高三数学第二轮复习高考中直线与圆的探究 试题

南丰中学高三数学第二轮复习高考中直线与圆的探究
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、复习目的
1．理解直线与圆的根本概念、解析几何的根本思想； 2．理解线性规划的意义，并会简单的应用。

3．掌握圆的HY 方程和一般方程，理解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

二、小题热身
1、假设直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆52
2
=+y x 相切，那么c 的值是〔 〕
A ．8或者－2
B ．6或者－4
C ．4或者－6
D ．2或者－8
2、将参数方程⎩
⎨
⎧=+=θθ
sin 2cos 21y x 〔θ为参数〕化为普通方程，所得方程是_
3、点P 〔x ，y 〕在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,
02y x y x 表示的平面区域上运动，那么z ＝x －y 的取值范围是 〔 〕
A ．[－2，－1]
B ．[－2，1]
C ．[－1，2]
D ．[1，2] 4、直线y=
2
1
x 关于直线x ＝1对称的直线方程是 ． 三、例题选讲
例1、在平面直角坐标系中，矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合〔如图５所示〕．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． 〔Ⅰ〕假设折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； 〔Ⅱ〕求折痕的长的最大值．
例2、点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如下图的直角坐标系.
(1)写出直线B A ''的方程； 〔2〕计算出点P 、Q 的坐标；
〔3〕证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.
例3、根据指令(r,θ)(r ≥0,-180°＜θ≤180°)，机器人在平面上能完成以下动作：先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ)，再朝其面对的方向沿直线行走间隔 r.(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其挪动到点(4，4)；(2)机器人在完成该指令后，发如今点(17，0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，假设忽略机器人原地旋转所需的时间是，问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人
截住小球所需的指令.(结果准确到小数点后两位)
O
(A)
B
C
D
X
Y
四、稳固练习
1、在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，
那么当△OAB 的面积达最大值时，=θ〔 〕 A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π
2、直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，那么OB OA ⋅ ＝ . 3、直线ax+by+c=0(abc ≠0)与圆x 2
+y 2
=1相切，那么三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形〔 〕
圆锥曲线的根本问题〔1〕
一、复习目的
1、能解决圆锥曲线的方程、参数之间的关系的问题.
2、利用曲线定义求解的问题 二、小题热身
1．假设双曲线的渐近线方程为x y 2
3
±
=，那么其离心率为〔 〕. A 、
213 B 、313 C 、13
3
132或 D 、313213或 2．假设双曲线1492
222=-k
y k x 与圆x 2+y 2
=1无公一共点那么k ∈______. 3、设F 1、F 2为椭圆两焦点，点P 是以F 1，F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，假设∠PF 1F 2=2∠PF 2F 1，那么椭圆离心率为 三、例题选讲
例1、〔1〕假设
112||2
2-=-+-k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距的取值范围是〔 〕. A 、〔1，+∞〕 B 、〔0，1〕 C 、〔1，2〕 D 、与k 有关
〔2〕假设椭圆12222=+b
y a x (a>b>0)与圆2
2222)2(b a b y x -+=+相交，那么椭圆的离心率的取值
范围为_______.
例2、〔1〕双曲线122
22=-b
y a x 的左支上一点P ，⊙O'为ΔPF 1F 2的内切圆，那么圆心O'的横坐标为〔 〕.
A 、a
B 、-a
C 、
2a c - D 、2
c
a - 〔2〕双曲线的虚轴长为4，离心率2
6
=
e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，假设过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB|是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，那么|AB|为〔 〕.
A 、28
B 、24
C 、22
D 、8 四、稳固小结
1、椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的左焦点F 到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的间隔 等于7
b
，那么椭圆
的离心率为〔 〕. A 、
21 B 、5
4
C 、677-
D 、677+
2、F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，那么P 点轨迹为〔 〕.
A 、圆
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
圆锥曲线的根本问题〔2〕
一、
复习目的
1、掌握求曲线方程的根本方法；
2、掌握求解直线与圆锥曲线的位置关系题的根本方法； 二、
小题热身
1、直线y=kx+1与椭圆152
2=+m
y x 恒有公一共点，那么m 的取值范围是〔 〕. A 、m ≥1且m ≠5 B 、m ≥1 C 、m ≠5 D 、m ≤5
2、如图，直线l 1, l 2相交于M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1, 以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的间隔 与到点N 的间隔 相等，假设ΔAMN 为锐角Δ，17||=AM ， |AN|=3，|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C 的方程. 三、例题选讲
例1、椭圆D:
125
502
2=+y x 与圆:x 2+(y-m)2=9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有一样焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切.
1〕当m=5时，求双曲线G 的方程.
2〕当m 取何值时，双曲线的两条准线间的间隔 为1.
例2、抛物线y 2
=2px(p>0)，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.
例3、在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于y=kx+3对称，求k 范围.
四、稳固小结
1．过点〔2，4〕作直线与抛物线y 2
=8x 只有一个公一共点，这样的直线有〔 〕. A 、一条 B 、两条 C 、三条 D 、四条
2．直线l : )2(-=x k y 与曲线x 2-y 2
=1(x>0)相交于A ，B 两点，那么直线l 的倾角为〔 〕.
A 、[0，π〕
B 、)43,2()2,4(
πππ
π Ｃ、),2(]2,0[πππ Ｄ、)4
3,4(ππ 3、设点O 为原点，点M 在直线l : x=-p(p>0)上挪动，动点N 在线段MO 的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|. 求动点N 的轨迹方程.
高考第一问训练〔1〕
一、复习目的
高考解答题中解析几何是在第二问中加大区分度的，因此第一问的训练对于普通来说还是非常重要的，而第一问常考察动点的轨迹，求直线方程 ，圆锥曲线方程中的根本量，近年来，又参加了向量，但只是考察向量知识为主，以向量方法去做题在第一问中考察的还不多。

