定义均采用的是内涵定义法，并且矩形和菱形的定义，均以平行四边形作为种概念，所以平行四边形的概念作为“核心概念”当之无愧．关于平行四边形的性质，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的基础，这些特殊平行四边形的性质，都是在平行四边形性质基础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质的探索方法一脉相承，因此，平行四边形的性质，在后续的学习中，也是处于核心地位。
二、教学目标1、使学生掌握平行四边形的概念，掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质，会根据概念或性质进行有关的计算和证明．2、通过有关的证明及应用，教给学生一些基本的数学思想方法．使学生逐步学会分别从题设或结论出发，寻求论证思路，学会用综合法证明问题，从而提高学生分析问题解决问题的能力．3、通过四边形与平行四边形的概念之间和性质之间的联系与区别，使学生认识特殊与一般的辩证关系，个性与共性之间的关系等．使学生体会到事物之间总是互相联系又相互区别的，进一步培养辩证唯物主义观点．4、通过对平行四边形性质的探究，使学生经历观察、分析、猜想、验证、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的个性思维品质．三、教学重点平行四边形的概念和性质。
最新新编八年级数学下册第十八章平行四边形知识点总结新版新人教
第十八章平行四边形一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二定理：中心对称的有关定理※1．关于中心对称的两个图形是全等形.※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三 公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）3．S 梯形 =21（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.附：百度文库的资料为什么齐全“百度文库”是百度为网友提供的信息存储空间，是供网友在线分享文档的开放平台。
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八年级数学下册 第十八章 平行四边形教案 (新版)新人教版
第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质(1)理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象．生：平行四边形．师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等．师：你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结)(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“▱”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC(性质)．2．探究．师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．如图，已知：▱ABCD.求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析：作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.由上面的证明可知：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.由此得到：平行四边形的性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形的性质2 平行四边形的对角相等．二、新课教授【例】教材第42页例1师：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为( )A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是( )A．对角相等B．对角互补C．邻角互补D．内角和是360°【答案】B3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有( )A．4个B．6个C．8个D．9个【答案】D四、课堂小结1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程．第2课时平行四边形的性质(2)理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．重点平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用．难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．复习提问：(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：(2)平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质(内角和是360°)；②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．探究：请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗？你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；(2)平行四边形的对角线互相平分．二、新课教授【例1】已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD 分别相交于点E，F.求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形的对应边相等)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)．∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.引申：若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交(图②和图③)，例1的结论是否成立？说明你的理由．解略．【例2】教材第44页例2三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________．分析：平行四边形的邻角互补．【答案】75°105°2．平行四边形的周长等于56 cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________．分析：平行四边形的对边相等．【答案】21 cm3．▱ABCD的周长为60 cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8 cm，则AB，BC的长分别是________．分析：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．【答案】19 cm，11 cm4．▱ABCD的周长为50 cm，AB＝15 cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________．分析：平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积．【答案】75 cm2四、课堂小结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．性质：(1)边的性质：对边平行且相等；(2)角的性质：对角相等，邻角互补；(3)对角线的性质：对角线互相平分．课堂中，我通过让学生说一说、找一找等多种活动，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学真正就在我们身边．18.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定(1)使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法．重点平行四边形的判定方法及应用．难点平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．一、复习导入1．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？(学生口答，教师板书)2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．(即用“如果……那么……”的形式)根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢？除了定义，还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理：平行四边形的判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法3 对角线互相平分的四边形是平行四边形．下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．二、新课教授【例1】教材第46页例3【例2】已知：如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF.求证：∠1＝∠2.证明：在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2.三、巩固练习1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是( )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相垂直且相等D．对角线互相平分【答案】D2．已知：如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：EO＝OF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴DE∥BF.又DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∴EO＝OF.四、课堂小结1．平行四边形的三个判定定理．2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题．在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．第2课时平行四边形的判定(2)理解并掌握平行四边形的判定定理．重点理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用．难点理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法．一、复习导入1．平行四边形的定义是什么？2．平行四边形具有哪些性质？3．平行四边形是如何判定的？教师板书，并画出一个平行四边形，如图．(帮助理解)学生活动：踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理．二、讲授新课师：通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？