(含2套高考模拟题)高中数学专题2.2.2椭圆的简单的几何性质2测试含解析新人教A版选修2

椭圆的简单的几何性质（2）
（时间：25分，满分55分）
班级 姓名 得分
一、选择题
1．椭圆x 212＋y 2
3＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是
( ) A ．±
3
4 B ．±
32
C ．±
22
D ．±34
答案：A
2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )
A.15
B.25
C.55
D.255
解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22
＋12
＝5，所以e ＝c a
＝2
5
＝255.
答案：D
3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y2
4＝1
内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y2
4
＝1相交，故选B ．
4．过椭圆x 2＋2y 2
＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )
A.67
B.167
C.716
D.76
答案：B
5．已知F 是椭圆x 225＋y 2
9＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )
A ．6
B ．15
C ．20
D ．12
解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1
2|OF |·2b ＝12.
答案：D
6．椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n
的值是( ) A ．
22
B ．233
C ．92
2
D ．2327
解析：选A 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
mx 2
＋ny 2
＝1，
y ＝1－x 消去y 得，
(m ＋n )x 2
－2nx ＋n －1＝0．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝
2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n
， 代入y ＝1－x 得y 0＝m
m ＋n
．
由题意y 0
x 0＝
22，∴m n ＝2
2
，选A ． 二、填空题
7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 2
25
＋y 2
16
＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM u u u u r |＝1，且PM u u u u r ·AM u u u u r ＝0，则|PM u u u u r
|
的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵PM u u u u r ·AM u u u u r
＝0， ∴AM u u u u r ⊥PM u u u u r ．
∴|PM u u u u r |2＝|AP u u u r |2－|AM u u u u r |2＝|AP u u u r
|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP u u u r |min ＝2，∴|PM u u u u r
|min ＝3．
答案： 3
8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．
9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24
＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP uuu r ·FP u u u r
的最大值
为________．
解析：由x24＋y2
3
＝1可得F(－1,0)．
设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP uuu r ·FP u u u r ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24
＝14
x2＋x ＋3＝1
4
(x ＋2)2＋2，
当且仅当x ＝2时，OP uuu r ·FP u u u r
取得最大值6．
答案：6
10．已知椭圆C ：x 2
2
＋y 2
＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF
→
|＝________．
解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 2
2＋y 2＝1知a 2＝2，b 2
＝1，
所以c 2
＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →
得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝1
3
n .
将x 0，y 0代入x 2
2＋y 2
＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n 2
＝1.
解得n 2
＝1，所以|AF →
|＝（2－1）2＋n 2
＝1＋1＝ 2.
答案： 2 三、解答题
11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 2
2＋y 2
＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．
解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2
2
＋y 2
＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2
＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k
2，x 1x 2＝0.
由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝329，
所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2
＝329，
所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝329.
即(1＋k 2
)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k 1＋2k 22
＝
329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2
＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.
12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝1
2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆(x ＋1)2
＋y 2
＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →
，
求实数λ的取值范围．
(3＋4k 2
)x 2
＋8ktx ＋(4t 2
－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有
x 1＋x 2＝－
8kt
3＋4k
2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝
6t 3＋4
. 因为，λOC →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝
⎛⎭⎪
⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，
所以，4k 2t 2
（3＋4k 2）2λ2＋3t
2
（3＋4k 2）2λ
2＝1⇒
λ2
＝
t 2
3＋4k
2
＝
1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 22
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1t 2＋1.