二、小题热身
1、 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，
||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

求椭圆的方程及离心率；
三、
例题分析
例1、设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M 〔0，1〕的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点， 点P 满足)(21OB OA OP +=
，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1） 动点P 的轨迹方程；
例2、过抛物线x 2
=4y 的对称轴上任一点P 〔0,m 〕(m >0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点
P 关于原点的对称点.
〔I 〕设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:)(QB QA QP λ-⊥；
四、
稳固练习
1、倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；
(2) 假设直线l 与双曲线1:222
=-y a
x C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，
求a 的值；
高考第一问训练〔1〕
一、复习目的
1、进一步稳固高考中第一问常考察的动点的轨迹、求直线方程 、圆锥曲线方程中的根本量的求解。

2、引导学生适时地对难度不大的第二、第三问进展讨论，帮助学生克制对解析几何的恐惧感。

二、小题热身
1、椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
2、抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的间
隔 等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线方程;
(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;
(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.
三、例题分析
例1、椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，
直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． 〔1〕求椭圆C 的离心率；
例2、直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线
02:=-y x l 上.〔１〕求此椭圆的离心率；
例3、椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
OA OB +与(3,1)a =-一共线。

〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；
四、稳固练习 1、动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
〔I 〕求动圆圆心C 的轨迹的方程；
2、中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 假设直线l ：2+
=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为
原点)，求k 的取值范围。

