2019-2020版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 3.3全称命题与特称命题的否定 Word版含答案

3.3全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称命题与特称命题的否定在形式上的变化规律(重点).2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定(重、难点).
知识点一全称命题的否定
全称命题p：任意x∈M，p(x)，
它的否定綈p：存在x0∈M，綈p(x0).
知识点二特称命题的否定
特称命题p：存在x0∈M，p(x0)，
它的否定綈p：任意x∈M，綈p(x).
【预习评价】(正确的打√，错误的打×)
(1)任意x∈R，2x－1>0.()
(2)任意x∈N+，(x－1)2>0.()
(3)存在x0∈R，lg x0<1.()
(4)存在x0∈R，tan x0＝2.()
提示(1)中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；(2)中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；(3)中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；(4)中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题.
答案(1)√(2)×(3)√(4)√
知识点三全称命题与特称命题的关系
全称命题的否定是特称命题.
特称命题的否定是全称命题.
【预习评价】
(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
(2)对省略量词的命题怎样否定？
提示(1)不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.
题型一全称命题的否定
【例1】写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.
(3)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
规律方法全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
【训练1】写出下列全称命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.
(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.
题型二特称命题的否定
【例2】写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解(1)綈p：任意x>1，x2－2x－3≠0.(假)
(2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假)
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
规律方法特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.即p：存在x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：任意x∈M，綈p(x)成立.
【训练2】写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”.当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题.
【例3】 已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围.
解 因为全称命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”的否定形式为：“存在
x 0∈R ，x 20＋ax 0＋1＜0”.
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题. 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图像易知：Δ＝a 2－4＞0，解得a ＜－2或a ＞2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
【迁移1】 (变换条件)本例中把条件“任意x ∈R ”改为“x ＞0”，则实数a 的取值范围是________.
解析 由题意新命题的否定“存在x 0＞0，x 20＋ax 0＋1＜0”为真.因为f (x )＝x 2＋
ax ＋1是开口向上的抛物线且过(0，1)点，借助二次函数的图像易知
⎩⎨⎧Δ＝a 2－4＞0，－a 2＞0.
解得a ＜－2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－2).
答案 (－∞，－2)
【迁移2】 (变换条件)本例中把条件“假命题”改为“真命题”.求实数a 的取值范围.
解 对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0是真命题，即对任意实数x ，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4≤0.解得－2≤a ≤2.所以a 的取值范围是{a |－2≤a ≤2}.
规律方法含有一个量词的命题与参数范围的求解策略：(1)对于全称命题“∀x∈或a＜f（x）”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化M，a＞f(x)()
或a＜f（x）min.
为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max()
或a＜f（x0）”为真的问题，实质就是不等(2)对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)()
式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞或a＜f（x）max.
f(x)min()
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决.
课堂达标
1. 命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是()
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：任意x∈A，2x∈B，
则()
A.綈p：任意x∈A，2x∈B
B.綈p：任意x∉A，2x∉B
C.綈p：存在x∉A，2x∈B
D.綈p：存在x∈A，2x∉B
解析命题p：“任意x∈A，2x∈B”是一个全称命题，其命题的否定綈p应为“存在x∈A，2x∉B”，选D.
答案 D
3.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.
解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.
答案有的向量与零向量不共线
4.命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2＞0”的否定为________.
解析因为全称命题的否定为特称命题，
所以命题的否定为：存在实数x0，使得x20－2x0＋2≤0.
答案存在实数x0，使得x20－2x0＋2≤0
5.写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)q：任意x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：存在x0∈R，|x0|＞0.
解(1)綈q：存在x0∈R，x0是5x0－12＝0的根，真命题.
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题.
(3)綈s：任意x∈R，|x|≤0，假命题.
课堂小结
1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型：是全称命题还是特称命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
基础过关
1. 下列命题中，为真命题的全称命题是( )
A.对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.存在x ，x 2＝x
D.对数函数在定义域上是单调函数
解析 A 中含有全称量词“任意”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －
1)2≥0，是假命题；B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题，所以选D.
答案 D
2.下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )
A.两个无理数的和必是无理数
B.存在一个实数x ，使1x ＝0
C.至少有一个实数x ，使x 2<0
D.有个实数的倒数等于它本身
解析 A 项，为全称命题；B 项，1x 是不能为零的，故B 为假命题；C 项，x 2≥0，
故不存在实数x 使x 2<0，故C 为假命题；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 为真命题.
答案 D
3.命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是( )
A.不存在x ∈R ，2x >0
B.存在x 0∈R ，2x 0≥0
C.对任意的x ∈R ，2x ≤0。