高考数学专题09等差数列与等比数列(基础篇)解析版 Word版含解析

《2016艺体生文化课-百日突围系列》
专题9 等差数列与等比数列
等差数列的概念与运算
【背一背基础知识】 1．等差数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)n a a n d =+-. 3．等差中项 如果2
a b
A +=
，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的前n 项和
(1)公式的推导：等差数列的前n 项和公式是用倒序相加法求得的． (2)等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=+=
【讲一讲基本技能】 1.必备技能：
(1)等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)，第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －
1(n ≥2)．
(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．
①通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B (A 、B 是常数)，则{a n }是等差数列．
②前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．
(3)等差数列可以由首项a 1和公差d 确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a 1和d 进行．
(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a 1，d .
如果再给出第三个条
件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题． 2.典型例题
例1已知数列}{n a 为等差数列，且12a =，1332=+a a ，则=++654a a a （ ） （A ）45 （B ）43 （C ）42 （D ）40 【答案】42 【解析】
2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴=，
45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯= .
例2已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）
（A ）
172 （B ）19
2
（C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】
【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.
【练一练趁热打铁】
1.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ． 【答案】44
【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由
6
11111611211()114422
a a a S a ⨯+=
===
2. 已知数列}{n a 中，11=a ，2
1
1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27
【解析】∵2≥n 时，2
1,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，2
1
为公差的等差数列 ∴271892
1
289199=+=⨯⨯+
⨯=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.
【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.
等差数列的性质
【背一背基础知识】 1.等差数列{a n }的常用性质
(1)通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (d 为数列{a n }的公差)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n
－2
＝….
(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…构成等差数列，公差为k 2d . (5)S n ＝
a 1＋a n
2
n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －2
2
n ＝…. 2．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 (1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋
n
n －2
d 可化为：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d
2
)n .
数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的常数项为零的二次函数，
即2
n S An Bn =+.
(2)在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【讲一讲基本技能】 1.必备技能：
(1)等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，d ≠0时，a n 是n 的一次函数．当d >0时，{a n }为递增数列，当d <0时，{a n }为递减数列，当d ＝0时，{a n }为常数列．
(2)等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋
n
n －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d
2
)n .d ≠0时，S n 是n 的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{a n }是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求S n 的最值问题．d ＝0时，S n 为n 的一次函数． (3)等差数列的单调性
等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增． 若d <0，则数列递减． 若d ＝0，则数列为常数列． (4)等差数列的简单性质
已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．
①若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . ②a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . ③数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，公差为m 2d . ④S 2n －1＝(2n －1)a n .
⑤若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n
2d .
若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
⑥数列{c ·a n }，{c ＋a n }，{pa n ＋qb n }也是等差数列，其中c 、p 、q 均为常数，{b n }是等差数列．
公差不为0的等差数列，求其前n 项和的最值，一是把S n 转化成n 的二次函数求最值；二是由a n ≥0或a n ≤0找到使等差数列的前n 项和取得最小值或最大值的项数n ，代入前n 项和公式求最值． 2.典型例题
例1在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += . 【答案】10．
【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，
345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．
【考点定位】等差数列的性质．
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记()
*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且，
()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．
例2等差数列}{n a 中，若15741=++a a a ，3963=++a a a ，则852a a a ++=______. 【答案】9. 【解析】
【练一练趁热打铁】
1. 在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则10122a a -的值为
（ ） A ．20 B ．22
C ．24
D ．28
【答案】C
【解析】由等差数列性质知468101285120a a a a a a ++++==，故824a =，而
10121122(9)7a a a d a d -=+=+1(11)a d -+824a ==.
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15890,0S a a >+<,则使得0n
n S a n
+
<的最小的n 为（ ）
A ．10
B ． 11
C ． 12
D ． 13 【答案】B 【解析】
等比数列的概念与运算
【背一背基础知识】 1．等比数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.
3．等比中项
若2
0G ab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝
a 1
－q n 1－q ＝
a 1q n －
q －1
＝a 1q n q －1－a 1
q －1
. 【讲一讲基本技能】 1.必备技能：
(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．
(2)在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论． (3)等比数列的判定方法：
①定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n
a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．
②中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． ③通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －
1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }
是等比数列．
④前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可． 2.典型例题
例1．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】
（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()11
143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，
解得13
1a d =⎧⎨=⎩
．
所以()112n a a n d n =+-=+．
（II ）由（I ）可得2n
n b n =+．
所以()()()()
231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++
()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
()()102121101012
2
-+⨯=
+
-
()112255=-+
112532101=+=．
【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）；
（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）． 例2. 数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6
【解析】
考点：等比数列定义与前n 项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.
【练一练趁热打铁】
1. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． 【答案】1
【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2
551b ac ==+-=，因
为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 【考点定位】等比中项．
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2
G ab =．
2等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3S = 2110a a + ，5a = 9，则1a =
（
）
（A ） （B ）- （C ） （D ）-
【答案】C 【解析】
3.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13,a a 是方程
26540x x S -+==的两个根，则 .
【答案】
【解析】由方程2
540x x -+=，又{}n a 是递增数列，
可得131,4a a ==， 6
126(1)122,2,63112
n a q a q S q --===
==--.
