概率论知识点总结及心得体会

第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为①。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Q。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或3.全体样本点的集合称为样本空间•样本空间用S或Q表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件一单点集，复合事件一多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B二A 或A B o
若A B且A二B则称事件A与事件B相等，记为A = B。

定义：和事件
“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B的和事件。

记为 A U B o用集合表示为：A U B={e|e € A，或e € B} o
定义：积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A AB或AB，用集合表示为AB={e|e € A且e€ B}。

定义：差事件
称“事件A发生而事件B不发生，这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A - B,用集合表示为A-B={e|e € A, e B}。

定义：互不相容事件或互斥事件
如果A, B两事件不能同时发生，即AB = O，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

定义6 :逆事件/对立事件
称事件“ A不发生”为事件A的逆事件，记为d。

A与d满足：A U Q = S,且.A d=①。

运算律：
设A, B, C为事件，则有
(1 )交换律：A U B=B U A, AB=BA
(2) 结合律：A U (B U C)=(A U B)U C=A U B U C
A(BC)=(AB)C二ABC
(3 )分配律：A U (BAC) = (A U B) A(A U C)
A(B U C)= (A AB)U (A A C)二 AB U AC
(4)德摩根律: A B = A B
A B = A B
小结:
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容; 四种运算：和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。

第二节：
1、 设试验E 是古典概型，其样本空间S 由n 个样本点组成，事件
A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为：P(A) = k/n =
A 包含的样本点数/S 中的样本点数。

2、 几何概率：设事件 A 是S 的某个区域，它的面积为 M A )，则 向
区域S 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为：
P (A )=卩(A ) /卩(S )
假如样本空间S 可用
一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S 上随机投掷一点的 含义如前述，则事件 A 的概率仍可用(*)式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.
(3) P( A) = 1 - P( A),
(4)
若 A B ,则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) >P(A).
第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称 为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).
P (AB ) P(A |B)：
P (B )
概率的性质: (1) P( )=0,
(2)
A ： , A j ,i, j =1,2, ,n,i -
,两两互不相容,
/ n
则 P
u A k
Ik m
n
八 P A k ；
k
-A
P U ①=送P (①)
<m
m =1
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“ B发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.
乘法公式：若P(B)>0,则P(AB)= P(B)P(A|B)
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式：设A I,A2,…,A n是试验E的样本空间Q的一个划分，且
n
P(A i)>0 , i = 1,2,…,n, B是任一事件,则P (B)二為P (A i) P (B I A i)
i -1
贝叶斯公式：设A I,A2,…A n是试验E的样本空间Q的一个划分，且
P(A i)>0 , i = 1,2,…,n, B 是任一事件且P(B)>0,贝S
P ( A i | B) = P (A i) P ( B I A i) ' P ( A j) P ( B I A j)
第五节：若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立.
将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A、B、C，若
P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时成立则
称事件A、B、C相互独立.
第六节：定理对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k 次的概率为P n(k) =C：pkq2 k =0,1,…，n, q F - p
总结：
1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，
在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并
应用于概率的计算。

4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：随机变量及其分布
1、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：设X是一个r.v，x为一个任意实数，称函数
F(X)=P (X w x)为X的分布函数。

X的分布函数是F(x)记作X 〜F(x)或F x(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就
表示X落在区间(x w X)。

非降* 即若Xj<x jt则F(Xj)< FfxJ ;
⑵ F(—对= F(x) = H
F( + □) = lirll F(x)= 1
y)F(x)右连续*即lim厂(*)=尸(扯)
x—^xi
3、离散型随机变量及其分布
定义1 :设X k(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P(X=x k)=P K,为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.其中
P K, X); 3P k=1
分布律与分布函数的关系：
(1)已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为
P{X=x k}=p k (k=1 , 2,…)
由概率的可列可加性可得X的分布函数为F(x) = P{X E x}=22 P{X = X k}
X k "：：x
即F ( x)八P k
x k "：：x
②已知随机变量X的分布律，亦可求任意随机事件的概率。

(2)已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：
P{X 二X k} = F (X k)- F (X k - 0) k= 1,2,3,
一、三种常用离散型随机变量的分布
.1 (0 —1)分布：
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为
P{X=k}=p k(1-p) 1-k , k=0 , 1. (0<p<1)
则称X服从(0 —1)分布，记为X (0 —1)分布。