下面我们就来证明这个结论是否正确．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．三、例题讲解【例1】教材第47页例4【例2】已知：如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BC D.∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE ≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形．【例3】已知：如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．四、巩固练习1．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．( )(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形．( )(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．( )【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO ＝BO；(6)AB＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．【答案】略五、课堂小结平行四边形性质判定⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等角——两组对角分别相等对角线——两条对角线互相平分经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题．第3课时 平行四边形的判定(3)1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．重点掌握并运用三角形中位线的性质解决问题． 难点三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法)一、复习导入创设情境：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？(答案如图)图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 二、讲授新课师：在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，像DE 这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE ∥BC ，DE ＝12BC.下面我们对它进行证明．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．求证：DE∥BC，且DE ＝12BC.分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE 延长一倍后，可以将证明DE ＝12BC 转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E 是AC 的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．证明：如图，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接FC ，DC ，AF. ∵AE ＝EC ，DE ＝EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形， ∴CF 綊DA. ∴CF 綊BD∴四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF 綊BC. 又DE ＝12DF ，∴DE ∥BC ，且DE ＝12BC.通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 三、例题讲解【例】已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接AC ，在△DAC 中， ∵AH ＝HD ，CG ＝GD ，∴HG ∥AC ，HG ＝12AC(三角形中位线的性质)．同理EF∥AC，EF ＝12AC.∴HG ∥EF ，且HG ＝EF. ∴四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 四、巩固练习1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC 和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是________m，理由是________________________．【答案】40 MN是△ABC的中位线2．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．(1)若EF＝5 cm，则AB＝________cm；若BC＝9 cm，则DE＝________cm；(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．【答案】(1)10 4.5 (2)AF与DE互相平分，证明略五、课堂小结三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形(1)掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．重点矩形的性质．难点矩形的性质的灵活应用．一、复习导入1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动的过程，如图)2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形的定义．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象．探究：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质： 矩形的性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形的性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，由性质2有AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC＝12BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、新课教授【例1】教材第53页例1【例2】已知：如图，矩形ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．分析：因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．解：设AD ＝x cm ，则对角线长(x ＋4) cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得x 2＋82＝(x ＋4)2，解得x ＝6，即AD ＝6 cm .由AE·DB＝AD·AB，解得AE ＝4.8 cm .三、巩固练习1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15 cm ，较短边的长为( )A．12 cm B．10 cmC．7.5 cm D．5 cm【答案】C2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数．【答案】∠A＝60°，∠B＝30°四、课堂小结1．掌握矩形的定义及性质．2．会用矩形的性质求相关的角的度数．本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．第2课时矩形(2)通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题．重点矩形的判定．难点矩形的判定定理及性质的综合应用．一、复习提问，引入新课师：什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．师：矩形有哪些性质？生：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．师：矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法．二、提出疑问，引导探索师：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？生：可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形．师：对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件(有一个角是直角)，观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？生：“边”没有特性，“对角线”是相等的．师：我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？请把这个判定用命题的形式写出来．生：对角线相等的平行四边形是矩形．师：这个命题是否正确？(分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程)证明过程由学生板书完成．师(归纳板书)：定理：对角线相等的平行四边形是矩形．师：对角线相等的四边形是矩形吗？生：不一定是矩形．师：画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形(先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形)．师生讨论，归纳矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．定理：对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．(除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．)三、例题讲解【例1】教材第54页例2【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F.求证：四边形AECF是矩形．证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC.∵AE∥BF，AB∥EF.∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF，又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形．四、课堂练习已知：O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH为矩形．【答案】证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AC ＝BD.∵AC ，BD 互相平分于O ， ∴AO ＝BO ＝CO ＝DO. ∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ， ∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴四边形EFGH 是平行四边形且HF ＝EG ， ∴四边形EFGH 为矩形． 