等比数列的性质
【背一背基础知识】 1. 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：m n
n m a a q -=，(n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则k l m n a a a a +=+.
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a n b n }仍是等比数列．
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .即项数成等差数列则对应项成等比． 2．等比数列前n 项和的性质
公比q 不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为n
q .
【讲一讲基本技能】 1.必备技能：
(1)等比数列的单调性．
①⎩⎨⎧
a 1>0q >1或⎩⎨⎧
a 1<00<q <1⇔{a n }为递增数列； ②⎩⎨⎧
a 1>00<q <1或⎩⎨⎧ a 1<0q >1
⇔
{a n }为递减数列；
③q ＝1⇔{a n }为非零常数列； ④q <0⇔{a n }为摆动数列． (2)等比数列其他性质．
①若数列{a n }是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1
a n }也是等比数列，若{
b n }是等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．
②数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍成等比数列．
③若等比数列{a n }的项数为2n ，则S 偶
S 奇＝q ，其中S 偶，S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项
的和．
④a n a m ＝q n －
m (m ，n ∈N *) 2.典型例题
例1在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是（ ） A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 【答案】A
【解析】分析：这题要用到等比数列的性质：2
111639a a a a a ==．
若{}n a 为等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅.所以
336936966lg lg lg lg()lg 3lg 6a a a a a a a a ++=⋅⋅===，所以2610a =，而
2161141010000a a a ===.故选A.
例2设{}n a 是公差不为0的等差数列, 12a =，且136,,a a a 成等比数列,则5a 的值为 .
【答案】4 【解析】
【练一练趁热打铁】
1.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++= （ ）
A.33
B.72
C.84
D.189 【答案】C 【解析】
2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，则{}n a 的通项公
式为n a = .
【答案】3n a =或21n a n =-
【解析】设{}n a 的公差为d.
由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =.
由124,,S S S 成等比数列得2
214=S S S .
又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+，
故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+. 若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意；
若23a =，则2
(6)(3)(122)d d d -=-+，解得0d =或2d =.
因此{}n a 的通项公式为3n a =或21n a n =-.
（一）选择题（12*5=60分）
1.在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题
.
2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==，则9S =（ ）
A.72-
B.54-
C.54
D.72
【答案】B
【解析】
3. 正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是
A.8
B.16
C.32
D.64
【答案】C
【解析】法一：由{}n a 是等比数列，且21016a a =，所以91116a q a q ⋅=，又2q =，则118
a =，所以889112328
a a q ==⨯=. 所以64a =,又公比为2，所以33964232a a q =⋅=⨯=，
故选C
法二：因为{}n a 是等比数列，且21016a a =，所以64a =，则
33964232a a q ==⨯=.
4．三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（ ）
A. 1
B. 4
C. 36
D. 49
【答案】A
【解析】
5．已知，1,1x y >>，且11ln ,,ln 44
x y 成等比数列，则xy 有（ ）
A 、最小值e
B 、最小值e
C 、最大值 e
D 、最大值e
【答案】A
【解析】1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，2
11ln ln 44x y ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即21ln ln ln ln 42x y x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭
，ln ln 1,ln 1x y xy +≥≥，故xy e ≥． 6．已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a +++
+=（*N t ∈），则t =（ ）
A ． 2014
B ．2013
C ．1007
D ．1006
【答案】C
【解析】由等差数列前n 项公式1201312320132013()20132
t a a a a a a a +++++==，由等差数列性质得12013100722t a a a a +==，所以1007t =，故选C.
7．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】1472a a a π++=，所以
443543524432,,2,tan()tan 333
a a a a a a a ππππ==
+==+==8．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243
a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 【答案】C
【解析】
9．已知数列}{n a 为等比数列,若,1064=+a a 则9373712a a a a a a ++的值为
（ ） A ．10
B ．20
C ．60
D ．100
【答案】D
【解析】{}n a 是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质，
22174396,a a a a a a ==，这样就有22217373944664622()100a a a a a a a a a a a a ++=++=+=． 10．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）
A.140,0a d dS >>
B. 140,0a d dS <<
C. 140,0a d dS ><
D. 140,0a d dS <>
【答案】B.
【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴
d a d a d a d a 3
5)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴d d a a a a S 3
2)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.
【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求
解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.
11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S =
A. 44
B. 54
C.61(41)3⋅-
D.51
(41)3
⋅-
【答案】B
【解析】由13n n a S +=，得13(2)n n a S n -=≥，两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=，∴14n n a a +=．又211333a S a ===，所以数列{}n a 从第二项起是公比这4的等比数列，
5563(14)1414
S -=+=-． 12数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113
a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ）
A.
12 B.23 C.32
D.2
【答案】A
【解析】
(二)填空题（3*5=15分）
13. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.
【答案】20
【解析】依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383221020a a a a +=+=⨯=.
14.等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .
【答案】100
【解析】根据等差数列的性质，把两条件式相加得12910110402()a a a a a a =+++=+，1101010()5201002
a a S +==⨯=.
15. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13
- 【解析】由题可得，
2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3
d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.
16. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
【答案】21n
-
【解析】
【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.
【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.。