湖南省高考文科数学试卷答案解析
湖南数学高考文科试卷及解答
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合，，则（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}（2）设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ） （B ） （C ）23（D ）（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b= （A（B （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B =(12i)(i)a ++131256a =2c =2cos 3A =结束（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,,，，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）（B ） （C ） （D ）（11）执行右面的程序框图，如果输入的n =1,则输出的值满足（A ） B ） （C ） D ）（12）若函数在单调递增，则a （A ） （B ）（C ） （D ）本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =___________（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=___________. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
高考文科数学试题及参考答案(湖南卷)
汽车维护保养实训----通用班---复习题填空题==================================================================================1、根据汽车不同使用时期的特点，汽车维护保养一般分为：常规性维护保养、季节性维护保养和走合期维护保养。
P32、维护保养作业以清洁、检查、紧固、调整、润滑和补给为主，维护保养范围随着行驶里程的增加逐渐扩大，内容逐渐加深。
P33、汽车常规性维护保养分为日常性维护保养、一级维护保养、二级维护保养三种级别。
P34、一级维护保养的间隔里程为7500-15000km或6个月，以行驶里程或使用时间首先达到者为准。
P55、免维护蓄电池状态指示器一般绿色表示蓄电池正常、无色表示电解液不足需更换、黑色表示蓄电池需要充电。
P1146、一般蓄电池单元格的电解液比重在1.250-1.280之间，要确保其比重偏差低于0.025。
p1157、发动机更换机油后检查液位，应先使发动机预热至少5分钟。
P388、汽车空调系统低压侧的正常压力值为0.15-0.25MPa，高压侧的正常压力值为1.4-1.6MPa。
9、汽车空调系统抽真空的终了压力值为0.1MPa。
p12710、普通火花塞间隙测量应使用火花塞间隙规，一般标准间隙大小为1.0-1.2mm。
p11711、汽车发电机正常工作时输出电压应在12.5-14.5V（DC）范围变化。
12、盘式制动器制动盘厚度应使用螺旋测微计测量。
P10113、检查动力转向液位时，应先转动转向盘数次，使转向液温度达到40-80℃。
P8714、带有动力转向系统的车辆，一般不要使转向盘完全停留在任何一侧超过10秒。
P8715、汽车维护保养中用于轮胎胎面深度的测量仪器是轮胎深度规。
P7716、用于测量冷却液冰点和蓄电池电解液密度的仪器是冰点测量仪。
P4117、维护保养时，驻车制动杆行程应在预定的槽数内，一般为5-8响。
湖南高考数学文科考试(带答案)
A.1+ B.1- C．－1+ Ｄ．－１-
【测量目标】复数代数的四则运算.
【考查方式】复数分数形式的化简．
【参考答案】A
【试题解析】 ,故选A．
2.下列命题中的假命题是()
A． B.
C． D．
【测量目标】函数值域定义域的判断
【考查方式】给出对数函数，三角函数,幂函数和指数函数求函数在某定义域下的值域．
４． 极坐标 和参数方程 (t为参数）所表示的图形分别是（）
A．直线、直线B． 直线、圆C．圆、圆D.圆、直线
【测量目标】极坐标和参数方程的图象
【考查方式】给出两个函数判断函数的图象.
【参考答案】Ｄ
【试题解析】由极坐标方程 可得 表示的是圆;
由参数方程 推得直线 ，故选D.
5． 设抛物线 上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()
A. 4B．6Ｃ. 8D．12
【测量目标】抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点和准线．
【考查方式】给定抛物线和抛物线上点到y轴的距离求点到焦点的距离.
【参考答案】B
【试题解析】易知抛物线的准线方程是 ,由抛物线的定义可知点 到该抛物线焦点的距离就是点 到该抛物线准线的距离，即 ,故选B．
6.若非零向量a,b满足｜ ，则a与b的夹角为()
11．在区间[ １,２]上随即取一个数x，则x [0,1]的概率为．
【测量目标】几何概率的计算
【考查方式】给定一区间,求x出现在一子区间的概率.
【参考答案】
【试题解析】由几何概型得长度比: ．
12.如图是求实数ｘ的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填
【测量目标】选择结构的程序框图．
【考查方式】给定程序框图求判断框中应该填写的内容.
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yx20xx 高考湖南文科数学试题及全解全析一．选择题1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )A ．{}6,4=⋂N M .B MN U =C ．U M N C u = )( D. N N M C u = )( 【答案】B【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3<x ”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A.3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.4.函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是( ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x fB)0()(.1≤--=-x x x fC )0()(.21≤-=-x x x fD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
15.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n【答案】D【解析】易知D 正确.6．下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 【答案】A【解析】由322log 21log 3log 5<<< , 故选A.7．在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( ) A ．23-B ．32-C ．32D ．23 【答案】D【解析】由余弦定理得1cos ,4CAB ∠=所以1332,42AB AC ⋅=⨯⨯=选Ｄ. 8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 【答案】C【解析】用直接法：11122135353515301560,C C C C C C ++=++=或用间接法：22224635903060,C C C C -=-=故选Ｃ.9．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( )A ．42π B ．22π C ．π2D ．2π2 【答案】 B【解析】112BD AC R ===R ∴=设11,BD AC O =则OA OB R ===,2AOB π⇒∠=,2l R πθ∴==故选Ｂ.10．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．B ．)+∞C ．1]D ．1,)+∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥- 1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒≤≤+而双曲线的离心率1,e >1],e ∴∈故选Ｃ.二．填空题11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________. 【答案】２ 【解析】由(1,3),||13 2.a b a b +=-∴+=+=12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答
2019年一般高等学校招生湖南卷文史类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合要求的1．函数ylg(11)的定义域为（）xA．x|x0}B．x|x1}C．x|0x1}D．x|x0或1} 2．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b知足（）A．ab1B．ab1C．ab0D．ab0 3．设f1(x)是函数f(x)=x的反函数，则以下不等式中恒建立的是（）A．f1(x)2x1B．f1(x)2x1C．f1(x)2x1D．f1(x)2x14．假如双曲线x2y21上一点P到右焦点的距离为13,那么点P到右准线的距离是（）131213B．13C．55A．D．5135．把正方形ABC D 沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．某企业甲、乙、丙、丁四个地域分别有150个、120个、180个、150个销售点.企业为了检查产品的状况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项检查为①；在丙地域中有20个特大型销售点，要从中抽取7个检查其收入和售后服务等状况，记这项检查为②.则达成这两项检查宜采纳的抽样方法挨次为（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x2+2ax与g(x)a在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）x1A．(1,0)(0,1)B．(1,0)(0,1]C．（0，1）D．(0,1]8．已知向量a(cos,sin),向量b(3,1)则|2ab|的最大值，最小值分别是（）A．42,0B．4,42C．16，0D．4，09．若函数2/（）f(x)=x+bx+c的图象的极点在第四象限，则函数f(x)的图象是y y y yo x o x o x o x AB C D10．从正方体的八个极点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56B．52C．48D．4011．农民收入由薪资性收入和其余收入两部分组成.2003年某地域农民人均收入为3150元(其中薪资性收入为1800元，其余收入为1350元),估计该地域自2019年起的5年内，农民的薪资性收入将以每年6%的年增添率增添，其余收入每年增添160元依据以上数据，2008年该地域农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元12．设会合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）A(C U B)的充要条件是（）A．m1,n5B．m1,n5C．m1,n5D．m1,n5二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________.14．(x21)9的睁开式中的常数项为___________(用数字作答) x，F是椭圆C：x2x21的焦点，在C上知足PF⊥PF的点P的个数为__________.15．F12841216．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6 小题，共 74分.解答应写出必需的文字说明、证明过程或运算步骤.17．（本小题满分 12分）1已知 tan() 2, 求的值.42sincoscos218．（本小题满分12分）如图，在底面 是菱形的四棱锥 P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=2a ,点E 是PD 的中点.I ）证明PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角 的正切值.PE ADBC19．（本小题满分 12分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种部件， 已知甲机床加工的部件是一等品而乙机床加工的部件不是一等品的概率为1 ,乙机床加工的部件是一等品而丙机床加工的部件不142是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的部件都是一等品的概率为.12 9（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工部件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，求起码有一个一等品的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1,2a7,3a4成等差数列. I）证明12S3,S6,S12-S6成等比数列；II）乞降T n=a1+2a4+3a7++na3n-2.21．