高等数学高数课件 8.3数量积、向量积、混合积

的单位向量.
解
i j k i j c a b ax a y az 3 2
k
4 10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
| c | 102 52 5 5,
c
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
例7 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2) 和 C(1,3,1)
的三角形中, 求 AC 边上的高 BD.
解 AC 0,4,3, AB 4,5,0,
三角形 ABC 的面积为
S
Hale Waihona Puke 1 2|AC
AB
|
1 2
152
122
162
25 2
,
又
S
1 2
|
AC
|
|
BD
|,
|
AC |
42 (3)2 5,
所以
25 2
1 2
5
|
BD
|,
从而 | BD | 5.
例8
设向量
m
,
n,
p
两两垂直,
符合右手规则,
且
| m | 4,
2
3 .
(3) a b | b | Pr jba,
4 Pr
jba
a b |b |
3.
例2
证明向量
c
与向量
(a
c
)b
(b
c )a
垂直.
证 [(a c )b (b c )a] c
[(a c )b c (b c )a c]
(b c )[a c a c]
ax j ax
bx
bx
ay by
k
ax bx
ay by
az . bz
因此, a ∥ b
ax bx
ay by
az bz
,
bx、by、bz 不能同时为零, 但允许两个为零.
例如,
ax ay az 0 0 bz
ax 0,a y 0.
例6
求与
a
3i
2
j
4k ,
bi
j 2k 都垂直
7a
5b
垂直,
a
4b
与
7a
2b
垂直,
求
a
与
b
之间的夹角.
解 所以
a
3b
7a
5b
(a 3b) (7a 5b) 0
即
7
|
a
|2
15
|
b
|2
16a
b
0
(1)
又
a
4b
7a
2b
所以
(a 4b) (7a 2b) 0
即
7
|
a
|2
8
|
b
|2
30a
b
0
(2)
例5
例10 利用向量积证明三角形正弦定理. 证
因为 AB AC CB,
所以
AB AB AC AB CB AB,
故 AC AB CB AB 0, 即 AC AB CB AB.
例10 利用向量积证明三角形正弦定理.
证 因为 AB AC CB, 所以 AB AB AC AB CB AB,
a b axbx a yby azbz
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a b ,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
0,
[(a c )b (b c )a] c.
例3 用向量方法证明三角形三条高相交于一点. 证 先作三角形两条高,得到交点P,再证明第三条
高也经过点P即可.(如图所示）
设AD,BE为三角形 ABC 的边BC,AC上的高,
并相交于P, 则 AD BC, BE AC C
若CP垂直于AB,则AB上的高也
j i k,k j i,i k j. a b (a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k.
向量积的坐标表达式 利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:
向量积的运算
利用三阶行列式表示成方便记忆的形式:
i jk
ab ay by
az i az bz bz
故 AC AB CB AB 0, 即
两边取模 即 故
AC AB CB AB.
| AC AB || CB AB |,
bc sin ac sin ,
a
sin
b
sin
.
例10 利用向量积证明三角形正弦定理. 证
即
两边取模 即 故
AC AB CB AB.
| AC AB || CB AB |,
h c
为底面上的高, 故以 a , b , c 为棱作的
平行六面体的体积为
V Ah
a b c
( ab)c
混合积的几何意义
向量的混合积有下述几何
意义: 以向量 a、b、c 为棱作
a bd
一个平行六面体, 并记此
六面体的高为 h, 底面积为 A, 再记 a b d , 向量 c
与d 的夹角为 .
M1 s
M2
1. 定义
WF s
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作 ab
为a与b的数量积 (点积) .
b a
a
b
|
a
||
b
|
cos
| b | cos Pr jab, | a | cos Pr jba,
a b | b | Pr jba | a | Pr jab.
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积.
| n |
2,
| p | 3,
计算(m n) p.
解
|
m
n
|
|
m
||
n
|
sin(
m
,
n)
依题意知
m
n
与
4 2 p 同向,
1
8,
(m n ,
p)
0,
(m
n)
p
|
m
n
|
|
p
|
cos
8 3 24.
例9 已知单位向量 OA与三个坐标轴的夹角相等
B是点M(1,-3,2)关于点N(-1,2,1)的对称点,求 OA OB
向量积符合下列运算规律:
(1) a b b a;
(2) 分配律: (a b) c a c b c;
(3) 若 为数: ( a) b a ( b) (a b).
问题思考：
若 a b a c，则是否必有 b c ？
看一个反例:
(1，0，0)(0，1，1) (1，0，0)(1，1，0) 但 (0，1，1) (1，1，0) 如若 a b a c，a b a c，这两个条件都
c
b
a
当 d与 c 指向底面的同一侧(0 / 2)时，
h | c | cos ;
当 d与 c 指向底面的相异一侧( / 2 )时， h | c | cos( ) | c | cos ,
bc sin ac sin ,
a
sin
b
sin
.
