5-3指派问题

主讲教师 武小平
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第五章 指派问题
主要内容
2指派问题的最优解
运
筹学1指派问题及其模型3
匈牙利算法及其应用
1指派问题及其模型
运筹学【例1】某厂拟派4个维修小组
去维修4台机车，他们完成不
同工作所需时间c ij(i,j
=1,2,3,4)如表1所示。

如何指
派每个小组的工作，才能使完
成所有任务的总时间最少
？
表1
1指派问题及其模型
运筹
学
表2
运筹
学
任务约束
人员约束
事
人2指派问题及其模型
运筹
学2
指派问题及其模型
运筹学
指派问题的最优解
2
如果在效率矩阵中找到n个独立0元素的位置，对应着让变量矩阵中的位置取1，那么就获得了
该指派问题的最优解。

表3
运筹学【定理1】如果从分配问题效率矩阵[c ij ]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数u i （被称为该行的位势,行最小），然后从每一列分别减去（或加上）一个常数v j （称为该列的位势，列最小），得到一个新的效率矩阵[b ij ]，其中b ij =c ij －u i －v j ,则[b ij ]的最优解等价于[c ij ]的最优解，这里c ij 、b ij 均非负。

1.匈牙利算法的有关定理
运
筹学 第一步：变换效率矩阵，将各行各列都减去当前各行、各列中最小元素，使其每行每列都出现0元素。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6 10 12 9 610 6 14 7 67 8 12 9 610 14 17 9 712 15 7 8 4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒0 4 3 2 04 0 5 0 01 2 3 2 03 7 7 1 08 11 0 3 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒0 4 6 3 04 0 8 1 01 2 6 3 03 7 01 2 08 11 3 4 066674min 00310min 此时每行及每列中肯定都有0元素
表4
表5表6
第二步：标记新矩阵的独立零元素，进行试指派。

1）行检验 对变换后的效率矩阵进行逐行检验，若某行只有一个未标记的零元素时，用“O”将该零元素做标记（分配此人做此事），然后将被标记的零元素所在的列的其它未标记的零元素用“/” 标记（这件事情不能在让别人做了）。

2）列检验 与行检验过程类似，对进行了行检验的矩阵后逐列进行检验，对每列只有一个未被标记的零元素，用“O”将该零元素做一标记，然后将该元素所在行的其他未被标记的零元素打“/” 标记（此人再不能做别的事）。

重复上述检验，直到都没有未被标记的零元素或有两个未被标记的零元素为止。

第三步，最优性检验
①每行均有标记“O”出现，“O”的个数m 恰好等于n；（获得最优解，计算终止）
②不存在未被标记过的零元素，“O”的个数m<n。

从重新利用匈牙利算法进行二次指派，直到每行均有标记“O”出现，“O”的个数m 恰好等于n。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛04320405001232037710811030圈0即独立零元素
第四步：作最少直线覆盖当前所有零元素。

1）对新矩阵中所有不含“O”元素的行打√ ；
2）对打√的行中，所有零元素所在的列打√；
3）对所有打√列中标记“O”元素所在行打√；
4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一
列划一纵线，即得到覆盖当前0元素的最少直线数。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04320405001232037710811030
第五步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打√行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个数。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--04320405000121126601811030⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡04321405010121026600811031打√列的各元素加上1打√行的各元素减去1
故可得到指派问题的最优解X ，这样安排能使总的建造费用最少，建造费用为z =7＋9＋6＋6＋6=34（万元）。

表7
表7
谢谢！。