（本小题满分12分）如图，已知曲线33C1：y=x(x≥0)与曲线C2:y=－2x+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（Ⅱ）议论f(t)的单一性，并求f(t)的最大值.yC1DAC2BxO22．（本小题满分14分）t如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P对于原点的对称点（I）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:QP(QAQB)（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.2019年一般高等学校招生湖南卷文史类类数学试题参照答案113．2x －y+4=0 14．8415．216．(0, )17．（本小题满分 12分）2解：由tan(4)1 tan 2,得tan1.1 tan3(1)21sin 2221 12于是costan3coscos22sin coscos 22tan11.2sin1 32318．（Ⅰ）证法一 由于底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，P因此AB=AD=AC= a ， 在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，因此PA ⊥平面ABCD.由于PB PD DC CB 2ED DC DAE(ED DA) (ED DC) EA EC.AD因此 PB 、EA 、EC 共面.又PB 平面EAC ，因此PB//平面EAC. 证法二 同证法一得 PA ⊥平面ABCD. 连接BD ，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点. 连接OE ，由于E 是PD 的中点，因此 PB//OE. 又PB 平面EAC ，OE 平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角平面角.BP的CE又E 是PD 的中点，进而G 是AD 的中点，AEG11 a,GHAGsin603BHa,AGa.224因此tanEG 2 3.GH319．（本小题满分 12分）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的部件是一等品的事件P(A B)1 ,P(A) (1 P(B))1 4 ,①4由题设条件有P(B C)1, 即P(B)(1 P(C))1, ②1212P(AC)2. P(A)P(C)2. ③99由①、③得P(B) 19P(C) 代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.G DC.8解得P(C) 2 11（舍去）.3 或9将P(C)2 分别代入③、②可得P(A)1,P(B)1.334即甲、乙、丙三台机床各加工的部件是一等品的概率分别是1 , 1 , 2.3 4 3（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的事件，则P(D)1P(D)1(1P(A))(1P(B))(1 P(C))1 2 3 1 5.34 3 6故从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的概率为5.620．（Ⅰ）证明由a 1,2a 7,3a 4成等差数列， 得4a 7 a 1 3a 4，即4aq 6 a 3aq 3.变形得(4q 31)(q 3 1)0,因此q 31 或q 3 1（舍去）.4a 1(1 q 6)由S 61 q1q 3 1 .12S 312a 1(1 q 3)12161 qa 1(1 q 12)S12S 6S121 1q1 1 q 6 1q61S 6S 6.a 1(1q 6)161 q得S 6S12S6.因此12S 3 ，S ，S－S 成等比数列.12S 3S 66126（Ⅱ）解：T na 12 a 4 3na 3n2a23 36 na q3(n1).a 7aqaq即T na2(1)a3(1)2an(1)n1a.① ①×(1)得：4441 112 a3(1 3an(1 n1an(1n a44T n4a2(4) 4)4)4)a[1 ( 1)n ]1n 4414n(a(n a.1)a5n)()1 ( )4544因此T n16a(164n)(1)na.25 255421．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由y x 3得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）.2x 3y3x,f(t)SABOSOBD1|BD||10|1|BD|1(3t 33t),3(t 3222 即f(t)t).(0 t 1).2（Ⅱ）f(t)9t 2 3.令f(t)解得t3.2 23当0t3时,f(t)0,进而f(t)在区间(0, 3)上是增函数；33当3 t 1时,f(t)0,进而f(t)在区间(3,1)上是减函数.33因此当t3 时，f(t)有最大值为f(3) 3.333。
高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版
普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 12，即a 1＝a 12.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2.解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n . 即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：25x ＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程．20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由00001,2022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l的距离d =所以b ==由222,15x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝245m m -+，y 1y 2＝215m -+.于是a =从而ab===m= 故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x y ＋2或x ＝y ＋2，即x y －2＝0，或x －2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x-+e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.(1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x ＝2222211e 11x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦ ＝222[12]e 1x x x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x ＜1时，因为211x x-+＞0，e x ＞0， 故f (x )＞0；同理，当x ＞1时，f (x )＜0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2，由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证2211e e 11x x x x x x--+<++. 此不等式等价于(1－x )e x －1ex x +＜0. 令g (x )＝(1－x )e x －1e x x +，则 g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即 (1－x )e x －1e xx +＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)，从而f (x 1)＜f (－x 2)．因为x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。
湖南文科数学高考题及答案全解析
yx2008高考湖南文科数学试题及全解全析一．选择题1．已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则( )A ．{}6,4=⋂N M .B M N U =UC ．U M N C u =Y )( D. N N M C u =I )( 【答案】B【解析】由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，易知B 正确. 2．“21<-x ”是“3<x ”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由21<-x 得13x -<<，所以易知选A.3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( )A ．4 B.3 C.2 D.1 【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,x y +最小值是11 2.+=故选C.4.函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是( ) 【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),-则其反函数过点(1,1),-验证知只有答案B 满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。
5.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n【答案】D【解析】易知D 正确.6．下面不等式成立的是( )1A．322log2log3log5<<B．3log5log2log223<<C．5log2log3log232<<D．2log5log3log322<<【答案】A【解析】由322log21log3log5<<<, 故选A.7．在ABC∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC⋅=u u u r u u u r( )A．23-B．32-C．32D．23【答案】D【解析】由余弦定理得1cos,4CAB∠=所以1332,42AB AC⋅=⨯⨯=u u u r u u u r选Ｄ.8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )A．15 B．45 C．60 D．75【答案】C【解析】用直接法：11122135353515301560,C C C C C C++=++=或用间接法：22224635903060,C C C C-=-=故选Ｃ.9．长方体1111ABCD A B C D-的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA，则顶点A、B间的球面距离是( )A．42πB．22πC．π2D．2π2【答案】B【解析】112BD AC R===QR∴=设11,BD AC O=I则OAOB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选Ｂ.10．双曲线)0,0(12222>>=-babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．)+∞C．1]D．1,)+∞【答案】C【解析】200aex a xc-=+Q2(1)ae x ac⇒-=+2(1),aa e ac⇒+≥-y而双曲线的离心率1,e >1],e ∴∈故选Ｃ.二．填空题11．已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.【答案】２【解析】由(|| 2.a b a b +=-∴+==r r r rQ 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。
高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版