五、课堂小结⎭⎪⎬⎪⎫一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形有三个角是直角的四边形是矩形本节课在引入时，我先提出一个实际生活问题，激发学生的求知欲望，再引导学生逆向思考问题，从而让学生提出“对角线相等的平行四边形是矩形”这一结论，最后通过逻辑推理证明命题的正确性，为以后学习其他特殊的四边形的判定打下了基础． 18.2.2 菱 形第1课时 菱 形(1)1．探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算． 2．能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质．重点菱形的概念及性质． 难点菱形性质的灵活应用．一、创设情境，导入新课 活动：(四人一个小组)将一张硬纸片对折后再对折，然后剪成一个三角形，打开观察并讨论． 师：这是一个什么样的图形？为什么？(学生独立操作，教师演示) 生：是平行四边形，因为它的对角线是互相平分的．师：再观察一下，这个平行四边形的邻边之间有什么关系？为什么？生：是相等的，因为它们是重合的．师(板书)：菱形的定义：我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(强调菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等)二、探索研究，归纳性质活动：菱形具有什么性质呢？你能发现吗？1．折叠：上下对折，左右对折，你有什么发现？2．旋转．结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教师对知识做适当梳理，板书菱形的性质．菱形的性质1：菱形的四条边都相等．菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴．师：这些性质我们是通过折叠、旋转观察得到的．如何用逻辑推理的方法证明它呢？已知：如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O.求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD.证明：∵AB＝AD，BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一)．同理：AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.三、继续探索，深化提高师：菱形的对角线将菱形分成几个三角形？它们都是什么三角形？有什么关系？生：是四个全等的直角三角形．师：如果已知菱形的对角线的长度，能求出一个三角形的面积吗？生：可以求出．师：进而就可以求出菱形的面积．试说明菱形的面积等于它的两条对角线线长的积的一半．已知：在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点．求证：在菱形ABCD 中，S 四边形ABCD ＝12AC×BD.证明：在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， ∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AC×OB＋12AC×OD ＝12AC×(OB＋OD) ＝12AC×BD. 即菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半． 师：菱形是特殊的平行四边形，所以它的面积公式有两个． 菱形的面积＝底×高；菱形的面积＝12ab(a ，b 是两条对角线的长度)．四、例题讲解【例1】菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长度分别为4 cm ，3 cm ，求菱形ABCD 的面积和周长．分析：用勾股定理可求得边长，进而求得周长． 解：如图，由题可知AO ＝2，BO ＝32，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝52，∴菱形ABCD 的周长为4×52＝10(cm )，面积为12×4×3＝6(cm 2)．【例2】教材第56页例3 五、课堂练习1．菱形的两条对角线的长分别为6 cm 和8 cm ，那么菱形的面积是________． 【答案】24 cm 22．一菱形的周长为52 cm ，其中一条对角线长10 cm ，则其另一条对角线的长为________．【答案】24 cm。
八年级数学下册第18章平行四边形命题剖析考点突破(含解析)(新)新人教
平行四边形命题剖析·考点突破考点平行四边形的性质与判定(★★★★★)命题角度【核心题型】平行四边形对角线的性质 1添加条件构造平行四边形 2平行四边形的性质 3平行四边形的判定 4应用平行四边形性质进行证明 5【核心题型】1.(2016·丽水中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )A.13B.17C.20D.26【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC,OB=BD,BC=AD,又∵AD=8,BD=12,AC=6,∴OC=3,OB=6,BC=8,∴△OBC的周长为3+6+8=17.2.(2016·邵阳中考)如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,若AB∥CD,请添加一个条件__________(写一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.【解析】可以添加:AD∥BC(答案不唯一).答案:AD∥BC(答案不唯一)3.(2017·武汉中考)如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为________.【解题指南】由平行四边形性质→→求得∠ABE的度数→由∠EBC=∠ABC-∠ABE求得∠EBC度数.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD,∴∠BAD=180°-∠D=80°,∵AE平分∠DAB,∴∠BAE=80°÷2=40°,∵AE=AB,∴∠ABE=(180°-40°)÷2=70°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.答案:30°4.(2017·咸宁中考)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.(1)求证:△ABC≌△DFE.(2)连接AF,BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.【解题指南】(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可.(2)由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE,证出AB∥DF,即可得出结论. 【证明】(1)∵BE=FC,∴BC=EF,在△ABC和△DFE中,∴△ABC≌△DFE(SSS).(2)如图所示,由(1)知△ABC≌△DFE,∴∠ABC=∠DFE,∴AB∥DF,∵AB=DF,∴四边形ABDF是平行四边形.5.(2017·大连中考)如图,在▱ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF ⊥AC,垂足F在AC的延长线上.求证:AE=CF.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD且AB=CD,∴∠BAC=∠DCA,∴180°-∠BAC=180°-∠DCA,即∠BAE=∠DCF,又BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEA=∠DFC=90°,在△BEA和△DCF中∴△BEA≌△DFC,∴AE=CF.【方法技巧】证明一组线段相等的常见思路:一是证明其所在的两个三角形全等;二是证明其是等腰三角形的两腰;三是证明其是平行四边形的对边;四是等量代换.【答题指导】1.平行四边形性质与判定的关系平行四边形的四边形2.提醒:“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.考点矩形的性质与判定(★★★★★)命题角度【核心题型】中点四边形 1矩形折叠性质 2添加条件使四边形成为矩形 4应用矩形角性质进行计算 3矩形的判定 5利用矩形性质进行证明 6【核心题型】1.(2017·株洲中考)如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的是( )A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形【解析】选C.如图,连接BD,AC,则EF∥AC且AC=2EF,GH∥AC且AC=2GH,∴EF∥GH 且EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形,则A,B不正确,C正确,D当AC=BD时,因为AC=2EF,BD=2EH,所以EF=EH,平行四边形EFGH是菱形.2.(2017·葫芦岛中考)如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( )A. B.4 C.4.5 D.5【解析】选D.设FC′=x,则FD=9-x,∵BC=6,四边形ABCD为矩形,点C′为AD的中点,∴AD=BC=6,C′D=3.在Rt△FC′D中,∠D=90°,FC′=x,FD=9-x,C′D=3,∴FC′2=FD2+C′D2,即x2=(9-x)2+32,解得x=5.3.(2017·兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB= 30°,AB=4,则OC= ( )A.5B.4C.3.5D.3【解析】选B.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,∠BAD=90°,∵∠ADB=30°,∴AC=BD=2AB=8,∴OC=AC=4.4.(2017·日照中考)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC.(2)只需添加一个条件,即________,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.【解题指南】(1)由SSS证明△DCA≌△EAC即可.(2)先证明四边形ABCD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出∠D=90°,即可得出结论. 【解析】(1)在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由如下:∵AB=DC,AD=BC,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.答案:AD=BC(答案不唯一)5.(2017·徐州中考)如图,在▱ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形.(2)若∠A=50°,则当∠BOD=____________°时,四边形BECD是矩形.【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∴∠OEB=∠ODC,又∵O为BC的中点,∴BO=CO,在△BOE和△COD中,∴△BOE≌△COD(AAS),∴OE=OD,∴四边形BECD是平行四边形.