因为t 2
＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2
＜1，
所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）
A ．10
111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
B ．11
1132⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．11
1132⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．10
111
232
⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭
2．已知函数2,()5,x x x a
f x x x a
⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是
（ ）
A ．(0,1)[5,)+∞U
B ．6(0,)[5,)5
+∞U C ．(1,5]
D ．6(,5]5
3．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，
2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++L ()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则1
2
z z 等于（ ） A ．345
i
+-
B ．
345
i
+ C ．34i -+
D ．
345
i
-+ 5．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,1,0,1,2--
6
．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x …
时，函数()f x =若
111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
a f
b f
c f ，则,,a b c 大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
8．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1
B ．1或
1
2
C ．
3 D ．3±
10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，125
2
a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85
B ．
852
C ．35
D ．35
2
11．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，
则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512
π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 12．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
，
则λμ+等于（ ）．
A ．12
-
B ．
12
C ．1
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．
14．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_____．
15．已知函数()()ln ()ln x
x e
ax e x f x x ax
--=
-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是
__________．
16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面,4,,,ABCD PA AB E F H ==分别是棱
,,PB BC PD 的中点，过,,E F H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=
+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜
5
64
. 18．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos23cos 10C C +-=. （1）求角C 的大小；
（2）若3b a =，ABC V
sin A B ，求sin A 及c 的值.
19．（6分）已知椭圆22:12
x C y +=的左、右焦点分别为12,,F F 直线l 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线2
4y x
=交于不同的两点,P Q ，且125,
F P F Q ⋅=-u u u r u u u u r 过2F 的直线m 与椭圆C 交于,A B 两点，设22,F A F B λ=u u u u r u u u u r
且[]2,1λ∈-- .
（1）求点T 的坐标；
（2）求TA TB +u u r u u r
的取值范围.
20．（6分）已知函数()ln b
f x x ax x =-+（a ，b R ∈），且对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；
（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由. 21．（6分）在①23
16b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问
题中的正整数k 存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，
__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，
是否存在正整数{}n b ，使得1
32k k k S S b +=++成立？
22．（8分）平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y -+=.直线l 经过点(,0)P m ，且倾斜角为
6
π
，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB ⋅=，求实数m 的值．
23．（8分）已知函数()()
2
1cos f x x x =.
（Ⅰ）若α是第二象限角，且sin 3
α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为
12
3
n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121
133
n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项.
【详解】
由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .
①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为
()12
23
n P n -≥； ②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是
()()11
1,23
n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=
+-，即111
33
n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，
∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232
n
n P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，10
10111
232
P ⎛⎫=⋅+ ⎪
⎝⎭， 故选：D. 【点睛】
本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 2．A 【解析】 【分析】
分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】
作出2
y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：
函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，
当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，
()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意；
1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意； ()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.
综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U . 故选：A. 【点睛】
本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题. 3．B 【解析】 【分析】
根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.
【详解】
∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-. ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n
b -=.
∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+
()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212
n
n n n +-=⨯-=---.
∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．A 【解析】 【分析】
先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解1
2
z z . 【详解】
因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+
所以
()()()1222234
22255
+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题. 5．D
【解析】 【分析】
先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】
由已知，2
217
2()024
x x x -+=-
+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 6．C 【解析】 【分析】
集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】
由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，
联立y 2y x =，
2x =，整理得2
1
5
x =，
即x =，
当5
x =-
时，20y x =<，不满足题意；
故方程组有唯一的解55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.
7．A 【解析】 【分析】
由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】
对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，
当1x ≥时，()f x =
所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-
<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f ， b c a <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 8．A 【解析】 【分析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】
解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 9．C
【解析】 【分析】
由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】
因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故2
34q =
，因{}n a 为正项等比数列，故0q >
，所以q = C. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；
（2）公比1q ≠时，则有n
n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；
（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n
q .