高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版20XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(20XX年湖南，文1)复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(20XX年湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．(20XX年湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．A．9 B．10 C．12 D．13 4．(20XX年湖南，文4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．A．4 B．3 C．2 D．1 5．(20XX年湖南，文5)在锐角△ABC 中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B，则角A等于( )．ππππA．3 B．4 C．6 D．126．(20XX年湖南，文6)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3 7．(20XX年湖南，文7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．2A．B．1 C．D8．(20XX年湖南，文8)已知a，b是单位向量，ab＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )． A1 B1 D29．(20XX年湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概1AD，则＝( )．2AB11A．2 B．4 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．率为10．(20XX年湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(UA)∩B＝__________.x 2s 111．(20XX年湖南，文11)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：y sx at,(t为参数)平行，则常数a的值为__________．y 2t 112．(20XX年湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．x 2y 8,13．(20XX年湖南，文13)若变量x，y满足约束条件0 x 4,则x＋y0 y 3,的最大值为__________．x2y214．(20XX年湖南，文14)设F1，F2是双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在ab一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．15．(20XX年湖南，文15)对于E＝{a1，a2，，a100}的子集X＝{ai1，ai2，，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，，x100，其中xi1＝xi2＝＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π16．(20XX年湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos xcos x .32π(1)求f 的值；31(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．417．(20XX年湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝ACAA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．18．(20XX年湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg) 1米．(1)(2)48 kg的概率．19．(20XX年湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈*N.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．x2220．(20XX年湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F25关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.1 xxe. 1 x220XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z＝i(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B．2．答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A．3．答案：D 解析：抽样比为31 ，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D．60204．答案：B解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.② 由①＋②得g(1)＝3，故选B．5．答案：A解析：∵2asin B，∴2sin Asin BB．∵sin B≠0，∴sin Aπ，2 π∴A＝.故选A．3∵A∈ 0,6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C．7．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC8．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，1，∴(x－1)＋(y－1)＝1. |c|即为22，可看成M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝1.故选C．答案：D解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.由于AB为最大边的概率是11，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．229222∴2x 4x＝4y＋x，472y272即x＝4y，∴2 .4x16y∴ .x4AD2yy又∵，故选D．AB2xx4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．答案：{6,8} 11．答案：4解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a y 1aa，即x y ，∴a＝4. 22212．答案：9解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a ＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 13．答案：6 解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.14．1解析：如图所示，∵PF1⊥P F2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c. 由双曲线定义知，|PF1|＝2a＋c，222由|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|得*****4c＝(2a＋c)＋c，即2c－4ac－4a＝0，2即e－2e－2＝0，∴ee 1. 15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，，则P＝{a1，a3，a5，，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，，则Q＝{a1，a4，a7，a10，，a100}有34个元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，，a97}，共有1＋97 1＝17个．6三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解：(1)f2π3cos2π3 cosπ3 ＝cosππ3 cos32＝11 24.(2)f(x)＝cos xcosx π3＝cos x1 cosx x 22＝12cos2x＋2sin xcos x ＝14(1＋cos 2x)＋4sin 2x ＝12cos2x π 13 4. f(x)＜14等价于12cos2x 3 4 4，即cosπ2x 3 0.于是2kπ＋π2＜2x－π3＜2kπ＋3π2，k∈Z.解得kπ＋5π12＜x＜kπ＋11π12，k∈Z.故使f(x)＜1 5π11π4成立的x的取值集合为x|kπ 12 x kπ 12,k Z.17．(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD 平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①，②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E 平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)解：因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°，因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E. 故C1EAC11cos60，又B1C1＝2，所以B1E＝2，从而V1三棱锥C A1B1E＝13S112A1B1EA1C1＝3 2 2 3. 18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51 2 48 4 45 6 42 315102 192 270 126＝15690＝＝46. 15(2)由(1)知，P(Y＝51)＝24，P(Y＝48)＝. 1515242. *****故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝19．22解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2. 解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an. 即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．n－1因此，an＝2.n－1所以数列{an}的通项公式为an＝2.n－1(2)由(1)知，nan＝n2.n－1记数列{n2}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋22＋322＋＋n2n－1，①23n2Bn＝12＋22＋32＋＋n2.② ①－②得2n－1n－Bn＝1＋2＋2＋＋2－n2 nn＝2－1－n2.n从而Bn＝1＋(n－1)2. 20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．y01,x0 2,x设圆心的坐标为(x0，y0)，由0解得y0 2. x0 y0 222所以圆C的方程为(x－2)＋(y－2)＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l 的距离d 所以b22x my 2, 22由x2得(m＋5)y＋4my－1＝0. 2y 1 5设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4m1，y.1y2＝22m 5m 5于是a从而ab＝，即m故当m3时，ab最大，此时，直线l的方程为x＋2或x＝＋2，即x－2＝0，或x－2＝0.1 xx21．(20XX年湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e.1 x2(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0. (1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．1 x x1 xxe e＋22 1 x 1 xx2 2x 11 x xe ＝222 1 x 1 xf′(x)＝x[ x 1 2 2]x＝e. 221 x当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x＜1时，由于1 xx＞0，e＞0，2故f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．下面证明：x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1 xx1 x xe e. 221 x1 x此不等式等价于1 x＜0. ex1 xx令g(x)＝(1－x)e－x，则e(1－x)e－xg′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即(1－x)e－1 x＜0. ex所以x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)．而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.。
湖南省高考数学试卷文科答案与解析