(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.理由如下:∴∠BCD=∠A=50°,∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,∴OC=OD,∵BO=CO,OD=OE,∴DE=BC,∵四边形BECD是平行四边形,∴四边形BECD是矩形.答案:1006.(2017·百色中考)矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H两点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形.(2)EG=FH.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)∵四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,∵AB∥CD,∴∠EDG=∠FBH,在△DEG和△BFH中∴△DEG≌△BFH(AAS),∴EG=FH.【答题指导】1.矩形性质:①矩形的对边平行;②矩形的对边相等;③矩形的四个角都是直角;④矩形的对角线互相平分;⑤矩形的对角线相等;⑥矩形既中心对称又轴对称.2.矩形的判定思路:(1)若给出的图形是一般的四边形:思路一:证明有三个角都是直角;思路二:先证明为平行四边形,再证明有一个角是直角或证明其对角线相等.(2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明有一个角是直角或证明对角线相等.3.提醒:解答矩形折叠问题的关键是:轴对称变换为全等图形,从全等图形的对应边、对应角相等入手,结合勾股定理等性质列式求值.考点菱形的性质与判定(★★★★★)命题角度【核心题型】菱形的性质 1应用菱形性质求周长 3矩形与菱形综合 2求菱形的面积 4证明四边形是菱形 5【核心题型】1.(2017·益阳中考)下列性质中,菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形【解析】选C.菱形的对角线不一定相等.2.(2016·兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为( )A.2B.4C.4D.8【解析】选A.∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED为平行四边形,∵ABCD为矩形,∴OC=OD,∴四边形OCED为菱形,∴OD=DE=2,∴BD=2OD=4,∴CD=2,三角形OCD为等边三角形,高为,所以四边形OCED的面积为2.3.(2017·长沙中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为( )A.5 cmB.10 cmC.14 cmD.20 cm【解析】选D.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=3,OB=BD=4,∴AB=5,∴菱形的周长是4AB=4×5=20.4.(2017·菏泽中考)菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24cm,则菱形的面积为________cm2.【解析】如图,连接BD,作DE⊥AB,∵周长为24cm,∴AB=6cm.∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形.∴DE=3cm,∴菱形的面积为6×3=18(cm2).答案:185.(2017·宁夏中考)在△ABC中,M是AC边上的一点,连接BM.将△ABC沿AC翻折,使点B落在点D处,当DM ∥AB时,求证:四边形ABMD是菱形.【证明】如图,由折叠得AB=AD,BM=DM,∠1=∠2,∵DM∥AB,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD=DM,∴AB=AD=BM=DM,∴四边形ABMD是菱形.【答题指导】1.菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角.2.菱形的两种判定方法:(1)若四边形为(或可证明为)平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.3.要求菱形的周长可转化为求菱形的边长,根据菱形的对角线互相垂直得出四个直角三角形,进而可利用勾股定理求解.4.菱形除了具有平行四边形所有的性质以外,还有自身特有的性质:四条边都相等、对角线平分对角、对角线互相垂直.在此基础上,不难得到:菱形的一条对角线可以将菱形分为两个全等的等腰三角形,菱形的两条对角线可以将菱形分为四个全等的直角三角形,这也可由菱形的轴对称性直接得到.菱形的面积公式S=ab(a,b为菱形的对角线长).考点正方形的性质与判定(★★★★☆)命题角度【核心题型】添加条件,判断正方形 1正方形的折叠 2正方形与正三角形综合 3正方形的判定 4正方形性质的应用 5【核心题型】1.(2017·兰州中考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:________.【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即①正确;②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即②错误;③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD,即四边形ABCD 为正方形,即③正确;④邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相等的菱形是正方形.依题意在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得平行四边形ABCD为菱形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形.即④正确.答案:①③④2.(2017·枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( )A.2B.C.D.1【解析】选B.∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1, 则在Rt△BMF中,FM===.3.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED=__________度.【解析】由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.答案:454.(2017·崇左中考)如图,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.(1)求证:四边形EDFG是正方形.(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值. 【解析】(1)∵O是EF的中点,∴OE=OF.又∵OD=OG.∴四边形EDFG为平行四边形.∵AC=BC,D为AB的中点,∠ACB=90°,∴AD=DC,∠A=∠FCD=45°,CD⊥AB.在△AED和△CFD中,AE=CF,∠A=∠FCD,AD=DC,∴△AED≌△CFD.∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.∴四边形EDFG为菱形.∵CD⊥AD,∴∠ADE+∠EDC=90°.∴∠EDC+∠CDF=90°,即∠EDF=90°.∴四边形EDFG为正方形.(2)∵四边形EDFG为正方形,∴当正方形的边长DE最短时,正方形的面积最小.∵垂线段最短,∴当DE⊥AC时,四边形EDFG的面积最小.∵AD=DC,DE⊥AC,∴AE=EC,DE=AC=2.∴当E为AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,四边形EDFG的面积的最小值为22=4.5.(2017·怀化中考)如图,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形.(1)求证:△ABE≌△DCE.(2)求∠AED的度数.【解题指南】(1)根据正方形、等边三角形的性质,可以得到AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°,由此即可证明.(2)只要证明∠EAD=∠ADE=15°,即可解决问题.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,∴BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°,∴∠ABE=∠ECD=30°,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE(SAS).(2)∵BA=BE,∠ABE=30°,∴∠BAE=(180°-30°)=75°,∵∠BAD=90°,∴∠EAD=90°-75°=15°,同理可得∠ADE=15°,∴∠AED=180°-15°-15°=150°.【答题指导】1.正方形的四条边相等,四个角是直角,对角线相等且互相垂直平分.2.判别正方形的三种思路:(1)先证明四边形是平行四边形,再证明有一个角为直角和一组邻边相等.(2)先证明四边形为矩形,再证明邻边相等或对角线互相垂直.(3)先证明四边形为菱形,再证明一个角为直角或对角线相等.3.正方形的判定方法主要体现正方形既是矩形,又是菱形.所以它的判定可以从两个方面来说:(1)先证它是矩形,再证它是菱形.(2)先证它是菱形,再证它是矩形.。
最新人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》全章教学案含解析
最新人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》全章教学案含解析第十八章平行四边形1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明中位线定理.1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.单元概括整合1课时18.1平行四边形1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.3.掌握三角形的中位线的概念和定理.1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.18.1.1平行四边形的性质1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.[设计意图]通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.[设计意图]给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.[设计意图]学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).[设计意图]让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路. [知识拓展](1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.[设计意图]应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,小组合作完成,交流自己的猜想教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.