10．B 【解析】 【分析】
将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】
设公差为d ，则11522234
a d a d ⎧
+=
⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=
. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可
得； 【详解】
解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3
ϕ=
，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】
由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44u u u v u u u v u u u v =-，所以13
λ,μ44
==-，即可求解，得到答案．
【详解】
由平面向量基本定理，化简()
11DE DA AE DA AC AD AB AD 44
=+=+=-+
+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2
+=-， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到
13DE AB AD 44
u u u v u u u v u u u v
=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．22【解析】 【分析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】
解：样本的平均数13579
55x ++++=
=,
∴这组数据的方差是()()()()()22222
2115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣
⎦
28,S ∴＝
标准差S ＝,
故答案为：【点睛】
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 14．
5
2
． 【解析】 【分析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．
由1202103
2x x y x y y ⎧=
⎪+-=⎧⎪⇒⎨
⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 5
2C z ∴=
，2B z =，2A z =- 5
2
c z ∴=取最大值．
故答案为： 5
2．
【点睛】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 15．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
根据指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为(
)()ln 0x
e ax
x ax --<恒成立问题，凑而可
知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【详解】
由指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，
()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax
-<-恒成立，即()
()ln 0x
e ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，
即y ax =是夹在函数x
y e =与ln y x =的图象之间，
y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，
则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m e
k e =⎧⎪⎨=⎪⎩
；
设过原点且与x
y e =相切的直线与函数相切于点(
),n
n e
，
则切线斜率2n
n
e k e n ==，解得：21n k e
=⎧⎨=⎩；
当1
a e =
时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e
∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1
,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论. 16
． 【解析】 【分析】 【详解】
设G 是CD 中点，由于,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，所以
11
//,,//,22
EF PC EF PC HG PC HG PC =
=，所以//,EF HG EF HG =，所以四边形EFGH 是平行四边形.由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥，而BD AC ⊥，PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD PC ⊥.由于//FG BD ，所以BG PC ⊥，也即FG EF ⊥，所以四边形AFGH 是矩形.
而11
22
EF PC FG BD =
===
从而EFGH S ==
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2;n a n （2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （1）因为数列的前项和满足：
，
所以当时，
，
即 解得或
，
因为数列都是正项， 所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项， 所以，
当
时，有
，
所以，
解得，
当
时，
，符合
所以数列的通项公式
，
;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：
，
当时，
有，
所以
，
所以对于任意
，数列
的前项和
.
18．（1）3
C π
=（2）21
sin A =
；3c = 【解析】 【分析】
（1）由2cos 22cos 1C C =-代入cos23cos 10C C +-=中计算即可； （2）由余弦定理可得7c a =，所以sin 7A C =，由1
sin 3sin sin 2
ABC S ab C A B ==△，变形即可得到答案. 【详解】
（1）因为cos23cos 10C C +-=，可得：22cos 3cos 20C C +-=， ∴1
cos 2
C =
，或cos 2C =-（舍），∵0C π<<，
∴3
C π
=
.
（2）由余弦定理2222222cos 327c a b ab C a a a =+-=+=，
得c =
所以sin C A =
，
故sin
14
A C ==
，
又1sin sin 2
ABC S ab C A B =
=△，3C π∠=
所以2
4sin sin sin a b c A B C ⎛⎫
⋅== ⎪⎝⎭
，
所以c =【点睛】
本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
19．（1）()2,0T ；（2）⎡⎢⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）设出,P Q 的坐标，代入125
F P F Q ⋅=-u u u r u u u u r
，结合,P Q 在抛物线2
4y x =上，求得,P Q 两点的横坐标，进而求得T 点的坐标.
（2）设出直线m 的方程，联立直线m 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合11F A F B
λ=u u u r u u u r ，求得2TA TB +u u r u u r 的表达式，结合二次函数的性质求得TA TB +u u r u u r
的取值范围.
【详解】
（1）可知()()121
,0,1,0F F -， 设()()0000,,,P x y Q x y -
则()()002210020051
,1,1F P F Q x y x y x y ⋅=-=+--=--⋅u u u r u u u u r
， 又2
4y x =，
所以2
00514x x -=--
解得02,x = 所以()2,0T .