2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）log2的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】先将转化成，然后根据对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：log2=log22=．故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是对数运算中常用的公式，属于基础题．2．（5分）（2009•湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2，0）C．（1，0）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵2p=4⇒p=2，∴，∴抛物线y2=4x的焦点是（1，0），故选C；【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．3．（5分）（2009•湖南）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．++=B．﹣+=C．+﹣=D．﹣﹣=【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．【解答】解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故选项为A．【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则．5．（5分）（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B．16 C．20 D．48【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：①含有甲的选法有C21C42种，②不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43=16（种），故选B．【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．6．（5分）（2009•湖南）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．7．（5分）（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合法．【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选A．【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．8．（5分）（2009•湖南）设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数f K（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数f K（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．【解答】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤﹣1或x≥1．∴函数f K（x）=由此可见，函数f K（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．10．（5分）（2009•湖南）若x＞0，则x+的最小值为．．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由于x和都是正数，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，当且仅当x=，即x=时取等号，∴当x=时，x+有最小值为2，故答案为2．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备．11．（5分）（2009•湖南）在的展开式中，x的系数为6．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．【解答】解：根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；当r=2时，有T3=C42（）2=6x；故答案为：6．【点评】本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．12．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．13．（5分）（2009•湖南）过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，又OA=a，OF=c，∴==cos60°=，∴=2．故答案为2【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．14．（5分）（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC 和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．15．（5分）（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=，y=．【考点】相等向量与相反向量．【专题】压轴题；待定系数法；数形结合法．【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．【解答】解∵，又，∴，∴．又∵，∴．设，则由题意知：．又∵∠BED=60°，∴，显然与的夹角为45°．∴由得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．同理，在中，两边同时乘以，由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，．【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．（2）由||=||化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．【解答】解：（1）∵∥∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ即4sinθ=cosθ∴tanθ=（2）由||=||∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=﹣1故有sin（2θ+）=﹣又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）∴2θ+=π或2θ+=π∴θ=或θ=π【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率．（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目．18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证平面A1DE⊥平面ACC1A1，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE 内一直线与平面ACC1A1垂直，而根据DE⊥AA1而DE⊥AE．AA1∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1；（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．【解答】解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1．（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，因为DE⊥平面ACC1A1．所以DE⊥AC，而△ABC是边长为4的正三角形，所以AD=2，AE=4﹣CE=4﹣CD=3，又因为AA1=，所以A1E===4，AF==，所以sin∠ADF==，故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．19．（13分）（2009•湖南）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，所以，于是b=﹣6（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x3﹣6x2+cxf′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）．由f′（t）=3t2﹣12t+c=0得c=﹣3t2+12t．于是g（t）=f（t）=t3﹣6t2+ct=﹣2t3+6t2，t∈（2，+∞）．当t＞2时，g′（t）=﹣6t2+12t=6t（2﹣t）＜0所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，故g（t）的值域为（﹣∞，8）【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．20．（13分）（2009•湖南）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆C的方程为．由于以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可得b=c，=8，a2=b2+c2即可得出．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．与椭圆的方程联立化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，由△＞0，解得．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得y0，x0≤0，可得点G不可能在y轴的右边．直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，解出即可．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．∵以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，∴b=c，=8，∴b=c=2，a2=b2+c2=8．∴．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．∴P（﹣4，0），设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．由化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，①由△=256k4﹣4（1+32k2）（32k2﹣8）＞0，解得．②．∴．∴x0==﹣，y0=k（x0+4）=．∵x0≤0，∴点G不可能在y轴的右边．又直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，∴点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，即化为，解得，满足②．因此直线l的斜率的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正方形的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．21．（13分）（2009•湖南）对于数列{u n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|u n+1﹣u n|+|u n ﹣u n1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列u n为B﹣数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设s n是数列{x n}的前n项和，给出下列两组判断：A组：①数列{x n}是B﹣数列．②数列{x n}不是B﹣数列．B组③数列{s n}是B﹣数列．④数列{s n}不是B﹣数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{a n}是B﹣数列，证明：数列{a n2}也是B﹣数列．【考点】数列的应用．【专题】综合题；压轴题；新定义；探究型．【分析】（1）根据B﹣数列的定义，首项为1，公比为q=的等比数列，验证|u n+1﹣u n|+|u n﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B﹣数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列{a n}都是B﹣数列，则有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1下面只需验证|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤M．【解答】解：（1）设满足题设的等比数列为a n，则．于是n≥2|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|==，所以首项为1，公比为﹣的等比数列是B﹣数列．（2）命题1：若数列x n是B﹣数列，则数列S n是B﹣数列．此命题为假命题．事实上设x n=1（n∈N*），易知数列x n是B﹣数列，但S n=n，|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|=n．由n的任意性知，数列S n不是B﹣数列．命题2：若数列S n是B﹣数列，则数列x n不是B﹣数列．此命题为真命题．事实上，因为数列S n是B﹣数列，所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M，即|x n+1|+|x n|+…+|x2|≤M．于是|x n+1﹣x n|+|x n﹣x n﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|x n+1|+2|x n|+2|x n﹣1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，所以数列x n是B﹣数列．（3）若数列是{a n}B﹣数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M因为|a n|=|a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|a n﹣a n﹣1|+|a n﹣1﹣a n﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M+|a1| 记K=M+|a1|，则有|a n+12﹣a n2|=|（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）≤（|a n+1|+|a n|）|a n+1﹣a n|≤2K|a n+1﹣a n|因此|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM故数列{a n2}是B﹣数列．【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．。