(2)∵△ABC≌△CDA(已证),∴∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠BAD=∠DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.[设计意图]学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.[设计意图]结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,∴AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1,l2之间的距离是指什么? 指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.[设计意图]借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.[知识拓展](1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.〔解析〕本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE====3;在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,根据勾股定理,得:CE====2.∴BC=BE+CE=3+2=5.∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,同理可得BE=3,CE=2,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.综上,▱ABCD的周长为20或12.[解题策略]本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于()A.110°B.30°C.50°D.70°2.如图所示,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,有下面的四个结论;(1)AB=DC;(2)BE=CF;(3)S△ABE=S△DCF;(4)S四边形ABCD=S四边形BCFE.其中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD,BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD 的周长为()A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为()A.2B.4C.4D.85.如图所示,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D的坐标为.7.如图所示,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.8.(2015·自贡中考)在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证CH=EH.9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F.(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;(2)若BE=2cm,求平行线AB与CD之间的距离.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,交其延长线于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=30°,AE=4cm,AF=3cm,求平行四边形ABCD的周长.11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.(1)求证△BAD≌△ACE;(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.【拓展探究】12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,G,H 是垂足.求证DG=BH.【答案与解析】1.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由邻补角的性质得出∠FDC=70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)2.A(解析:∵l1∥l2,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,∴AB=CD,故(1)正确;∵l1∥l2,BE∥CF,∴BE=CF,故(2)正确;根据HL可以证明Rt△ABE≌Rt△DCF,因此,S△ABE=S△DCF,故(3)正确;四边形ABCD与四边形BCFE是同底等高的两个平行四边形,∴S四边形ABCD=S四边形BCFE,故(4)正确.故选A.)3.D(解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∠FDE=∠C.∵E为CD的中点,∴DE=CE,∴△FDE≌△BCE(AAS),∴BC=AD=FD,∵DF=3,DE=2,∴AD=3,AB=DC=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+AB)=14.故选D.)4.B(解析:∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE.由题意知DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD.又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,在Rt△ADG中,根据勾股定理得AG=,则AF=2AG=2,由题意知AD∥BC,∴∠DAF=∠E,在△ADF和△ECF中,∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.故选B.)5.25°(解析:∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且CD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴∠ADC=120°,∠CDE=∠F=110°,∴∠ADE=360°-120°-110°=130°,∴∠DAE==25°.故填25°.)6.(1,2)(解析:A,B的坐标分别是(0,0),(3,0),则AB=3,根据平行四边形对边相等,得CD=AB=3,∵点C的坐标为(4,2),∴点D的坐标为(1,2).)7.20(解析:在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,且AD=BC=6.∵BE=2,∴CE=BC-BE=6-2=4.如图所示,∵AD∥BC,∴∠1=∠3,又由题意知∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CD=CE=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=2×(6+4)=2×10=20.故填 20.)8.证明:如图所示,∵在▱ABCD中,BE∥CD,∴∠E=∠2.∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠E.∴BE=BC.又∵BH⊥EC,∴CH=EH.。
第18章 平行四边形 人教版数学八年级下册素养综合检测(含解析)
第十八章 素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023广西玉林期末)在平行四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.2∶3∶2∶3D.1∶1∶2∶22.(2023广东广州市华侨外国语学校期末)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )A.AB ∥DC,AD ∥BCB.AB=DC,AD=BCC.AB ∥DC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD3.(2022广东中考)如图,在△ABC 中,BC=4,点D,E 分别为AB,AC 的中点,则DE=( )A.14B.12C.1D.24.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形边的长度.如图所示,已知∠ACB=90°,点D 为边AB 的中点,点A 、B 对应的刻度分别为1、7,则CD=( )A.3.5 cmB.3 cmC.4.5 cmD.6 cm5.如图,菱形ABCD 的一边中点M 到对角线交点O 的距离为3 cm,则菱形ABCD 的周长为( )A.10 cmB.12 cmC.16 cmD.24 cm6.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,过点A 作AE ⊥BD,垂足为点E,若∠EAD=3∠BAE,则∠EAO 的度数是( )A.60°B.67.5°C.45°D.22.5°7.(2023浙江宁波期末)如图,根据平行四边形中所标注的角的度数和线段的长度,一定能判定其为菱形的是( )8.(2022山东聊城中考)要检验一个四边形的桌面是不是矩形,可行的测量方案是( )A.测量两条对角线是否相等B.度量两个角是不是90°C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D.测量两组对边是否分别相等9.(2021江苏泰州中考)如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP=( )A.2αB.90°-αC.45°+αD.90°-1α210.【新考向·尺规作图】(2023山东日照一模)如图,在矩形ABCDAC长为半径画弧,两中,AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于12弧交于点M,N,直线MN分别交AD,BC,AC于点E,F,O,连接CE,AF.下列结论:①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC·EF= CF·CD;④若AF平分∠BAC,则CF=3AB.其中正确结论的个数是( )A.4B.3C.2D.1二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线AE交CD于点E,若∠AED=40°,则∠B的度数是 .12.(2023湖南长沙二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE平分∠ADC,BC=4,则DE的长是 .13.【新独家原创】如图1,有一个边长为2的正方形MNPQ,将其分割成8块(其中I、J、H、G分别为OM、ON、OP、OQ的中点),再将其组合成如图2所示的矩形ABCD,则这个矩形ABCD的对角线长为 .14.如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,四边形DECF 的周长为18,则AC+BC的长为 .15.(2021北京中考)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC,只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).16.