静电场各节重点例题详解

E = \ E 「E 2 arctg(Ey.. Ex)
连续带电体的电场的计算例题
例1求均匀带电直线外任一点的场强。

已知：
q 、
首先经过分析，可知该带电体的电荷呈均匀的线分布， 所以在棒上任选一线元，分析该线元上的电荷在场点
P 处的场强dE 大小和方向分布的特征：大小不等， 方向各异，所以必须建立合适的坐标系将各 dE 分解，然后再进行具体的计算。

解:选P 点在棒上的垂足点为坐标原点，建立 如图所示的坐标系。

由于电荷呈均匀的线分布，
所以在距离 0点为I 处选一线元dl ,则该点处的电荷元为 dq 二，
dl ，它在场点P 处产生的 dE=丄缪 -
场强大小为 4二；0
r 2 ，方向如图。

将dE 沿各坐标轴分
解，则有
7 HI
dE x
二 dEcos ― COST
4 二；0
r 2
dE y
= dEsin =
2
sin^
4二 0
r
(由于上式中涉及三个相互联系的变量，所以需要统一积分变量，至于统一到哪个变量, 视题目及个人需要而定) 统一积分变量，有
或者分别写出E 的大小和方向如下
l 二 actg (二-^)
二-actg v
I 2
=a 2
a 2
ctg 2
J 所以 dE x
1 dl
4二；。

2
cos ： r 2
esc? v 或者 r = a/si n
aese 2 d 2
2
cos ：
4 二 0
a csc
同理 dE y
-^sin sin ~^d^ r 4二；0
a
所以 E x dE x 丿日4%a
cos 知
(sin r 2 _ sin 齐)
4- 0
a
所以
dE y
(cosy 「COS T 2) 4二；°a
E 二 E x
i E y
j
(sin r 2
「sin 片)i
(cost 「cos r 2
)j
g 0a
4"0
a
E y
例2.求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。

已知：q 、 a 、x。

解：由于电荷呈均匀的线分布，所以电荷线密
度为—，在带电圆环上任选
2 二a
长度为dl的线元，则该点处的电荷元为
dq =，dl q dl，它在场点P处产生的场强大小为dE dq2
2兀a 4兀名0r
dE,
d dE_
，方向如图。

由于P点处于带电圆环的中心轴线上, 所以可知环上各电荷元在场点处产生的场强dE大小相等，方向关于0P连线对称，所以将dE沿垂直于中心轴和平行于中心轴分解，可得
dE〃二dEcosr dE 二dEsinn
经对称性分析可知，所有垂直于轴的分量相互抵消，所以 E 二E〃i
E 二dE〃二dEcos^
其中cos： -x r r =(a2x2)12
27a
E 卷如o 4・.；or ^^cos-
4二0r
qx
-4二；o(x2a2)3/2
xq
4R0(X2 +a2)'2
高斯定理计算场强的例题
例1. 均匀带电球面的电场。

已知R、q>0
解：由于电荷均匀分布在球面上，所以这个带电体系具有均匀球对称性，因而电场分布也就具有相应的球对称性，即在任何与该
带电球面同心的球面上各点场强的大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状分布。

所以选任意的通过场点面的电通量为
= ■ ■: E dS 二E』S 二E4「：
r2
S
当r<R时，高斯面内包围的电荷为
+ + +
P的同心球面作高斯面，则通过此高斯
--S 所以由高斯定理可得巳4-丁2=0 丿
i
q
(r :：: R)
同理，当P 点在带电球面外，即 r>R 时，高斯面内包围的电荷为 a q = q
所以由高斯定理可得 E 2
4"：r 2
= q ，；0
若写明方向，应为
例2.若是均匀带电球体，对称性分析、高斯面的选取、电通量的计算及球体外的电荷、场 强计算与球面（壳）类似，只有球体内场强计算时要考虑到电荷的体分布。

所以若是均匀 带电球体，当rvR 时，高斯面内包围的电荷为
' qi 二'V 所以当rvR 时，有
4
二 R 3 所以 R 3
E4 二 r 2 = 1 ；0 R 3 1 qr 4二；。

R 3 (r ::: R)
若写明方向，应为 qr (r < R) 球体外的同球壳外的形式相同。

例3.均匀带电无限大平面的电场，已知 二>0 解：经分析，在无限大带电平面两侧距平板等距 的各点的场强大小相等，方向处处与平板垂直，并 指向两侧，所以做一个如图所示的圆柱面为高斯面， 使两底面与平板平行等距。