高考中直线与圆的探究答案
二、小题热身
1、A
2、(x-1)2
+y 2
=4 3、 C 4、x+2y-2=0 三、例题选讲
例1、.解(I) 〔1〕当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2
1=y 〔2〕当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1) 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k a
k k OG -=⇒-=-=⋅11
,
1 故G 点坐标为)1,(k G -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标〔线段OG 的中点〕为)2
1,2(k M -
折痕所在的直线方程)2
(21k
x k y +=-，即222k k kx y ++= 由〔1〕〔2〕得折痕所在的直线方程为：
k=0时，2
1
=y ；0≠k 时222k k kx y ++
= 〔II 〕(1)当0≠k 时，折痕的长为2;
(1) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21
(),21,0(22k k P k N +-+ 2
3
22222
4)1()21()21(k
k k k k PN y +=+-++== 4
32222/
168)1(42)1(3k k
k k k k y ⋅+-⋅⋅+=
令0/
=y 解得22-
=k ∴216
27max <=PN 所以折痕的长度的最大值2
例2、解: (1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘
t B +-11 于是 直线B A ''的方程为1+-=tx y ；
〔2〕由方程组⎩⎨⎧+-==+,
1,122tx y y x 解出 ),(10P 、),(2
2
21112t t t t Q +-+； 〔3〕t
t k PT 1
001-=--=
, t t t t t
t t t t k QT
11112011222
22
=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 例3、
【分析】此题考察角的概念和函数的的有关 应用问题.
【解析】(1)r=42，θ=45°，得指令为 (24,45°).
(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球， 那么因为小球速度是机器人速度的2倍，所以 在一样时间是内有
｜17-x ｜=222)40()4(-+-x ，即3x 2
+2x-161=0,得x=-3
23
或者x=7. ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动间隔 最短，∴x=7，故机器人最快可在点P °) 四、稳固练习 1、 D 2、2
1
-
3、B 圆锥曲线的根本问题〔1〕
二、小题热身 1． D. 2． 31>k 或者3
1
-<k . 3、√3-1 三、例题选讲
例1、〔1〕分析:首先应把方程HY 化，方程可化为:
12
||111||22
222=---⇒=-+-k x k y k y k x
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-=0
2||0122k b k a ， ∴ k>2 c 2=a 2+b 2
=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1
∴ c>1，选A.
〔2〕分析:圆锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式断定，一般来说应结合图形分析. 由图可知圆半径r 满足 b<r<a,
∴ ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=<-+<2
222
22c b a a b a b b , 解得
5355<<e . 例2、〔1〕分析:设PF 1，PF 2，F 1F 2与内切圆⊙O'的切点分别为M ，N ，Q ，由双曲线定义， ∵ |PF 2|-|PF 1|=2a, ∴ |PN|+|NF 2|-(|PM|+|MF 1|)=2a, 而 |DN|=|PM| ，|MF 1|=|QF 1|, |NF 2|=|QF 2|
∴ |QF 2|-|QF 1|=2a 又 |QF 2|+|QF 1|=2c,∴ |QF 2|=a+c=c-x Q , ∴ x Q =-a,
∵O'Q ⊥F 1F 2, ∴x Q'=x Q =-a ， 选B.
〔2〕分析:利用双曲线定义， ∵ AB 在左支上，∴|AF 2|-|AF 1|=2a, |BF 2|-|BF 1|=2a ∴ |AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4a, 又∵ 2|AB|=|AF 2|+|BF 2|, |AF 1|+|BF 1|=|AB|
∴ 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧+===222264
2b a c a c
b 得22=a ， ∴ 28||=AB ，选A.
四、稳固小结
1、分析:此题条件不易用平面几何知识转化，因此过A 、B 的方程为
1=+-b
y
a x ，左焦点F(-c,0)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⇒+==+-+--2
22222
2
2711|10|c
a b c b a b
b a b a
c ，化简，得5a 2-14ac+8c 2
=0 得21=a c 或者45〔舍〕， ∴ 选A.
小结:“双曲线122
22=-b
y a x (a>b>0)〞，那么由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e 的范围限制，
即a>b>0,∴ a 2
>b 2
, ∴a 2
>c 2
-a 2 从而21<
<e .
2、分析:延长F 2P 交F 1Q 的延长线为M ，由椭圆定义及角平分线，
∵ ⎩⎨⎧==+|
|||2||||221MQ Q F h
Q F Q F ∴ |F 1Q|+|MQ|=|F 1M|=2a,那么点M(x 0,y 0)的轨迹方程为
22
0204)(a y c x =++......① 设P 点坐标(x, y), ∵ P 为F 2M 中点，∴
⎩⎨
⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=y
y c x x y y x c x 222020000，代入①，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a 2, ∴ x 2+y 2=a 2
, 选A.
圆锥曲线的根本问题〔2〕
二、
小题热身
1、分析:直线与椭圆恒有公一共点⇔联立方程Δ恒大于等于0，
由Δ≥0恒成立可得 m ≥1-5k 2
恒成立，∴ m ≥(1-5k 2
)max , ∴m ≥1且m ≠5，选A. 2、分析:以l 1为x 轴，以MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图.
由题意，曲线段C 是以N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一局部， 其中A 、B 分别为C 的端点.
由条件，可求方程为y 2
=8x(1≤x ≤4, y>0)〔过程略〕 三、例题选讲
例1、解:1〕椭圆D 的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c=5.