(2021江苏连云港中考)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为 .17.(2023广东珠海期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,AC=16, P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM 长的最小值为 .18.(2020山东枣庄中考)如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 .三、解答题(共46分)19.(2023山东枣庄期末)(8分)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,E是DC边上一点,连接EO并延长交AB于点F.若OA=OC,AB∥CD.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若DE=1,AC+BD=10,△AOB的周长为9,求AF的长.20.(2023四川内江中考)(8分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证:FA=BD;(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.21.(2023上海宝山期末)(10分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为CD的中点,连接OE并延长至点F,使EF=EO,连接DF、CF.(1)求证:四边形DOCF是菱形;(2)已知AB=6,∠DOE=30°,求AC的长.22.(2020北京中考)(10分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF,连接OE.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.23.(10分)课本再现:(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:四边形CEDF是正方形;深入探究:(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=60°,CD平分∠ACB,过点D作DE⊥BC 于点E,DF⊥AC于点F,点H是CD的中点,连接HE,FH,EF.①判断四边形DFHE的形状,并证明;②已知CD=42,求FE的长.答案全解全析1.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴选项C 符合题意,故选C.2.C 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知选项A 中条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知选项B 中条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形;根据一组对边平行,另一组对边相等无法判定四边形ABCD 是平行四边形,故选项C 中的条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形;根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形知选项D 中的条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形.故选C.3.D ∵点D,E 分别为AB,AC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE=12BC=12×4=2,故选D.4.B 由题图可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,点D 为线段AB 的中点,∴CD=12AB=3 cm,故选B.5.D ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD=CD=BC,AC ⊥BD,又∵点M 是AB 的中点,∴AB=2OM=6 cm,∴菱形ABCD 的周长=4×6=24(cm),故选D.6.C ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∴∠BAE+∠EAD=90°,∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°,∴∠BAE=22.5°,∵AE ⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°,故选C.7.C 选项A,由题图中标注的角的度数可知平行四边形的邻边不相等,不能判定为菱形,故选项A不符合题意;选项B,由题图中标注的线段的长度不能得到平行四边形的邻边相等,不能判定为菱形,故选项B不符合题意;选项C,∵62+82=102,∴对角线互相垂直,∴根据题图中标注的线段的长度能判定为菱形,故选项C符合题意;选项D,由题图中标注的角的度数可知平行四边形的对角线不互相垂直,不能判定为菱形,故选项D不符合题意.故选C.8.C A.测量两条对角线是否相等,不能判断是不是平行四边形,更不能判断是不是矩形,故选项A不符合题意;B.度量两个角是不是90°,不能判断是不是平行四边形,更不能判断是不是矩形,故选项B不符合题意;C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等,可以判断是不是矩形,故选项C符合题意;D.测量两组对边是否分别相等,可以判断是不是平行四边形,但不能判断是不是矩形,故选项D不符合题意.故选C.9.B ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,PF=PB,∵∠CBE=α,∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD是正方形,∴∠APF=90°=∠CPB,AP=CP.在△APF和△CPB中,AP=CP,∠APF=∠CPB, PF=PB,∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α.故选B.10.C 根据作图知EF垂直平分AC,∴AO=CO,∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF=90°,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∵OA=OC,AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形,故结论①正确;∴AF=CF,∴∠FAC=∠FCA,∵∠AFB=∠FAO+∠ACB,∴∠AFB=2∠ACB,AC·EF,故结论③不正确;∵四边故结论②正确;S四边形AECF=CF·CD=12形AECF为菱形,∴∠FAC=∠EAC,∵AF平分×90°=30°,∴AF=2BF,∴AB=3∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=∠CAD=13BF,∵CF=AF,∴CF=2BF=23AB,故结论④不正确.故选C.311.答案 100°解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,AD∥BC,∴∠EAB=∠DEA=40°,∠DAB+∠B=180°,∵AE平分∠DAB,∴∠DAB=2∠BAE=80°,∴∠B=180°-∠DAB=100°.12.答案 2AB,∵DE平分解析 ∵∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,∴AD=CD=12BC=2.∠ADC,∴AE=EC,∴ED是△ABC的中位线,∴DE=1213.答案 13AB,解析 如图,由题意知CE=EF=FB=12∵原正方形的边长AB=2,∴CB=3,∴矩形ABCD的对角线长为22+32 =13.14.答案 18解析 ∵D,E,F 分别是边AB,AC,BC 的中点,∴DE,DF 都是△ABC 的中位线,EC=12AC,FC=12BC,∴DF=12AC=EC,DE=12BC=FC,∵四边形DECF 的周长为18,∴DE+FC+DF+EC=18,∴2DE+2DF=18,∴AC+BC=18.15.答案 AE=AF(答案不唯一)解析 答案不唯一,如添加条件AE=AF,在矩形ABCD 中,AD ∥BC,即AF ∥CE,∵AF=EC,∴四边形AECF 是平行四边形,∵AE=AF,∴四边形AECF 是菱形.16.答案 125解析 ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AO=CO,DO=BO.∵AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=AO 2+DO 2=42+32=5.又∵OE ⊥AD,∴AO·DO 2=AD·OE 2,∴4×32=5OE 2,解得OE=125.17.答案 4.8解析 连接AP,如图所示,∵∠BAC=90°,AB=12,AC=16,∴BC=122+162=20,∵PE ⊥AB,PF ⊥AC,∴四边形AFPE 是矩形,∴EF=AP,EF 与AP 互相平分,∵M 是EF 的中点,∴M 为AP 的中点,∴PM=12AP,当AP ⊥BC 时,AP 最短,同样PM 也最短,此时AP=AB·AC BC =9.6,∴PM=12AP=4.8,∴PM 长的最小值为4.8.18.答案 85解析 如图,连接BD 交AC 于点O,∵四边形ABCD 为正方形,AC=8,∴BD ⊥AC,OD=OB=OA=OC=4,∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=2,∴四边形BEDF 为平行四边形,∵BD ⊥EF,∴四边形BEDF 为菱形,∴DE=DF=BE=BF,由勾股定理得DE=OD 2+OE 2=42+22=25,∴四边形BEDF 的周长=4DE=4×25=85.19.解析 (1)证明:∵AB ∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∵OA=OC,∠BOA=∠DOC,∴△BOA ≌△DOC(ASA),∴OB=OD,∵OA=OC,∴四边形ABCD 是平行四边形.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=12BD,OA=12AC,∴OA+OB=12(AC+BD)=5,∵△AOB 的周长为9,∴AB=9-(OA+OB)=4,∵AB ∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∵∠BOF=∠DOE,OB=OD,∴△DOE ≌△BOF,∴BF=DE=1,∴AF=AB-BF=3.20.证明 (1)∵AF ∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,∵E 为AD 的中点,∴AE=DE,∴△AEF ≌△DEC(AAS),∴AF=DC,∵D 为BC 的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.(2)∵AF=BD,AF ∥BD,∴四边形ADBF 是平行四边形,∵AB=AC,D 为BC 的中点,∴AD ⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形ADBF 是矩形.21.