则通过此高斯面的电通量为 二..E dS = E dS E dS E dS 二 E0 ES 2 0 二 2ES
S
1
S
2 %
高斯面内包围的电荷为 7 q j 所以由高斯定理可得
2E^ 1-S
所以
E 2 (r R)
E 2
qr 4- ；r
(r R)
无限大带电薄板外侧的场强大小为
E
，方向垂直板指向外侧。

2坯
当r>R 时，高斯面内包围的电荷为
电势的计算
4 二；0
r 4二；0
r
则由电势叠加原理可得整个带电圆环在
带负电的无限大带电平面薄板同样适用，只不过方向相反，从两侧指向平板。

还可以证明带等量异号电荷的一对无限大平行平面薄板间的场强为 外侧为 E = 0 E
C T
衣0
例4.均匀带电圆柱面的电场。

沿轴线方向单位长度带电量为 解：经分析，由于电荷呈均匀的轴对称性，所以 它的场也呈现均匀的轴对称分布，因此过场点 P 做一个同轴的，半径为 r 的长度为I （任意长度）的 圆柱面为
高斯面，则通过该高斯面的电通量为 := ■ - E dS 二 E dS 亠 11 E S 上底 下底 =0 0 2二rIE 二 2rIE dS E dS
侧面
::: r
-；
当r<R 时，高斯面内包围的电荷代数和为 所以由高斯定理可得
E =0
(r < R)
所以由高斯定理可得 E2 二rl
所以 E =
2 ；
0r
(r R)
例1.求均匀带电圆环轴线上的电势分布。

已知： 解:方法一 电势叠加法 选无穷远处为电势零点，由于电荷呈均匀线分布，所以在带电细圆环上任取一长为 元，则根据点电荷电势公式可得该处的电荷元 dq 在场点处的电势为 du 二 dq
R 、q dl 的线
dl 2TR
U P = dU
二 0 4「r
dl 2…R =
4二；0r
4二；° i R 2 x 2
P 点的电势为
当r ::: R 时,
U i
R :_ :_
q
二 E “ dr E 2 d 匸 0
2
dr
R
R
4“r 2
q
4二；R
当r R 时,
U 2
=E 2 dr
r
£dr
q 4二 0
r
例3.两个同心球面，半径分别为R, R,，分别均匀带电，电荷分别为Q 1,Q 2，且R ：：： R 2。

求下列区域内的①rvR :②r 〉R 2 :③R ,v r<R 2，离球心O 为r 处的一点P 的场强和 电势•
解：由于电荷呈均匀球对称分布，所以系统各部分的电场分布也呈球对称分布。

因此选同 心的半径为r 的球面为高斯面，则由高斯定理可得各个区间的场强分布为
E i =0 (r :: R i )
E 2
Q i
4二 0
r
(R ：： r :: R2)
E 3
Q i Q 2
2
4 0
r 2
(r R 2)
选无穷远处为电势零点，过
P 点的一条电场线为积分路径，则由电势定义可得
U p 二E ・dl 二Edr ,因此各个区间的电势分别为
方法二 定义法
由前面的计算可知，带点细圆环在中心轴线上的电场强度分布为
qx
4 二;o (x 2 R 2)2
所以选无穷远为电势零点，选过场点的一条电场线为积分路径，则由电势的定义可得
例2.求均匀带电球面电场中电势的分布，已知
R , q
（关于均匀带电球面的场强计算前面已有结论，所以采用定义法计算容易） 解：均匀带点球面内、外的电场分布可由高斯定理求得，其结果为
r :: R
E 2
选无无穷远为电势零点，选过场点的一条电场线为积分路径，则由电势的定义可得
X p
qxdx xp 4二；0
(x 2 - R 2)'2
q
4二；0
x. R 2 x 2
；0
Q 1
+Q 2
U 3 二 E s dr
12
(r . R 2)
r
4二；°r
静电场中的导体和电介质
例1.已知：导体板 A ,面积为S 、带电量Q ,在其旁边相距很近的地方平行地放入面积也 为S 的导体板B 。

求：（1）A 、B 上的电荷分布及空间的电场分布； （2）将B 板接地，求电荷
分布。

解：处于静电平衡状态的导体， 其全部净电荷都分布在导体的表面， 假设A 、B 两个导体的
四个表面的电荷面密度分别为
「、二2、二3和二4，（在不能确定他们正负的时候先）假设
他们都为正电荷。

由于两板相距很近，所以四个表面在空间各点产生的场强可以用均匀无 限大带电平面的场强来表示，
设他们在空间各点产生的场强分别表示为
E 1
、E 2
、E 3
和E 4
，
所以空间各点的场强为他们的叠加，有 ^E 1
E 2
E 3
E 4。