设双曲线G 的方程为)0,0(12222>>=-b a b
y a x ∴ 渐近线为bx ±ay=0且a 2+b 2
=25,
m=5时，圆心M(0,5), r=3.∴
3|
5|22=+a
b a , 得 a=3, b=4， ∴G 方程为11692
2=-y x . 2〕双曲线两准线间间隔 为15
22
=a ， ∴ 26=a ，
∵ G 的渐近线与M 相切， ∴
3||2
2
=+±a
b ma ，∴ 103±=m .
例2、解:设OA=y=kx, 那么x k
y OB 1
:-
=，
⎪⎩⎪⎨⎧==px
y kx y 22 得)2,2(2k p k p A 同理 B(2pk 2
, -2pk)
222
2211
111
2222k k
k k k k
k
k pk k p pk k p k AB
-=-=-+=-+= AB:2
322
2121)2(12k pk x k k pk x k k pk y ---=--=+ )2(112112212
22232p x k
k k pk x k k k pk pk x k k y --=---=----=....① 而op: x k
k y 2
1-=.....② ∵ P 为AB 与OP 的交点，联立①②⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧--=--=)2......(..........1)1).......(2(12
2x k k y p x k k y (1)×(2)消去k,
y 2
=-(x-2p)x, ∴ x 2
+y 2
-2px=0(x ≠0)
即为所求.
例3、解:设B 、C 关于直线y=kx+3对称，那么BC 方程为x=-ky+m,
代入 y 2
=4x 得 y 2
+4ky-4m=0 设B(x, y), C(x 2, y 2), BC 中点M(x 0, y 0), ∴ k y y y 22
2
10-=+=
, x 0=2k 2+m, ∵ M(x 0, y 0)在l 上，∴ -2k=k(2k 2
+m)+3
∴ k
k k m 3
223++-=, 又BC 与抛物线交于两点，
∴Δ=16k 2
+16m>0, 即
0323<++k k k ，0)
3)(1(2<+-+k
k k k 解得-1<k<0. 四、稳固小结
1．分析:首先注意点〔2，4〕在抛物线上，其次只有一个公一共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因此选B.
2．分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ断定，
x 2
-k 2
(x 2
-22x+2)=1 (1-k 2
)x 2
+22k 2
x-2k 2
-1=0
∴ ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧>-+-=+>--=+>≠-0121012200122
212212k k x x k x x k ∆
∴ k>1 或者 k<-1. ∴ 倾角)4
3
,2()2,4(πππ
π∈θ ，选B. 3、解:设N 坐标为(x, y)，过N 作NN'⊥x 轴于N', ∵ M ，O ，N 一共线， ∴
p
p
x p p x O M N M MO MN +=--==)(|'||''|||||，
由 |MN|=|MO|·|NO|
∴
)0(||22>+==+x y x NO p
p
x ∴ 所求方程为(p 2
-1)x 2
+p 2y 2
-2px-p 2
=0(x>0)
高考第一问训练〔1〕
二、小题热身
1、解：由题意，可设椭圆的方程为22
221(2).x y a a b
+=>
由得
222
2,
2().
a c a c c c ⎧-=⎪
⎨=-⎪⎩
解得 6, 2.a c =
=
所以椭圆的方程为
22
162
x y +=，离心率6.3e = 三、
例题分析
例1、解：〔1〕解法一：直线l 过点M 〔0，1〕设其斜率为k ，那么l 的方程为.1+=kx y
记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=141
22y
x kx y 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，032)4(2
2
=-++kx x k ，所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=++-=+.48,42221221k y y k
k x x 于是 ).44,4()2,2()(212
22121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+=
…………6分 设点P 的坐标为),,(y x 那么
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得042
2=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点〔0，0〕，也满足方程③，所以点P 的轨迹方 程为.042
2
=-+y y x ………………8分
解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以
,14212
1
=+y x ④ .142
22
2=+y x ⑤
④—⑤得0)(4122212
22
1=-+
-y y x x ，所以 .0))((4
1
))((21212121=+-++-y y y y x x x x
当21x x ≠时，有.0)(41
2
1212121=--⋅++
+x x y y y y x x ⑥ ① ②
并且⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧--=-+=+=.
1,2,2212121
21x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧ 当21x x =时，点A 、B 的坐标为〔0，2〕、〔0，－2〕，这时点P 的坐标为〔0，0〕 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为
.14
1)21(1612
2=-+y x ………………8分 例2、解：〔1〕依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42
=得
.0442=--m kx x ①
设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根. 所以 .421m x x -=
由点P 〔0，m 〕分有向线段AB 所成的比为λ， 得
.,012
121x x
x x -==++λλλ即
又点Q 是点P 关于原点的对称点，
故点Q 的坐标是〔0，－m 〕，从而)2,0(m QP =.
).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=- ])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅
2
2
121212
2212144)(2])1(44[2x m
x x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+= .0444)(22
21=+-⋅+=x m
m x x m
所以 ).(QB QA QP λ-⊥ 四、
稳固练习
(3) 1、答案： (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩
⎨
⎧=++--=18)2()1(3
2
2y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(。