解析 (1)证明:∵E 是CD 的中点,∴CE=DE,在△ODE 和△FCE 中,DE =CE,∠DEO =∠CEF,EO =EF,∴△ODE ≌△FCE(SAS),∴OD=CF.同理可得OC=DF,∴四边形DOCF 是平行四边形,∵四边形ABCD 是矩形,∴OC=OD,∴四边形DOCF 是菱形.(2)∵四边形ABCD 是矩形,∴AO=CO,∠BCD=90°,CD=AB=6,AC=BD,∵E 为CD 的中点,∴OE 是△BCD 的中位线,∴OE ∥BC,∴∠CBD=∠DOE=30°,∴AC=BD=2CD=12.22.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴DO=BO.∵E 是AD 的中点,∴EO ∥AB.∵EF ∥OG,∴四边形OEFG 是平行四边形.∵EF ⊥AB,∴∠EFB=90°,∴四边形OEFG 是矩形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,AB=AD=10.在Rt △AOD 中,E 为AD 的中点,∴AE=12AD=5,OE=12AD=5.在Rt △AFE 中,EF=4,∴AF=AE 2-EF 2=52-42=3.∵四边形OEFG 是矩形,∴FG=EO=5,∴BG=AB-AF-FG=2.23.解析 (1)证明:∵CD 平分∠ACB,DE ⊥BC,DF ⊥AC,∴DE=DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF 是正方形.(2)①四边形DFHE 为菱形.证明:∵CD 平分∠ACB,∠ACB=60°,∴∠FCD=∠ECD=30°,∵DE ⊥BC,DF ⊥AC,∴DF=DE=12CD,∵点H 是CD 的中点,∴FH=12CD,HE=12CD,∴DF=DE=HF=HE,∴四边形DFHE 为菱形.②设DH 与EF 的交点为O.∵CD=42,点H 是CD 的中点,∴HD=22,∵四边形DFHE 为菱形,∴HO=12DH=2,∵HF=12CD=DH=22,∴FE=2OF=2HF 2-OH 2=2(22)2-(2)2=26.。
新人教版八年级下册第十八章平行四边形全章知识点
名师总结优秀知识点新人教版八年级下册第十八章平行四边形全章知识点要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（ 1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形 .3．面积：S平行四边形底高4．判定：边：（ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（ 4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（ 6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（ 7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（ 1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形 .3．面积：S矩形＝长宽４．判定：（ 1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（ 2）对角线相等的平行四边形是矩形.（ 3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中， 30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（ 1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形 .对角线对角线3．面积：S菱形＝底高＝24．判定：（ 1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；名师总结优秀知识点（ 3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形 .3．面积：S正方形 = 边长×边长＝1×对角线×对角线24．判定：（ 1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.要点五、。
2017-2018学年八年级数学下册 第18章 平行四边形学科素养 思想方法(含解析)(新版)新人教
平行四边形学科素养·思想方法一、转化思想【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种重要思想,通过转化可以将复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的问题,从而使问题得到解决.【应用链接】平行四边形、矩形、菱形、正方形都被其对角线分成几个三角形或特殊三角形.在解决有关计算题与证明题时,也常通过连接四边形的对角线构成三角形,将四边形问题转化到三角形中,利用三角形的知识进行解答.【典例1】如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的面积为30cm2,求阴影部分的面积.【分析】运用全等三角形的性质将S△BOF转化为S△DOE,从而使三块阴影部分构成一个整体,然后根据其与平行四边形的关系求其面积.【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,DC=BA.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴S△ABC=S△CDA=S▱ABCD=×30=15(cm2).∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴△DOE≌△BOF(AAS).∴S△DOE=S△BOF.∴S阴影部分=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△DOE+S△AOE+S△COD=S△CDA=15cm2.【变式训练】如图,李村有一块呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大核桃树,李村准备开挖池塘建养鱼池,要使池塘面积扩大为原来的2倍,又想保持大核桃树不动,并要求扩建后的池塘呈平行四边形,请问这个村能否实现这一设想?若能,请你设计方案并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法).【解析】能实现.如图所示.设AC,BD相交于点O,由作法可知,所得四边形为平行四边形,由性质知△AA′B≌△BOA,△D′AD≌△ODA,△CC′D≌△DOC,△BB′C≌△COB,所以面积扩大为原来的2倍.二、方程思想【思想解读】方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.【应用链接】方程是沟通数量关系的桥梁,本章中常通过三角形的中位线、矩形、菱形、正方形等与勾股定理相结合的方式找到等量关系列方程(组)进行求解.【典例2】(2016·毕节中考)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( )A.3B.4C.5D.6【分析】根据折叠可得DH=EH,在直角△CEH中,设CH=x,则DH=EH=9-x,根据BE∶EC=2∶1可得CE=3,可以根据勾股定理列出方程,从而解出CH的长.【解析】选B.设CH=x,则DH=EH=9-x,∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴CE=BC=3,∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=32+x2,解得:x=4,即CH=4.【变式训练】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=12cm,AF=15cm,四边形ABCD的周长为67.5cm.求AB,BC的长.【解析】依题意可设AB=CD=xcm,BC=AD=ycm.因为S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,所以12y=15x,即4y=5x.因为2(AB+BC)=67.5,所以2(x+y)=67.5,所以解得所以AB,BC的长分别是15cm,18.75cm.三、分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想.在研究数学问题时,常把需要研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.【应用链接】在研究四边形时,审题要注意考虑问题的全面性.对于无图题,正确画出所有符合题意的图形是关键,有些题目要注意分类.在研究数学问题时,常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准,且要做到不重复不遗漏.【典例3】(2017·通辽中考)在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于E,DF平分∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5,则AB=________.【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,得出AB=BE=CF=CD,分两种情况,即可得到结论.【解析】①如图1,在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴AB=BE=CF=CD∵EF=5,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8;②在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF+EF=2AB+5=11,∴AB=3.综上所述:AB的长为8或3.答案:8或3【变式训练】(2016·孝感中考)在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为( )A.3B.5C.2或3D.3或5【分析】本题考查了平行四边形的性质和分类讨论的数学思想,解题的关键是正确应用图形的性质.(1)先根据题目要求画出图形,会发现此题有两种情况.(2)根据图形分别找到两个等腰三角形:△ABE和△CDF,再根据图形中线段之间的关系列出方程即可解.【解析】选D.本题分两种情况讨论:①如图1,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF-EF=BC,∴2AB-EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8,AB=5.②如图2,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF+EF=BC,∴2AB+EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB+2=8,AB=3.综合①、②两种情况可得:AB=3或5.。
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平行四边形
学科素养·思想方法
一、转化思想
【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种重要思想,通过转化可以将复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的问题,从而使问题得到解决.