高考文科数学试卷答案解析
138] ,
[139,
151],
[152,
153] ,
根据系数抽样方法从中抽取 7 人 ,
得到抽取比例为 ,
所以成绩在区间 [139,
151] 中共有 20 名运动员 ,
抽取人数为 20× =4 ；
故选 B．
点评：本 题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层
,
明确抽取比例．
8．（ 5 分）（ 2019 ?湖南）设函数
A ．奇 函数 ,
且在（ 0,
函数
f （ x） =ln （ 1+x）﹣ ln（ 1﹣ x）,
则 f（ x）是（
）
1）上是增 B． 奇 函数 ,
且在（ 0,
1）上是减
函数
C． 偶 函数 , 函数
且在（ 0,
1）上是增 D． 偶 函数 , 函数
且在（ 0,
1）上是减
1﹣ 35 号 ,
再用系数抽样方法从中
抽取 7 人 ,
则其中成绩在区间 [139,
151] 上的运动员人数是（
）
A ．3
B．4
C． 5
D．6
分析：对 各数据分层为三个区间 ,
然后根据系数抽样方法从中抽取
取比例为 ,
然后各层按照此比例抽取．
7 人,
得到抽
解答：解 ：由已知 ,
将个数据分为三个层次是 [130,
|=|2 + |=|4+ |． B 为（﹣ 1,
0）时 ,
|4+ |≤7,
即可得出结论．
解答： 解：由题意 ,
AC 为直径 ,
所以 |
|=|2 + |=|4+ |．
湖南省高考数学试卷文科答案与解析
2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.（ 5 分）（2009?湖南）Iog 2 .二的值为（）A 二B .二C 「D .丄【分析】先将 二转化成',然后根据对数的运算性质进行求解即可. 【解答】解：Iog 2讦讨=log 22」-=：-.I故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质， 1□吕=^log B 是对数运算中常用的公式，ID 3 4属于基础题.2.（ 5分）（2009?湖南）抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（ ）A . （4, 0）B . （2, 0）C . （ 1, 0）D .（寺 0）>£—■【考点】双曲线的简单性质.【分析】先根据抛物线y 2=4x 的方程求出p 的值，进而得到抛物线的焦点坐标.【解答】解：•/ 2p=4? p=2 , ••导］,•••抛物线y 2=4x 的焦点是（1 , 0）, 故选C ； 【点评】 本题主要考查抛物线的简单性质.属基础题. 故选C .【点评】 此题考查学生掌握等差数列的性质及前n 项和的公式，是一道基础题.3 （5分）（2009?湖南）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 2=3, a 6=11,则S 7等于（）A . 13B . 35C . 49D . 63 【考点】等差数列的前n 项和. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即 a 1+a 7=a 2+a 6，求出a 1+a 7的值，然后利用等差数列的前n 项和的公式表示出 S 7,将a 1+a 7的值代入即可求出.【解答】解：因为a 1+a 7=a 2+a 6=3+11=14 ,4 （5分）（2009?湖南）如图，D , E , F 分别是△ ABC 的边AB , BC , CA 的中点，则（）【考点】【专对数的运算性质. 计算题；转化思想.所以★二【考点】向量加减混合运算及其几何意义.【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量, 选项. 【解答】解：由图可知I _=1■= '=.Lj.i在^ DBE 中，一,+ 一一.+厂",即亦〒+「「=0 . 故选项为A . 【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则.5. （5分）（2009?湖南）某地政府召集 5家企业的负责人开会，已知甲企业有 2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数 为（ ）A . 14B . 16C . 20D . 48【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题.【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C 21C 42种；不含有甲的选法有 C 43种，根据分类计数原理得到结果.【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 由于甲有两个人参加会议需要分两类： ① 含有甲的选法有 C 21C 42种，② 不含有甲的选法有 C 43种，1 2 3共有 C 2 C 4 +C 4 =16 （种），故选B .【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解， 不然不能保证发言的 3人来自3家不同企业.6. （ 5分）（2009?湖南）平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，既与 AB 共面也与 CC 1共面的 棱的条数为（）A . 3B . 4C . 5D . 6【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】计算题.【分析】根据平行六面体的结构特征和公理 2的推论进行判断，即找出与AB 和CC 1平行或相交的棱.【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1符合条件.故选C .【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理 2的推论的应用，找出与AB 和CC 1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力.A . 「，1+广：「+ ' = iB. 1_L - TP + IL = I C. AD^E -CF =0D. BD -BE -配=0再由向量加法法则得7. ( 5分)(2009?湖南)若函数y=f (x )的导函数在区间［a , b ］上是增函数，则函数 y=f ( x )【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】数形结合法.【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断. 【解答】解：•••函数y=f (x )的导函数在区间［a , b ］上是增函数，•••对任意的 a v x'v x "< b ，有 f'( a )v f'( x ) v f' (x”) v f' (b ), 也即在a , x', x ；' b 处它们的斜率是依次增大的.• A 满足上述条件，B 存在 f ( x )> f ( x ",C 对任意的 a v x < x "v b , f ' (x ') =f ' (x "”，D 对任意的x€［a , b ］, f' (x )不满足逐项递增的条件， 故选A .【点评】 掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形.& ( 5分)(2009?湖南)设函数=f (x )在(-R, +R )内有定义，对于给定的正数K ，定|x|.当K=-L 时，函数f K ( x )的2单调递增区间为()A . (- a, 0)B . (0, +7C . (- a, - 1)D . (1 , +1【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】 计算题；压轴题.【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数 f K ( x )的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案.•函数f K (x )由此可见，函数 f K (X )在(-a, - 1 )单调递增， 故选C .【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题. 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9. （ 5分）（2009?湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】应用题；集合.【解答】解：由f ( x ) 解得：x<- 1或x 羽. 2_|s|<^，即 G )问<*义函数f K (x )【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15 -x）人，只喜爱乒乓球的有（10 - x）人，由此可得（15- x）+ （10- x）+x+8=30,解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15 - x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15 - x）+ （10 - x）+x+8=30，解得x=3,所以15 - x=12 ,即所求人数为12人，故答案为：12.【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题.10. （5分）（2009?湖南）若x> 0，则x+2的最小值为2近..x【考点】基本不等式.【专题】计算题.【分析】由于x和二都是正数，x与亠的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值, 注意检验等号成立条件. 【解答】解：•/ x> 0, •••[> 0,由基本不等式得：XX+上支二，当且仅当x==，即x= .时取等号，| X：垃•••当x='W时，x+ -有最小值为2；：「]直故答案为2 . ：■:.【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备.11. （5分）（2009?湖南）在（1+77）°的展开式中，x的系数为_.【考点】二项式系数的性质.【专题】计算题.【分析】根据题意，〔1+依）°的展开式为T r+1=C4r（£）「；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案.【解答】解：根据题意，（1+77）Q的展开式为T叶仁C4r五）r；当 r=2 时，有 T 3=C 42（ ） 2=6X ;故答案为：6.【点评】本题考查二项式系数的性质，特别要注意对 X 系数的化简.12. （ 5分）（2009?湖南）一个总体分为 A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中每个个体被抽到的概率都为 则总体中的个体数为12012 -----------------------------------------【考点】 分层抽样方法；等可能事件的概率. 【专题】计算题.【分析】本题考查分层抽样， 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一. 【解答】 解：•/ B 层中每个个体被抽到的概率都为 一二，12•••由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10十丄=12012故答案为：120.【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少， 可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大， 可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样.的两条切线，切点分别为 A 、B .若/ AOB=120 ° （ O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题./ AOF 利用OF 和OA ，在直角三角形中求得 上的值，进而可求 得双曲线的离心率. 【解答】 解：如图，由题知 OA 丄AF , OB 丄BF 且/AOB=120 °, • / AOF=60 ° 又 OA=a ,OF=c ,OA “=cos60-二=2.a故答案为213. （5分）（2009?湖南）过双曲线C :b > 0 ）的一个焦点作圆2 2 2X +y =a【分析】根据题意可先求得 2 xa=1 (a > 0,1¥>【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质. 解题的过程中采用了数形结合的思想， 使问题的解决更直观.14. （ 5分）（2009?湖南）在锐角△ ABC 中，BC=1 , B=2A ，贝U的值等于 2 , AC 的CDSA取值范围为_ : :：）_.【考点】 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用. 【专题】综合题；压轴题.【分析】（1）根据正弦定理和 B=2A 及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA ，要求AC 的范围，只需找出2cosA 的范围即可，根据锐角△ ABC 和B=2A 求出A 的范围，然后根据余弦函数的增减性得到 cosA 的范围即可.【考点】相等向量与相反向量.【专题】 压轴题；待定系数法；数形结合法.