（2）据题意，直线m 的斜率必不为0,
所以设:1,m x ty =+将直线m 方程代入椭圆C 的方程中， 整理得(
)
2
2
2210t y ty ++-=， 设()()1122,,,,A x y B x y 则12222
t
y y t +=-
+① 1221
2y y t =-
+② 因为11,F A F B λ=u u u r u u u r
所以12,y y λ=且0,x <
将①式平方除以②式得
2
12221422
y y t y y t ++=-+ 所以22
1
422
t t λλ++=-+ []2,1,λ∈--又解得22
07
t ≤≤
又()12124,TA TB x x y y +=+-+u u r u u r ，()()212122
41422
t x x t y y t ++-=+-=-+ 所以()()()222121222228841622TA TB x x y y t t +=+-++=-+++u u r u u r
令2
1
2n t =
+， 则71,162n ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦ 所以222
7171698281684,4232TA TB n n n ⎛⎫⎡⎤+=-+=--∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦u u r u u r
TA TB ⎡+∈⎢⎣
⎦uu r uu r
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 20．（1）b a =（2）见解析（3）见解析 【解析】
试题分析：利用赋值法求出,a b 关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在(0,)+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.
试题解析：（Ⅰ）根据题意：令1x =，可得()1102f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以()10f a b =-+=，
经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 所以b a =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln a
f x x ax x
=-+
，且0x >， 所以()21a f x a x x =--' 22
ax x a
x
-+-=， 令()2
g x ax x a =-+-，要使()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，
所以
()20,10,{2140,00
a a a g a >>=->=-<V 或()2
0,
10,
{
2140,00
a a a g a <>=->=->V 解得102a <<或无解，所以a 的取值范围102a <<，可得2
1
028
a <<，
由题意知 2222ln 222a a a f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
2
22ln ln22a a a =+--，
令()22ln h x x x =+- 3
ln22
x -，则()222232x h x x x =-'- 42
3442x x x -+-=． 而当10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，4
344x x -+-= ()43410x x ---<，即()0h x '<， 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以
()12h x h ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
12ln24ln216-+-- 633lne 015>->
即1
02
a <<时，
202a f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
． （Ⅲ）因为()21a f x a x x =--' 22
ax x a x
-+-=，()2
g x ax x a =-+-． 令()0f x '=
得1x =
2x =．
由（Ⅱ）知102a <<
时，()y g x =的对称轴()1
1,2x a
=
∈+∞，2140a ∆=->，()00g a =-<，所以21x >.
又121x x =，可得11x <，此时，()f x 在()10,x 上单调递减，()12,x x 上单调递增，()2,x +∞上单调递减，所以 ()y f x =最多只有三个不同的零点．
又因为()10f =，所以()1,1x 在()f x 上递增，即[
)1,1x x ∈时，()0f x <恒成立．
根据（2）可知202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
且21028a <<，所以()21,12a x ∉，即()2
10,2a x ∈，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =．
由0101x x <<<，得
11x >，又()0010f f x x ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，()10f =，
所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，
1x ． 综上所述，()y f x =恰有三个不同的零点．
【点睛】利用赋值法求出,a b 关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需
()0f x '=在()0,+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，利用函数的导数研
究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点. 21．见解析 【解析】 【分析】
根据等差数列性质及12a =、35730a a a ++=，可求得等差数列{}n a 的通项公式，由34b a =即可求得3b 的
值；根据等式1
32k k k S S b +=++，变形可得132k k b b +=+，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通
项公式代入化简，检验是否存在正整数k 的值即可. 【详解】
∵在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，
∴510a =， ∴公差51
251
a a d -=
=-， ∴()112n a a n d n =+-=， ∴3
48b a ==，
若存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列的公比为{}n b 的公
比为()0q q >， 若选①，∵2316b b a =，
∴24b =， ∴3
2
2b q b =
=，
∴2n
n b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.
若选②，∵41224b a ==，
∴4
3
3b q b =
=， ∴383n n
b -=⋅，
∴23838332n n --⋅=⋅+， ∴332n -=方程无正整数解， ∴不存在正整数k 使得132k k b b +=+成立.
若选③，∵5348S S -=，
∴45
48b b +=，
∴28848q q +=， ∴260q q +-=，
∴解得2q =或3q =-（舍去）， ∴2n
n b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
22
．（Ⅰ）12x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）；（Ⅱ）1m =
或1m =+
1m =【解析】 【分析】 【详解】
试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用2
2
2
x y ρ+=，cos x ρθ
=化简表达式，得到曲线C 的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出m 的值.