〔2〕由⎪⎩⎪⎨⎧=--=1322
2
y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，那么4221621=-=+-a a x x ，得2=a 。

高考第一问训练〔2〕
二、小题热身
1、解：〔Ｉ〕设椭圆方程为22
221y x a b
+=〔0a b >>〕，半焦距为c, 那么
2
1||a MA a c
=-,11||A F a c =-,
由题意，得 2
2222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
,解得
2,1a b c ===
故椭圆方程为22
143
y x += 2、[解](1) 抛物线y 2
=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2
p
=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.
(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴k FA =
34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43
, 那么FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=5
4
,
∴N 的坐标(58,5
4
).
(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离. 当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=
m
-44
(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的间隔 d=2
)
4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1
∴当m>1时, AK 与圆M 相离; 当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交. 三、例题分析 例1、 答案：〕设
c
F F r PF r PF 2||,||,||212211===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得
1)2
(2441244242)(24cos 2
212
22
12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F
0212=-=e ， 解出 .2
2=e
例2、答案：设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=11).,(),,(22
2
22211b y a
x x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,
根据韦达定理，得
,22)(,22
22
212122
221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为〔2
22
222,b
a b b a a ++〕. 由得2222222
22
22
22)(22,02c a c a b a b
a b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为2
2
=
e . 例3、解：设椭圆方程为)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+
那么直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b y a x ，化简得
02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .
令A 〔11,y x 〕，B 22,(y x 〕，那么22222
121222222,.a c a c a b x x x x a b a b
-+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 一共线，得
,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，
.2
3
,
0)()2(3212121c x x x x c x x =
+∴=++-+∴ 即2322
22c
b
a c a =+，所以3
6.32222a b a c b a =
-=∴=， 故离心率.3
6==a c e 四、稳固练习
1、解：〔I 〕如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，
由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2
p
x =-的间隔 相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；
2、解：〔Ⅰ〕设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由得.1,2,2,32222==+==
b b a
c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x 〔Ⅱ〕将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l
与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩
即.13
1
22<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，那么
22
9
,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k
-+=
=⋅>+>--由得
而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
22
222937
(1)2.131331
k k k k k -+=+++=---
于是2222
37392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.33
12
<<k ② 由①、②得
.13
1
2<<k
故k
的取值范围为(1,-⋃ 制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。