例10 利用向量积证明三角形正弦定理.
证 即 AC AB CB AB.
两边取模 | AC AB || CB AB |,
即 故 同理可证
bc sin ac sin ,
a
sin
b
sin
.
b
sin
c
sin
.
因此
a
sin
b
sin
D
过P点。故只需证 CP AB.
E
P
B
CP AB (CA AP) AB
A
CA AB AP(AC CB)
CA(AB AP) CA PB 0
例4 试用向量方法证明三角形的余弦定理.
证 如图所示,
C
设在 ABC中, BCA ,
b
θa
| CB | a, | CA | b, | AB | c, A
例1 已知 a {1,1, 4}, b {1, 2, 2}, 求
(1) a b;
(2)
a
与
b
的夹角;
(3)
a在
b上的投影.
解
(1) a b 11 1 (2) (4) 2 9.
(2) cos
axbx a yby azbz
1 ,
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
设
a
3b
与
7a
5b
垂直,
垂直,
求
a
与
b
之间的夹角.
a
4b
与
7a
2b
解
7
|
a
|2
15
|
b
|2
16a
b
0
(1)
7
|
a
|2
8
|
b
|2
30a
b
0
(2)
例5
设
a
3b
与
7a
5b
垂直,
a
4b
与
7a
2b
垂直, 解
求
a
与
7|
b a
|之2间15的| b夹|2角 1. 6a
b
0
(1)
7
|
a
|2
8
|
b
|2
30a
b
0
(2)
联立方程(1),
所以 cos
(2)得 |a
a,b
|2 |
b
|2
2a
a b
| a || b |
b
1 2
a
,
b
3.
二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
成立，此时是否必有 b c ？
向量积的运算
设 a ax i a y j az k,b bx i by j bz k, a b (ax i a y j az k) (bx i by j bz k). i i j j k k 0, i j k, j k i,k i j,
0.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a
b
b
a;
（2）分配律：(a b) c a c b c;
（3）若
为数：(a)
b
a
(b
)
(a
b
),
若
、为数： ( a )
(
b )
(a
b
).
问题：设
a
0，若
则是否必有
a b
a
c
b c.
成立，
注意：数与向量之间只有数乘运算, 没有点积运算
c
sin
,
三角形正弦定理得证.
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a b c
ab
为a , b , c 的混合积 . 如图
( a b ) c | a b || c | cos
c
b a
其中 A a b ,为平行四边形的底面积,
数量积也称为“点积”、“内积”.
数量积的性质：
(1)
证
a a | a |2
0,
. a a
|
a
||
a
|
cos
|
a
|2
.
(2)
证
ab ()
0a b 0a,|ba.|
0,
| b | 0,
cos 0,
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
第三节 数量积 向量积 混合积
一、向量的数量积（内积） 二、向量的向量积（外积） 三、向量的混合积
一、两向量的数量积 (scalar product)
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
WF
s
cos
功的数量由F与s所唯一确定. 数
学上把这种运算抽象为数量积 运算.
数量积的坐标表达式
设
a axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
i jk, i j j k k i 0,
|
i
||
j
||
k
|
1,
i i j j k k 1.
由向量积的定义, 即可推得:
(1) a a 0.
向量积的定义
(1) a a 0.
(2) 设 a 0,b 0, 则 a ∥ b
a b 0.
注意到: a ∥ b
sin 0, 即可得证.
注: 由向量积的定义可知,c a b的模在数值上
等于以 a、b 为邻边的平行四边形的面积, 即
| a b || a || b | sin .
解 依题意知 OA (i j k) 且| OA| 32 1
由此得
3. 3
故
OA (
3 ， 3 ， 3 ). 333
再令B的坐标为(x,y,z),则由
1 x 1, 3 y 2, 2 z 1
2
2
2
得B的坐标(-3,7,0),所以 OB (3，7，0)
i
j
k
从而 OA OB 3 3 3 3 3 3 3 (7,3,10).
现A|Bc要|2证c|c,ac则2|c2有a|(2bac|2b2ba2)2|aa(bab|,c从|obbs而)| c.oas记
CB
a .
b
c
a,
b
CA
2a
B
b,
b
由 | a | a, | b | b,| c | c, 即得
c2 a2 b2 2ab cos .
例5
设
a
3b
与
3
3 7
0
例10 利用向量积证明三角形正弦定理.
证 设 ABC的三个内角为 , , , 三边长为a,b, c
(如图).
因为 AB AC CB,
所以
C
b
a
AB AB ( AC CB) AB
A
c
B
AC AB CB AB,
故 AC AB CB AB 0, 即
AC AB CB AB.
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
o
P
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
二、向量积的定义
定义 2 若由向量 a与 b 所确定的一个向量 c 满足