内部场强处处为零，所以在导体
A 和
B 内部各任取一点 a 和b ,
R i R 3
U i
cd
二 E j dr 亠 iE 2dr 亠 iE 3dr =
r
R 2
R 2
Q i Q l Q 2
4- ;0 R 2
R
2
::
U 2
= E 2
dr 亠 i E 3
dr
r R 2
(R 1
< r :: R 2
)
由于处于静电平衡的导体 规定向右的方向为场强的
1 1
Q 1
Q 2
4 二；0
R 2
4
二；
Q i 4二；
o
-1 -2 -3
另外,
2；。

-1
由电荷守恒定律可得
B板
上述各方程联立，解得
电荷分布
场强分布
A板左侧
2 ；oS 正方向，由前面的结论可有
；0
两板之外
E =0
选无穷远为电势零点，任意的过场点的一条电场线为积分路径，贝y 球心的电势为
::
R i
R 2
R 3
::
U 。

二 E di ■二 Edr . Edr . Edr . Edr
R i
R 2
R 3
_ q （ 1 _ 1） 1 q Q 4二；0（
R R 2）
4 二 0 R 3
②如用导线连接 A 、B ,则A 球的电荷与 B 球壳内表面的电荷中和，导体 A 和B 通过导线 连成一个整体，体系重新达到一个新的静电平衡状态，全部的净电荷 Q+q 均匀分布在导体
球壳B 的外表面，导体内部场强处处为零。

所以
B 板右侧
I
E B
；-2 3
Q
；0
； o 2 ； 0S
两板之间
2
； 0 S
（2）、将B 板接地，求电荷及场强分布
接地时
；0
A B
¥2 a 3|
电荷分布
场强分布
匚3
—=0 2；°
E 3
二 1
2
；
2；。

6=0
:「2 L -；「
两板之间
▽ 2 ▽ 3
b
E 1
A
B '
例2.半径为
球壳其带电量为 Q.
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 ； 解：①、由静电平衡的性质可以分析出
R 1的金属球
A , 带电量为
q,外面同心地套着内外半径分别为 R 2和R 3的金属
②如用导线连接 A 、B ，再作计算
A 球的电荷q 均匀地分布在
-q 的电荷，在其 Q+q ,所以选任意的半径为 r 的
A 球的表面，在
B 球壳的内表面均匀地分布着 外表面均匀分布着全部的净电荷 同心球面作高斯面，结合高斯定理及静电平衡条件就可以求出各个 区间的场强分布
E l
E 2
00
二 Edr
r
例3.半径为R 的导体球，带电量为 Q,放置在相对介电常数为
；r 均匀各向同性的介质中。

求：1、球外任一点的场强； 2、导体球的电势。

解：1、经分析，导体球壳的电荷均匀分布在整个导体球面上，另外所处的介质又均匀各向 同性，所以可知其在介质中的场强和电位移矢量均呈球对称分布，所以在球外选任意半径 为r 的同心球面为高斯面，则通过该高斯面的电位移通量为
2
I l D dS = D 4二r
高斯面内部包围的自由电荷代数和为 所以，由介质中的高斯定理可得
Q
2
4二；0
；r
r
2、因为导体球处于静电平衡状态，所以导体球是等势体，其电势等于表面的电势。

选无穷 远为电势零点，任意的过场点的一条电场线为积分路径，贝y 导体球的电势为
Q 4二；0 r
R
当r :: R3 时，E =0
当r R 3时,
Q q 4 ；0
r 2
同前，可得球心的电势为
U o R
3 ::
=Edr Edr =
0 R 3
Q q 4二；0
只
球壳外任意点的电势为
2
例.计算半径为R的均匀带电导体球及均匀带电球体的电场能量它们的带电量均为q.
解：由于电荷呈均匀球对称分布，所以无论导体球还是介质球，其空间的电
场分布均呈球对称分布。

对于导体球：由静电平衡条件及高斯定理可以求得导体球
内外的电场分布。

由于电场分布呈球对称分布，所以所选的体积元因此，均匀带电导体球的电场能量为
1 2
W e「.v W e dV =込PE dV dV是一个半径为r厚度为dr的同心球壳。

E」0(r :: R)
q
4-；
0r2
(r R)
=0- ；0( q2)24二r2dr R2 4二；°r2
2 _ q
8二；0
R
对于带电球体：其内外的电场分布为
qr
4二；0；
r R3
(r :: R)
2
4二；°r
(r R) 体积元的选取同上，所以均匀带电球体的电场能量为
R
1
9 o
W e 0；r E 4二r dr
°
2
q ::
1
2 2
0E 4二
r dr 2
R厶
+
40 二；R 8「；0R。