试题解析：（1）:C 曲线的普通方程为2222
(1)1,2,x y x y x -+=+=即即2
2cos ρρθ=,
:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为
.
2{
().12
x m t
l t y t
=+
=直线的参数方程为为参数
（2）12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入22
2,x y x +=中
2220,t t m m ++-=得2
120,2,t t m m ∆>=-所以,013m ∆>⇒-<<
221,1,11m m m -==+由题意得得
考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.
23
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
且，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）由α为第二象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α及tan α的值，再代入
()f x 中即可得到结果.
（2）函数()f x 解析式利用二倍角和辅助角公式将()f x 化为一个角的正弦函数，根据x 的范围，即可得到函数值域. 【详解】
解：（1）因为α
是第二象限角，且sin 3
α=，
所以cos α==
所以sin tan cos α
αα
=
=
所以()(2
1133f α⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
（2）函数()f x 的定义域为,,2x x R x k k Z π
π⎧⎫
∈≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
且.
化简，得()()
2
1cos f x x x ==
2
1cos x ⎛=+ ⎝
2cos cos x x x =
1cos 222x x +=
+ 1sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为x ∈R ，且2
x k π
π≠+，k Z ∈，
所以7226
6
x k π
π
π+
≠+
， 所以1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭.
所以函数()f x 的值域为13,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦. （注：或许有人会认为“因为2
x k π
π≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
.） 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 【答案】D 【解析】 【分析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
所以7月收益最高，A 选项说法正确；4月收益最低，B 选项说法正确；16-月总收益140万元，712-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C 选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增
长240140100-=万元，所以D 选项说法错误.故选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
2．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距
离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆22
22x y a b
+=1
（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB
=2，△MAB 面积的
最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
3
B C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
求得定点M 的轨迹方程2
22
51639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】
设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足
MA MB
=2，
==2，化简得222
516(x )y 39
a a -+=
. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，
∴
141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，
=． 故选D ． 【点睛】
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
3．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正
数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0
0002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数
()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0
000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x
h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减，
∴()()14max h
x h ==，而0
024224x
x a a a -⋅+⋅≥=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
4．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()
f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．11,e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求
得h 的取值范围. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，
()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫
=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()
f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 5．已知1
1
1M dx x =
+⎰，20
cos N xdx π
=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）
A ．1
B ．0
C ．
2
π
D ．ln 2
【答案】D 【解析】
试题分析：1
011
ln(1)|ln 201M dx x x ==+=+⎰，20cos sin |120
N xdx x π
π===⎰，所以M N <，所以由程序框图输出的S 为ln 2.故选D ． 考点：1、程序框图；2、定积分．
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与
双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈u u u r u u u u r u u u r
，且6
25λμ=
，则该双曲线的离心率为( ) A ．
32
4
B ．
52
12
C ．
53
12
D ．
6
12
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，求出点
()()bc P c a λμλμ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，
即可求出离心率． 【详解】
由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，，，
，代入OP OM ON λμ=+u u u r u u u u r u u u r 得：()()bc P c a λμλμ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，，
代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到e =，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
7．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a 的方程即可求解 【详解】 因为1
y a x
'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 8．已知集合{}2,1,0,1A =--，{
}2
2
*
|,B x x a a N
=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】
解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.
9．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据奇偶性，求出()()f x g x -的解析式，令1x =，即可求出。

【详解】
因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，21()()(1)2x f x g x x ++=+-，用x -替换x ，得
21()()(1)2x f x g x x -+-+-=-+- ，
化简得2
1
()()(1)2
x f x g x x -+-+=--，即1
2()()2
(1)x f x g x x -+-=--
令1x =，所以0(1)(1)201f g -=-=，故选C 。

【点睛】
本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

10．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，则()f x 的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．0
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】。