【分析】设| AB |=1,求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用 2个向量的数量积公式，待定系数法求出 x 、y 的值.【解答】解•••「— *「「，又…- -：'■ -「，【解答】解：（1）根据正弦定理得:AC 1 BC slnB sinA胚1-1 2sLnAcosA sinA即丄― cos A（2）因为△ ABC 是锐角三角形，C 为锐角，=2 ；所以曲哼由B =2A得到A+2A＞鸟且2A =BV 今从而解得:，于是 -------------- '-二由（1 ）的结论得 2cosA=AC ，故:"---'-■:. 故答案为：2 ,（.：,；）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值， 角形为锐角三角形、内角和定理及 B=2A 变换角得到角的范围.本题的突破点是根据三15. （ 5分）（2009?湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 因为B=2A ，化简得'■ =x __i+y 、'，贝Hx=又―-. -,p (-「『设& |二1|,则由题意知:而上阪| = /2-又•••/ BED=60 ° ••• |玮|拳，显然亍5与忑的夹角为45 ° 二由昴蕨(K_L )證得芋 X1XCos45°( x — 1) X1, • x 《+1. 同理，在「-[・「 「.厂中，两边同时乘以■<',法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.三、解答题(共6小题，满分75分)16. (12 分)(2009?湖南)已知向量 a= (sin B, cos Q- 2sin 0), b = (1, 2).(1 )若『『、求tan 0的值； (2)若 |a| = |bL 0<9<Tr ，求 0的值. 【考点】平面向量的坐标运算.【分析】(1)根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题.(2)由|.】|=|卜：|化简得sin2 0+cos2 0= - 1,再由0€ (0, n)可解出0的值.【解答】解：(1) T J/ :• 2sin 0=cos 0- 2sin 0 即 4sin 0=cos 0 • tan 0=--42 2• sin 0+ ( cos 0- 2sin 0) =5即 1 - 2sin2 0+4sin 20=5 化简得 sin2 0+cos2 0= - 1故有 sin (2 0+-—) = - ^―'4 2▼ 、71 7T又.0€ ( 0, n •• 2 0+ € (—,4 4• 2 0+'【点评】本题考查2个向量的混合运算,两个向量的数量积定义式、公式的应用, 待定系数7t由数量积公式可得:… 0 _^或 扫n T2 同【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算. 数的综合题是高考的热点问题，每年必考.17. (12分)(2009?湖南)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 丄，2,丄，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的. (I )求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(II )记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X 的分布列及数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】计算题.【分析】(I )由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和 相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率. (II )由题意知X 为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数， X 的取值为：0,1,2,3 .结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望. 【解答】 解：(I ) 3名工人独立地从中任选一个项目参与建设 设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件 A 、B 、C .则p 二£ p 二土 p (C )=4，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：(A)・P ⑻ *P 〔C)(II )由题意知X 为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X 的取值为：0, 1, 2, 3. P (X=0) = (£)(寺)(!) :+ 中冷£32 8: .【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望， 考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目.向量和三角函所以 AD=2 . ： ；, AE=4 18. (12分)(2009?湖南)如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，AB=4 , AA 1 = .； 点D 是 BC 的中点，点 E 在AC 上，且 DE 丄A 1E .(1) 证明：平面 A 1DE 丄平面ACC 1A 1; (2) 求直线AD 和平面A 1DE 所成角的正弦值.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角. 【专题】 空间位置关系与距离.【分析】(1)欲证平面 A 1DE 丄平面ACC 1A 1，根据面面垂直的判定定理可知在平面 ADE 内一直线与平面ACC 1A 1垂直，而根据DE 丄AA 1而DE 丄AE . AA 1 H AE=A 满足线面垂直的 判定定理可知 DE 丄平面ACC 1A 1 ；(2)过点A 做AF 垂直A 1E 于F ,连接DF ，由(1 )知：平面A 1DE 丄平面ACC 1A 1 .所以 AF 丄平面A 1DE ，贝U / ADF 即为直线AD 和平面A 1DE 所成角，在三角形 ADF 中求出此角 即可.【解答】 解：(1)如图所示，由正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1的性质知AA 1丄平面A 1B 1C 1 又 DE?平面A 1B 1C 1,所以DE 丄AA 1.而 DE 丄 AE . AA 1 A AE=A , 所以DE 丄平面ACC 1A 1, 又DE?平面A 1DE , 故平面 A 1DE 丄平面ACC1A 1.(2)过点A 做AF 垂直A 1E 于F ,连接DF ,由(1)知：平面 A 1DE 丄平面ACC 1A 1. 所以AF 丄平面A 1DE , 则/ ADF 即为直线 AD 和平面A 1DE 所成角, 因为DE 丄平面ACC 1A 1. 所以DE 丄AC ,而厶ABC 是边长为4的正三角形,又因为AA 1=.二所以/ -AE' AA 】4AF=所以A 1E= 二―7 J :上4，-CE=4 -AD 8故直线AD和平面A I DE所成角的正弦值为一i\【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题.3 219. (13分)(2009?湖南)已知函数f (x) =x +bx +cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1 )求b的值；(2 )若f (x )在x=t处取得极小值，记此极小值为g (t),求g (t)的定义域和值域.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域.【专题】计算题.【分析】(1)函数f (x) =x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f' (x)得到一个二次函数，利用x= - ―厘=2求出b即可；(2)求出f ' (x)，由(1)得函数的对称轴2a为x=2，讨论c的取值范围求出g (t)的定义域和值域即可.【解答】解: (1) f'(x) =3x2+2bx+c因为函数f '(x)的图象关于直线x=2对称，所以—圭二£，于是b= - 66乙(2)由(I )知，f ( x) =x3- 6x2+cx2 2f '(x) =3x - 12x+c=3 (x - 2) +c - 12(i )当c耳2时，f' (x)为，此时f (x)无极值.(ii)当c v 12时，f' (x) =0有两个互异实根X1, x2.不妨设X1V x2,则x1 v 2v x2.当x v X1时，f ' (x)> 0, f (X)在区间(-a, x1)内为增函数；当x1 v x v x2时，f ' ( x)v 0, f (x)在区间(x1, x2)内为减函数；当x> X2时，f ‘ (x)> 0, f (X)在区间(x2, + a)内为增函数.所以f ( X )在X=X1处取极大值，在X=X2处取极小值.因此，当且仅当c v 12时，函数f (X)在X=X2处存在唯一极小值，所以t=X2>2.于是g ( t)的定义域为(2, +a).2 2由f ( t) =3t - 12t+c=0 得c= - 3t +12t.于是g (t) =f (t) =t3- 6t2+ct= - 2t3+6t2, t €(2, + a).当t>2 时，g '(t) =- 6t2+12t=6t (2- t)v 0所以函数g (t)在区间(2, +a)内是减函数，故g ( t)的值域为(-a, 8)【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力， 以及利用 导数求函数最值的能力. 利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用， 它大大 简化了证明单调性的方法.20. (13分)(2009?湖南)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短轴的 两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q )(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点P 是椭圆C 的左准线与x 轴的交点，过点P 的直线I 与椭圆C 相交于M 、N 两点, 当线段MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时，求直线 I 的斜率的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2【分析】(1)设椭圆C 的方程为 -------------- --- |' •由于以两个焦点和短轴的两个 a 2 b 3端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可得b=c , 匚>=8, a 2=b 2+c 2即可得出. (2)椭圆C 的左准线方程为：x= - 4.设直线I 的方程为y=k (x+4), M (x i , y i ), N (x 2,2 2 2 2y 2),线段MN 的中点G (x o , y o ).与椭圆的方程联立化为(1+2k ) x +I6k x+32k - 8=0,点G 不可能在y 轴的右边.直线F 1B 2, F i B i 的方程分别为y=x+2 , y= - x - 2，点G 落在正2 2【解答】解：(1)设椭圆C 的方程为'■ - - £ b £•••以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 正方形,二 b=c , ： 一. ■ . =8 ,2 2 2 ••• b=c=2 , a =b +c =8.(2)椭圆C 的左准线方程为：x= - 4. • P (- 4, 0),设直线I 的方程为 y=k (x+4), M (x 1 , y 1), N (x 2 , y 2),线段 MN 的中点 G (x 0 , y 0).化为(1+2k 2) x 2+16k 2x+32k 2- 8=0 ,① 由厶=256k 4- 4 (1+32k 2) (32k 2- 8)> 0,解得•利用根与系数的关系与中点坐标公式可得 y 0, x 0切，可得 方形Q 内(包括边界)的充要条件是由△ >0,解得 ，解出即可.2•/x o 切，•••点G 不可能在y 轴的右边.又直线F 1B 2, F 1B 1的方程分别为y=x+2 , ( 2日口 1+2k2 l+2k 2f2k 2+Sk-l<0 即 化为丿 -2[2k 2-2k-l<0 ,l-b2k 2l+2k 2 解得，满足②.因此直线l 的斜率的取值范围是QU 22」 y * *B 2 M IP%【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 正方形的性质、方程联立可得根与系数的关系、 中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结 合的思想方法，属于难题.21. (13分)(2009?湖南)对于数列｛u n ｝若存在常数 M > 0，对任意的n €N + ,恒有|u n+1 - u n |+|u n -U n1|+・・+|u 2- u 1|甸 则称数列u n 为B 数列(1 )首项为1,公比为- g 的等比数列是否为 B -数列？请说明理由； £(2) 设S n 是数列｛x n ｝的前n 项和，给出下列两组判断：A 组：①数列｛x n ｝是B -数列.②数列｛x n ｝不是B -数列. B 组 ③数列｛s n ｝是B -数列.