(0—1)分布的分布律用表格表示为：
X 0 1
0 X £0
P 1-p p 易求得其分布函数为F(x)=“-p 0兰XC1
p X兰1 2. 二项分布(bi no mial distributi on) :
定义：若离散型随机变量X的分布律为P・X=kdC n Pq k=0,1,…，n
r I k k 1 k
其中0<p<1,q=1-p, 则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为 X B(n,p).
泊松分布的定义及图形特点
设随机变量X 所有可能取的值
k
为0,1 , 2 ,…,且概率分布为： P (X 二k ) =e
, k=0,1,2;……, k !
其中 入>0是常数，则称X 服从参数为 入 的泊松分布，记作
X ~P (入)•、
连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 (1) f(x) >0 (2)
」(忖"
(3) .X 落在区间(x 1 , X 2)的概率 P 「X 」：:X 乞 x 2 ' F (x 2) - F ( x 」 f (x)dx
J x
1
几何意义：X 落在区间(X 1, X 2)的概率P{x 1 <X <X 2}等于区间(X 1, X 2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积. (4) .若f(x)在点x 处连续，则有F'(x)二f(x)。

.概率密度f(x )与分布函数F(x )的关系：
(1) 若连续型随机变量X 具有概率密度f(X )，则它的分布函数为
F(x)
二
(2) 若连续型随机变量X 的分布函数为F(x )，那么它的概率密度为 f( x )=F '(x ).
注意：对于F(x )不可导的点x 处，f(x )在该点x 处的函数值可任意 给出。

三种重要的连续型分布:
x
:f(t)dt
则称X 服从参数为入的指数分布.
常简记为X 〜E （入） 指数分布的分布函数为 F （ x ）
R
指数分布的一个重要特性是”无记忆性”
则称随机变量X 具有无记忆性。

3. 正态分布
若r.v X 的概率密度为
2
X 〜N
（
=二）
f （x ）所确定的曲线叫作正态曲线.
的正态分布称为标准正态分布
1 .均匀分布(Uniform Distributen)
设连续随机变量X 具有概率
-1
密(x)=」b _a
a ...x ...
b 其他
则称X 在区间（a , b ）上服从均匀分布，记为X U （a , b ）.
工 0 X ：：： a
x a
若X~U （a ，b ），则容易计算出X 的分布函数为
F （
x —w —x
1 x
2.指数分布
设随机变量X 满足：对于任意的s>o ，
t>0,有
2
其中□和
都是常
任意, 卩>0 ,
则称X 服从参数为 □和
2
二的正态分布.
记作
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
设则F 二兰二壬TV(0,1)
CT
随机变量函数的分布
设X为连续型随机变量，具有概率密度f x(x)，求Y二g(X) ( g连续)的概率密度。

1 .一般方法一一分布函数法
可先求出Y的分布函数F Y(y):
因为F Y(y)=P{Y <y}=P{g(X) <y}，设l y={x|g(x) <y}
则
F Y y…J' Jx(x)d—g(x)y f X(X)dX
再由F Y(y)进一步求出丫的概率密度f Y y二F Y W)
2. 设连续型随机变量X的密度函数为x(x), y=f(x)连续,求丫二f(X) 的密度函数的方法有三种：
(1)分布函数法；
(2 )若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；
(3 )若y=g(x)在不相重叠的区间I1」2，…上逐段严格单
调，其反函数分别为h i(y), h 2(y),…且h r i(y), h 2(y),
…均为连续函数，则丫二g(X)是连续型随机变量，其密度函数为
F F
72 " X【h/y)h (y)…x【h2(y)】h2(y)+ -
对于连续型随机变量，在求 Y =g (X )的分布时，关键的一步 是把事
件{ g (X )< y }转化为X 在一定范围内取值的形式，从而可以 利用X 的分布来求P { g (X )< y }.。

