第三讲 年金

现时值
V ( 0 ) = Pa n + Q
特殊等差年金
年金 现时值 积累值
递增年金 P=1,Q=1
( Ia) n = && an − nvn i
n −1
递减年金 P=n,Q=-1
= ∑ vt an−t ( Da) n =
t =0
n − an i
= ∑ an−t
t =0
n −1
( Is) n =
&&n − n s i
⇒ R = 2464
（2）
PV 60 = Ra120 0.465 % = 226215 .04 或者 PV 60 = 300000 × 1.00465 60 − Rs 60 0.465 % = 226215 .04
例1.10 某人在30岁时计划每年初存入银行300元建 立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年 利率假设恒定为3％。 （1）求退休时个人帐户的积累值。 （2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年 金的方式在20年内每年领取一次，求每年 可以领取的数额。
基本年金公式总结
有限年金 年金 延付 初付
1 − vn an = i 1 − vn && an = d (1+ i)n −1 sn = i (1+ i)n −1 &&n = s d
1 a∞ = i
&& a∞ = 1 d
永久年金 现时值
现时值
积累值
二、一般年金 一般年金
利率在支付期发生变化 付款频率与利息转换频率不一致 每次付款金额不恒定
分类
支付频率不同于计息频率的年金
• 支付频率小于计息频率的年金 • 支付频率大于计息频率的年金
变额年金
变额年金 等差年金
递增年金 递减年金
等比年金
等差年金 一般形式
P 0 1 P+Q 2 … … P+(n-1)Q n
积累值
V ( n ) = Ps n + Q
sn − n i
a n − nv n i
= ∑ sn−t
t =0
n −1
( Ds) n =
n(1 + i)n − sn i
n −1 t =0
= ∑ (1 + i)t sn−t
例1.13 某人第1年末存近银行1000元，以后每年都 在前一年的基础上加存100元，假如此人共 存了10年钱，在年实质利率为5％的情况下， 求第10年末此人帐户上的积累值。

例1.9 某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款 30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问： （1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问 除了该月等额还款额之外他还需一次性付 给银行多少钱？
例1.9答案 答案 （1）
Ra 15 ×12
0 . 465 %
= 300000
例1.14 有一项延付年金，其付款额从1开始每年增 加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其 现时值。
例1.14答案 答案
&&n − nvn (n −1) − an−1 n a n (Ia)n + (Da)n−1 v = + v i i 1 1+ an−1 − nvn + nvn − vn − vnan−1 = i 1 = 1− vn + (1− vn )an−1 i 1 n = (1− v )(1+ an−1 ) i && = an an
例1.11 有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如 每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20% 的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？
P = 5a∞ 0.2
5 = = 25 0.2
例1.12
A留下一笔10万元的遗产。这笔财产头10年 的利息付给受益人B，第2个10年的利息付 给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。 若此项财产的年实质利率为7%，试确定B， C，D在此笔财产中各占多少份额？
n
例1.14: 某期末付永久年金首付款额为5000元,以后 每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为 0.08时,计算该永久年金的现时值.
例1.14答案 答案
1.05 n 1− ( ) 1.08 V (0) = lim 5000 n →∞ 0.08 − 0.05 5000 = = 166666.67 0.03
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
基本年金公式推导
v (1 − v n ) 1 − v n an = v + v 2 + L + v n = = 1− v i 1 − vn && an = 1 + v + L + v n −1 = (1 + i ) an = d 1 − (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 n −1 sn = 1 + (1 + i ) + L + (1 + i ) = = 1 − (1 + i ) i 1 − (1 + i ) n &&n = (1 + i ) + L + (1 + i ) n = (1 + i ) sn = s d 1 − vn 1 a∞ = lim an = lim = n →∞ n →∞ i i 1 − vn 1 && && a∞ = lim an = lim = n →∞ n →∞ d d
一、年金的定义与分类
定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始 含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间 隔长度的系列付款。
分类
基本年金
• 等时间间隔付款 • 付款频率与利息转换频率一致 • 每次付款金额恒定
一般年金
• 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
二、基本年金 基本年金
例1.12答案 答案
I = 100000 × 7 % = 7000 B： 7000 a 10 0 .07 = 49465 C : 7000 ( a 20 0 .07 − a 10 0 .07 ) = 24993 D : 7000 ( a ∞ 0 . 07 − a 20 0 .07 ) = 25842
等比年金
1 0 1 1+k 2 … …
(1+ k )n−1
n
1+ k n 1− ( ) 1+ i , V (0) = v + v(1+ k) +L+ vn (1+ k)n−1 = i −k
n
i≠k
(1 + i ) − (1 + k ) V ( n ) = (1 + i ) V (0) = i−k
n
例1.13答案 答案
s10 5% −10 0.05
1000s10 5% +100Is 9 5% = 1000s10 5% +100 1.0510 −1 s10 5% = = 12.58 0.05 将(2)式代入(1)式得 1000s10 5% +100Is 9 5%＝ 17733.68
(1) (2)
例1.15 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与 个人帐户相结合的方式 个人帐户以个人缴费工资的8％记入 如果某职工从20岁参加个人帐户保险，当年 工资为6000元 工资年增长率为2％，个人帐户的累计利率为 4％ 求他在60岁退休时个人帐户的积累值。
例1.15答案 答案
V (0) = 6000×8％（＋ v +1.022 v2 +L+1.0239 v39） 1 1.02 1− (1.02v)40 =480 1-1.02v = 13280.63 V (40) = V (0) ×1.04 = 64720.78
例1.10答案 答案 （1）退休时个人帐户积累值计算
1.03 −1 300&&30 3% = 300 s = 14700 0.03/1.03
30
（2）退休后每年可领取退休金
300&&303% 300(1.0330 −1) s && 300&&303% = Xa203% ⇒ X = = = 959.34 s −20 && a203% 1−1.03
40
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定
分类
付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金
基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
---- 1 1 1---- 延付永久年金 ---1 1 1---- 初付永久年 金 ---1 0 0 0--初付年金 1 ---1 0 0--延付年金 1