④数列｛s n ｝不是B -数列 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列｛a n ｝是B 「数列，证明：数列｛a n 2｝也是B 「数列.【考点】数列的应用. -16k 2业l+2k 2•点G 落在正方形Q 内(包括边界) 的充要条件是直线与椭圆相交问题转化为【专题】 综合题；压轴题；新定义；探究型.【分析】(1)根据B -数列的定义，首项为1,公比为q=的等比数列，验证|U n+1 - u n | + |u n —U n -1|+・・+|u 2— U 1|甸即可；(2 )首项写出两个命题，根据B -数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；2(3)数列｛a n ｝都是B -数列，则有|a n+1 — a 叫+|a n — a n -1|+・・+|a 2 — a 1|甸1下面只需验证|a n+1 —I Ji 1「 」一，- - ,所以首项为1,公比为-二的等比数列是B -数列.(2)命题1:若数列Xn 是B -数列，则数列Sn 是B -数列.此命题为假命题.事实上设X n =1 (n€N ),易知数列X n 是B -数列，但S n =n ,|S n+1 — S n |+|3 — S n - 1|+・・+|S 2 - S 1|=n .由n 的任意性知，数列 S n 不是B -数列.命题2:若数列S n 是B -数列，则数列X n 不是B -数列.此命题为真命题.事实上，因为数列 S n 是B -数列，所以存在正数 M ,对任意的n€N *,有|S n+1 — S n |+|S n — S n - 1|+・・+|S 2 — S 1|如,即 |X n+1|+|x n |+・・+|X 2|甸.于是 |X n+1 — x n | + |x n — x n -1|+・・+|x 2 — x 1 冃x n+1|+2|x n |+2|x n -1|+・・+2|x 2|+|x 1|电M+|x 1|, 所以数列X n 是B -数列.(3 )若数列是｛a n ｝B -数列，则存在正数 M ,对任意的n €N *有|a n+1 — a n |+|a n — a n -1|+・・+|a 2— a 1|<M因为 |an|=|a n — a n - 1+a n -1+a n -2+ ••+a 2 — a 1+a 1冃a n — a n - 1|+|a n -1 — a n -2|+・・+|a 2—a 1|+|a 1|<M+|a 1| 记 K=M+|a 11，则有 |an +1 — a n |=| (a n+1+a n ) (a n+1 — a n )W ( |a n+1 |+|a n |) |an +1 — a n |电K|a n+1 — a n |22 2 2 2 2 因此 |ai +1 — a n |+|a n — a n -1 |+・・+|a 2 — a 1 |<2KM2 故数列｛a n ｝是B -数列.【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力， 旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题(2) (3)的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定 义和分类讨论的思想，属难题.2 2 2 2 2 a n |+|a n — a n -1 |+・・+|a 2 — a 1 |<M . 【解答】 解：（1）设满足题设的等比数列为 a n,则|an +1 — a n |+|a n — a n -1|+・・+|a — a |。
最新 文科数学高考精选试题(湖南卷)附答案及解析
普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{1}D.{0} 【答案】B【解析】{}0,1Q M={-1，0，1} ∴M∩N={0，1}N=【点评】本题考查了集合地基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N=，再利用交集定义得出M∩N.2.复数z=i（i+1）（i为虚数单位）地共轭复数是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i 【答案】A 【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--. 【点评】本题考查复数代数形式地四则运算及复数地基本概念，考查基本运算能力.先把Z 化成标准地(,)a bi ab R +∈形式，然后由共轭复数定义得出1z i =--.3.命题“若α=4π，则tan α=1”地逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π 【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”地逆否命题为“若p ⌝，π，则tanα=1”地逆否命题是则q⌝”，所以“若α=4π”.“若tanα≠1，则α≠4【点评】本题考查了“若p，则q”形式地命题地逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题地能力.4.某几何体地正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体地俯视图不可能．．．是【答案】D【解析】本题是组合体地三视图问题，由几何体地正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角地三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体地俯视图，Ｄ不可能是该几何体地俯视图，因为它地正视图上面应为如图地矩形.【点评】本题主要考查空间几何体地三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.5.设某大学地女生体重y（单位：kg）与身高x（单，位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立地回归方yi程为$y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．地是A.y与x具有正地线性相关关系B.回归直线过样本点地中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】由回归方程为$y=0.85x-85.71知y随x地增大而增大，所以y与x具有正地线性相关关系，由最小二乘法建立地回归方程得过程知ˆ()=+=+-=-，所以回归直线过样本点地中心y bx a bx y bx a y bx（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间地相关性、最小二乘法及正相关、负相关地概念，并且是找不正确地答案，易错.6. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1地焦距为10 ，点P （2，1）在C 地渐近线上，则C 地方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1 【答案】A【解析】设双曲线 C ：22x a -22y b =1地半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 地渐近线为b y x a =±，点P （2，1）在C 地渐近线上，12b a ∴=g ，即2a b =. 又222ca b=+，a ∴==，∴C 地方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线地方程、双曲线地渐近线方程等基础知识，考查了数形结合地思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：① ca ＞cb ；② ca ＜cb ； ③ log ()log ()baa cbc ->-，其中所有地正确结论地序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a＞c b ，①正确;由指数函数地图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数地图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中地指数函数地图像与性质、对数函数地图像与性质，不等关系，考查了数形结合地思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上地高等于A ．2 B.2 C.24【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅，即27422cos60cc =+-⨯⨯⨯o，2230,(-3)(1)cc c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上地高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h ==V g g g ，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯o ，解得2h =.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 设定义在R 上地函数f(x)是最小正周期为2π地偶函数，()f x '是f(x)地导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上地零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上地函数f (x )是最小正周期为2π地偶函数，在同一坐标系中作出sin=和y x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2 ()y f xπ] 上地零点个数为4个.【点评】本题考查函数地周期性、奇偶性、图像及两个图像地交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后地横线上.（一）选做题，（请考生在第10，，1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）10.在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，则a =_______.【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 地普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >地一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2.【点评】本题考查直线地极坐标方程、圆地极坐标方程，直线与圆地位置关系，考查转化地思想、方程地思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 地极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中地分数法，考查基本运算能力.(二)必做题（12~16题）12.不等式x2-5x+6≤0地解集为______.【答案】{}23≤≤x x【解析】由x2-5x+6≤0，得(3)(2)0--≤，从而地不等x x式x2-5x+6≤0地解集为{}≤≤.23x x【点评】本题考查一元二次不等式地解法，考查简单地运算能力.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数地茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分地方差为_________.08910352图 (注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 地平均数)【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 6.8=.【点评】本题考查统计中地茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题地能力.14.如果执行如图3所示地程序框图，输入 4.5x =，则输出地数i = .【答案】4【解析】算法地功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题地能力，平时学习时注意对分析问题能力地培养.15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC uu u v u u u v g = .【答案】18【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+uu u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=.【点评】本题考查平面向量加法地几何运算、平面向量地数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯L ，当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定义nb 如下：在n 地上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1地个数为奇数时，b n =1；否则b n =0.（1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0地项与第m +1个为0地项之间地项数，则c m 地最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===；一次类推10331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 地最大值为２.