第三章、多维随机变量
F(x,y) = P {( X < x ) (Y E y)} = P{X 乞 x,Y 乞 y} 称为二维随机变量 (X ,Y )的分布函数 ，或称为随机变
量X 和Y 的联合分布函数
.分布函数的性质
1° F (x,y)是变量 x 和y 的不减函数 ，即对于任 意固定的 y,当 X 2 - X i 时 F (X 2, y) - F (X i , y),
2° 0 乞 F (x, y)乞 1 ,
对于任意固定的y , F (丄,y) = lim F (x, y)二0, 对于任意固定的x , F (X,」：)=lim F (x,y) = 0,
y T
F (-co ,-oo ) = lim F(x,y) = 0, F (亦，母)=li%F (x, y) = 1.
3° F (x,y)二 F (x 0,y), F (x, y) = F (x, y 0), 即F ( x, y)关于x 右连续，关于 y 也右连续.
4° 对于任意
(X i ,yJ (X 2,y 2), X i X 2, y 「y ?,
有 F (X 2, y 2)一 F (X 2, y i ) F (X i , y 」- F (x^ y ?) - 0.
离散型随机变量的分布、
设二维离散型随机变量
(X , Y )所有可能取的
值为(X i , y j ), i, j = i, 2,,记
P{X = X j , Y = y j }二 P ij , i, j = i, 2,,
设(X ,Y )是二维随机变量 二元
函数 ： ,对于任意实数
称此为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律，
QO O0
其中P q - 0,二二P ij = 1.
i=1 j=1
连续型随机变量及其概率密度
性质
(1)f(x,y)—0. (2) f(x,y) dxd y= F(：, ： ) =1.
(3) 设G是xOy平面上的一个区域，点(X ,Y )落在
G 内的概率为P{(X，Y)・ G} = f (x,y) d xd y.
G
Q F ( x y)
(4) 若f ( x, y)在(x,y)连续，则有 f ( x, y).
：x ：y
边缘分布1离散型随机变量的边缘分布律
设二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布
律为P{X 二X
-P ij , i , j = 1,2，….
i,丫二y j}
oO
记P i •八P ij = P{ X
=x i },i = 1,2，…，
QO
P<j 八P ij = P{Y二y j}, j = 1,2,,
i 二
分别称P i.(i=1,2，…)和p«j(j=1,2，…)为(X ,Y )
关于X和关于Y的边缘分布律
连续型随机变量的边缘分布
对于连续型随机变量(X , Y),设它的概率密
度为 f (x, y),由于
x oQ
F x(x)二F(x,：：)二[f (u,v)dv]du,
-so a
Q Q
记f x (x)二 f (x, v)d v,
称其为随机变量(X ,Y)关于X的边缘概率密度
随机变量的独立性:
设 F (x, y)及F X (x), F Y (y)分别是二维随机变量
(X , Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x , y 有P{X 空x,Y 乞y}二P{X 乞x}P{Y 乞y},
F(x,y)二F X(X)F Y(V),
两个随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量
的分布律为
则随机变量函数 Z =■ g(X ,Y)的分布律为
二.连续型随机变量函数的分布
第四章.、随机变量的数字特征 随机变量的数学期望
若 x ,,x 2
，…，x n
相互独立 ，且 X i
服从参数为
a , (3 (i 二1,2厂，n)的】分布，则
n
x, • x 2
•… X n
服从参数为
、a , 3的】分布.
i =1
E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质 上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.
(3)设连续型随机变量 边缘概率密度分别为
(X ,Y)的概率密度为 f (x, y), f x (x), f y (y),则有
P{x 二 X i ,Y
y j }二 P ij , i, j = 1,2,
,
P{Z 二 Z k }二 P{g(X,Y)二 Z k }
任给 >0, P {| X -E ( X ) |一 ；}乞 2
P {| X - E ( X )1：：： ；} 一 1
一
2
2.连续型随机变量数学期望的定义
E (X )二 x f (x)d x.
3. 数学期望的性质
E (C ) = C E (CX )= CE (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
f n 、 n E H a i X i C = H a j E(X j ) + C
l i 丄
丿 i 丄！
当 X ,Y 独立时，E (X Y ) =E (X )E (Y ) 若存在数a 使P (X - a ) = 1,则E (X ) - a ； 若存在数b 使P (X 空b ) = 1,则E (X )空b.
第二节：随机变量的方差
方差的定义 设X 是一个随机变量
，若E{[X - E(X )]2}存在，
则称E{[X - E (X )]2}为X 的方差，
记为D(X )或Var( X )，即
D(X)二 Var( X)二 E{[X - E(X )]2
}.
设离散型随机变量 X 的分布律为
设连续型随机变量k }二PX ，的概率密阳T . f (x),若 积分
若级数
Q0
X k P k 绝对收敛，则称级数 J 1
x f(x)d X
的数学期望",记为E(X ).即
-fee
,则称积分：： x f ( x)d x
E(X)=》x k p k .
变量X 绝对收敛
X 的数学期望，记为=i E(X ).即
O0
x k P k 为随机 k 二 1
的值为随机变量
数学期望的本质
定积分 它是一个数不再是随机变量
D(X ) 描述r.v. X的取值偏离平均值的平均偏离程度
5.随机变量方差的计算
2 2
利用公式计算D(X)二E(X ) -[E(X)].
方差的性质 1. D (C) = 0 2. D (CX ) = C2D(X)
D(aX+b ) = a2D(X)
D (X - Y)二D(X) D( Y)
±2E((X - E(X))( Y - E(Y )))
特别地，若X ,Y相互独立，则D(X - Y)二D(X厂D( Y)
若X i, X j均相互独立，a 1 , a 2 , a n , b均为常数，则< n > n
D U a i Xi + b 丨=瓦a：D(X i)
3 i 二1s-' i二1
2若X ,Y相互独立可得 D (X - Y)二D(X ) • D(Y)
逆命题不成立；
3若X ,Y相互独立可得E(XY)二E(X)E(Y)
逆命题不成立。