【应用链接】平行四边形、矩形、菱形、正方形都被其对角线分成几个三角形或特殊三角形.在解决有关计算题与证明题时,也常通过连接四边形的对角线构成三角形,将四边形问题转化到三角形中,利用三角形的知识进行解答.
【典例1】如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线交AD于点E,
交BC于点F.若▱ABCD的面积为30cm2,求阴影部分的面积.
【分析】运用全等三角形的性质将S△BOF转化为S△DOE,从而使三块阴影部分构成一个整体,
然后根据其与平行四边形的关系求其面积.
【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,DC=BA.
∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴S△ABC=S△CDA=S▱ABCD=×30=15(cm2).
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD∥BC.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴△DOE≌△BOF(AAS).∴S△DOE=S△BOF.
∴S阴影部分=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△DOE+S△AOE+S△COD=S△CDA=15cm2.
【变式训练】如图,李村有一块呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大
核桃树,李村准备开挖池塘建养鱼池,要使池塘面积扩大为原来的2倍,又想保持大核桃
树不动,并要求扩建后的池塘呈平行四边形,请问这个村能否实现这一设想?若能,请你
设计方案并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法).
【解析】能实现.如图所示.设AC,BD相交于点O,由作法可知,所得四边形为平行
四边形,由性质知△AA′B≌△BOA,△D′AD≌△ODA,△CC′D≌△DOC,△BB′C≌
△COB,所以面积扩大为原来的2倍.
二、方程思想
【思想解读】方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.
【应用链接】方程是沟通数量关系的桥梁,本章中常通过三角形的中位线、矩形、菱形、正方形等与勾股定理相结合的方式找到等量关系列方程(组)进行求解.
【典例2】(2016·毕节中考)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【分析】根据折叠可得DH=EH,在直角△CEH中,设CH=x,则DH=EH=9-x,根据BE∶EC=2∶1可得CE=3,可以根据勾股定理列出方程,从而解出CH的长.
【解析】选B.设CH=x,则DH=EH=9-x,
∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴CE=BC=3,
∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,
即(9-x)2=32+x2,解得:x=4,
即CH=4.
【变式训练】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=12cm,AF=15cm,四边形ABCD的周长为67.5cm.求AB,BC的长.
【解析】依题意可设AB=CD=xcm,BC=AD=ycm.
因为S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,
所以12y=15x,即4y=5x.
因为2(AB+BC)=67.5,
所以2(x+y)=67.5,
所以解得
所以AB,BC的长分别是15cm,18.75cm.
三、分类讨论思想
【思想解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想.在研究数学问题时,常把需要研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.
【应用链接】在研究四边形时,审题要注意考虑问题的全面性.对于无图题,正确画出所有符合题意的图形是关键,有些题目要注意分类.
在研究数学问题时,常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准,且要做到不重复不遗漏.
【典例3】(2017·通辽中考)在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于E,DF平分
∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5,则AB=________.
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC,由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF,等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD,同理BE=AB,根据平行四边形的性质得到AB=CD,AD=BC,
得出AB=BE=CF=CD,分两种情况,即可得到结论.
【解析】①如图1,在▱ABCD中,
∵BC=AD=11,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,
DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD,
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8;
②在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD,
CD=AB,CD∥AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,
∵AE平分∠BAD交BC于点E,
DF平分∠ADC交BC于点F,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,
∴AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF+EF=2AB+5=11,
∴AB=3.综上所述:AB的长为8或3.
答案:8或3
【变式训练】(2016·孝感中考)在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为( )
A.3
B.5
C.2或3
D.3或5
【分析】本题考查了平行四边形的性质和分类讨论的数学思想,解题的关键是正确应用图形的性质.(1)先根据题目要求画出图形,会发现此题有两种情况.(2)根据图形分别找到两个等腰三角形:△ABE和△CDF,再
根据图形中线段之间的关系列出方程即可解.
【解析】选D.本题分两种情况讨论:
①如图1,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.
又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF-EF=BC,
∴2AB-EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8,AB=5.
②如图2,∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF.
又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF.又∵AB=CD,∴BE=CF=AB.∵BE+CF+EF=BC,∴2AB+EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB+2=8,AB=3.
综合①、②两种情况可得:AB=3或5.。