【点评】本题考查在新环境下地创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题地能力.需要在学习中培养自己动脑地习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客地购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物地100位顾客地相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 地值，并估计顾客一次购物地结算时间地平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率.（将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物地结算时间组成一个总体，所收集地100位顾客一次购物地结算时间可视为一个容量为100地简单随机样本，顾客一次购物地结算时间地平均值可用样本平均数估计，其估计值为: 115 1.530225 2.520310 1.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物地结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物地结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======.123123,,,A A A A A A A =Q U U 且是互斥事件，123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++U U 33172010410=++=.故一位顾客一次购物地结算时间不超过2分钟地概率为710.【点评】本题考查概率统计地基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中地一次购物量超过8件地顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物地结算时间地平均值地估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物地结算时间不超过．．．2分钟地概率. 18.（本小题满分12分） 已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<地部分图像如图5所示. （Ⅰ）求函数f （x ）地解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+地单调递增区间.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==.因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）地解析式为()2sin(2).6f x x π=+ （Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-+sin 22x x=-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴地单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数地图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）地解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+地单调性求得.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成地角为30°，求四棱锥P-ABCD 地体积.【解析】（Ⅰ）因为,,.⊥⊂⊥平面平面所以PA ABCD BD ABCD PA BD又,,⊥是平面PAC内地两条相较直线，所以BD⊥AC BD PA AC平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，所以DPO∠是直线PD和平面PAC所成地角，从而=o.∠30DPO由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC，知BD PO⊥.在Rt POD V 中，由DPO ∠30=o，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 地高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2OD AD ==所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -地体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系地证明，考查空间角地应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成地角，然后算出梯形地面积和棱锥地高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品地生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年地相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后地剩余资金为a n 万元.（Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 地关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业地剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 地值（用m 表示）.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-， 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132nn aa d -=-2233()22n a d d -=--233()22n a d d -=--=L12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦L .整理得1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+.由题意，134000,()(30003)24000,2n nad d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--.故该企业每年上缴资金d 地值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业地剩余资金为４０００元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中地应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题地能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 地关系式132n n aa d +=-，第二问，只要把第一问中地132n n aa d +=-迭代，即可以解决. 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12地椭圆E 地一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0地圆心. （Ⅰ）求椭圆E 地方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12地直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 地坐标. 【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ地圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ地方程为22221(0),x y a b a b +=>>其焦距为2c，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===-=故椭圆Ｅ地方程为：221.1612x y +=（Ⅱ）设点p 地坐标为0(,)x y ，12,l l 地斜分率分别为12,.k k 则12,l l 地方程分别为1102020:(),:(),l y yk x x l y y k x x -=--=-且121.2k k=由1l与圆22:(2)2c x y -+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦同理可得222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦.从而12,k k 是方程022000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦地两个实根，于是202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩①且20122222.(2)2y k k x -==--由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得2058360.xx --=解得02,x=或010.5x=由02x=-得03;y=±由0185x=得05y=±它们满足①式，故点Ｐ地坐标为(2,3)-，或(2,3)--，或18(5，或18(,5.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线地位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 地方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点地两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标地一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标. 22.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=e x-ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 地取值集合；（2)在函数f(x)地图像上去定点A （x 1， f(x 1)），B(x 2， f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 地斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '=恒成立. 【解析】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 地取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x x e e x f x k e x x ϕ-'=-=--则12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-. 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而2121()10x x e x x ---->，1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上地图像是连续不断地一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 地取值集合；第二问在假设存在地情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解地问题，通过构造函数，研究这个函数地性质进行分析判断.。
年高考真题试卷(湖南卷)数学(文科)参考答案
年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2)2)22442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()22f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则3AO =3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO == 于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．AB CQαβ POH不妨设2AC =，则3AO =1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，30)B ，，，(03A ，，，(001)C ，，． 所以(33AB =，，，(031)AC =-，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． 所以121215cos ||||51n n n n θ===⨯． 故二面角B AC P --的大小为5arccos19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++AB C Qα β P Oxyz2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。