4. 对任意常数C, D (X )辽E(X -C)2 ,当且仅当C = E(X )时等号
成立
5. D (X ) = 0等价于P (X = E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)。

切比雪夫不等式
设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于
任给>0, P {| X -E ( X ) |一；}乞2P {| X - E ( X )1：：：；} 一 1 一2
常见陣机变量的方差(P.159)
分布概率分布方差
参数为P 的
CM分布P(X= 1) = p
P(X = O) = l-p
pU-p)
k
尸仏)/ei A
Z12 (26)
分布概率密度方差
区间(%)上f (X、
一J
:1 A
a<x<b7(b-a^
的均匀分布J ■b —u
\ a 其它12
x>071
E{X)/(X)■ <丄
[o,其它
1 o疔
N© a2)/⑴=_-_e&CT
27
第三节、协方差与相关系数
量E{[X - E(X )][Y - E(Y)]}称为随机变量X 与Y的协方差•记为Cov( X ,Y),即
Cov( X，丫)二E{[X - E(X )][丫- E(Y)]}・
若'XY = 0，则称x ,『不相关Y)
XY JD(X)气D(Y)
为随机变量X与丫的相关系数
注：(1) X和丫的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。

2、若随机变量X和丫相互独立
二Cov( X,Y)二E{[X E(X)][Y E (Y )]}
二E[X - E(X)]E[Y - E(Y )]
二0.
二D(X Y )二D (X ) D(Y )
2E{[X - E(X)][Y - E (Y )]}
二D(X ) D(Y) 2Cov (X ,Y)
二 D ( X ) D(Y ).
协方差的计算公式
Cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y)
D(X+_Y)二D(X)+D( Y)+2Cov(X, Y)
协方差的性质：
(1) Cov( X ,Y )二Cov( Y , X );
(2) Cov( aX ,bY H ab Cov( X ,Y ), a, b 为常数；
(3) Cov( X「X2,Y)二Cov( X「Y) Cov( X2,Y ). 相关系数：
二维正态分布密度函数中，参数p代表了与Y的相关系数。

二维正态随机变量X 和Y 相关系数为零等价于X 和丫相互独立
即XY 相互独立 等价于XY 不相关 不相关的充要条件
1° X ,Y 不相关 u P XY 二 0；
2° X , Y 不相关二 Cov( X ,Y H 0；
3° X ,Y 不相关二 E(XY )二 E(X )E(Y)・ 相关系数的性质：
(1)
| P XY - 1.
(2) | p XY 卜1的充要条件是
：存在常数 a, b 使
P {Y 二 a bX } = 1.
第五章：极限定理
大数定理：设｛Xn ｝为一随机变量序列，E(Xn)存在，记
1 n Y n
X j - E X j 】n 二 1,2,
n
i m
则称｛Xn ｝服从(弱)大数定律。

切比雪夫大数定律： 设X l ,X 2, •是相互独立的随机变量序列,
它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即
D (X) <,
1 n
1 n
i = 1,2, •，…则对任意的 g>0 lim. P ｛I X i —— 送 E (XJ0｝=1 i 土
n i m
马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出
n
1 丁
lim
D(X 」=0
若 lim PlY n | ::
n —jod
lim P< —送〔X j — E(X j )] v 名卜=1, [n n —I ::
I
i ==1
只要(△，则大数定理就能成立。

切比雪夫大数定律的特殊情况：设X1,乂，•是独立随机变量
2
序列，且E(X)二卩,D(X)二二 ,i=1,2, •则对任给；>0,
1 n lim P{| —X
j」| = 1
n宀n j =1
辛钦大数定律：设随机变量序列X l,X2, •独立同分布，具有有限的
1 n
数学期E(X)二u,i=1,2,，…则对任给£>0 ,lim P{| —' X j —卜；} = 1 j n j丄辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提
供了一条实际可行的途径.
中心极限定理: 独立同分布下的中心极限定理:
设X1 ,X2, •是独立同分布的随机变量序列，且E(X i)= ,
2
D(X i)= - , i=1,2,…，则
X 1 e-t2 2dt
■- \ 2-。