2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年甘肃省兰州市四片区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.
1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x＜2} 2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（）
A．y＝2x B．y＝﹣2x2C．y＝x D．y＝
3．若经过A（3，m），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（）A．4B．﹣6C．6D．﹣4
4．函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，0）5．m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n
C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
6．某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）
A．4π+6B．6π+6C．4π+3D．6π+3
7．函数y＝|log2x|﹣（）x的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
8．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．
9．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）
A．B．C．D．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）
A．90°B．30°C．45°D．60°
11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若三个球的表面积之比是1：2：3，则它们的体积之比是．
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O﹣AB1D1的体积为．
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
16．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是．
三．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知函数．
（1）求：函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
18．（12分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
20．（12分）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
22．（12分）如图：在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大小；
（2）求四棱锥V﹣ABCD的体积．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|1＜x＜2}
解：因为B＝{x|x≤1}，所以∁R B＝{x|x＞1}，
所以A∩（∁R B）＝{x|1＜x＜2}．
故选：D．
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（）
A．y＝2x B．y＝﹣2x2C．y＝x D．y＝
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝﹣2x2，是二次函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝x，是正比例函数，既是奇函数又在定义域上是增函数，符合题意；
对于D，y＝，是反比例函数，是奇函数但在其定义域上不是单调性函数，不符合题意．故选：C．
3．若经过A（3，m），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（）A．4B．﹣6C．6D．﹣4
解：由题意得tan45°＝1＝，
解得m＝4，
故选：A．
4．函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，0）
解：函数f（x）＝2x﹣3x是连续函数，
∵f（0）＝1﹣0＞0，
f（1）＝2﹣3＜0，
∴f（0）f（1）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（0，1）．
故选：B．
5．m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n
C．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
解：对于选项A：若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m和n异面，故A错误；
对于选项B：若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m和n可能平行，也可能垂直，故B错误；
对于选项C：若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β或α∥β，故C错误；
对于选项D：若m⊥α，直线m相当于平面α的法线，n⊥β，则n相当于平面β的法线，由于m∥n，则α∥β，故D正确．
故选：D．
6．某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）
A．4π+6B．6π+6C．4π+3D．6π+3
解：根据三视图知，该几何体是半圆柱体，如图所示；
则该几何体的表面积为2×3+2××π×12+×2π×1×3＝6+4π．
故选：A．
7．函数y＝|log2x|﹣（）x的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】函数y＝|log2x|﹣（）x的零点，即方程|log2x|＝（）x的根，也就是两个函数y＝|log2x|与y＝（）x的交点的横坐标，画出两函数的图象，数形结合得答案．
解：由|log2x|﹣（）x＝0，得|log2x|＝（）x，
作出函数y＝|log2x|与y＝（）x的图形如图，
由图可知，函数y＝|log2x|﹣（）x的零点个数是2．
故选：C．
8．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．
【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，
所以根据球的体积公式知，
故选：B．
9．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）
A．B．C．D．
【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．
解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD
为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
∵AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，∴AE＝AB sin60°＝，
BE＝AB cos60°＝1，
V1＝＝，V2＝＝π，
∴V＝V1﹣V2＝，
故选：D．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）
A．90°B．30°C．45°D．60°
【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．
解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，
因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，
所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，所以A1O＝，A1B＝，
sin∠A1BO＝，
∠A1BO＝30°．
故选：B．
11．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D＝A1B＝DB＝AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°
故选：C．
12．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）
A．B．C．D．
【分析】球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面，其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．设PH＝h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，由此能求出该四棱锥的高．
解：正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，
球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．
设PH＝h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，
∴＝，即＝，
解得h＝或h＝0（舍）．
∴该四棱锥的高是．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填入答题卡内.）
13．若三个球的表面积之比是1：2：3，则它们的体积之比是．【分析】根据三个球的表面积之比是1：2：3，可得三个球的半径之比，利用三个球的体积之比是三个球的半径之比的立方，即可得到结论．
解：∵三个球的表面积之比是1：2：3，
∴三个球的半径之比是1：：，
∵三个球的体积之比是三个球的半径之比的立方
∴三个球的体积之比是
故答案为：
14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O﹣AB1D1的体积为．
【分析】画出图形，容易得出三棱锥O﹣AB1D1的底面△OB1D1的面积，高AO的大小，从而求出三棱锥的体积．
解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
O是上底面ABCD的中心，棱长为a，
∴对角线AC⊥平面BDD1B1，
∴三棱锥O﹣AB1D1的体积为
＝••AO
＝•B1D1•BB1•AO
＝••a•a•
＝．
故答案为：．
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2＝18，
则a2＝3，即a＝，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即a＝2R，
即R＝，
则球的体积V＝π•（）3＝；
故答案为：．
16．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，∴f（﹣x）＝log2（﹣x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x），
①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1＝，
解得0＜x＜，
②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，
则log2（﹣x）＞1＝log22，解得x＜﹣2，
综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填入答题卡内.）
17．（10分）已知函数．
（1）求：函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【分析】（1）确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可．
解：（1）定义域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，
∵f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣x+＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（x1﹣x2）（1+）
∵x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）
∴x1﹣x2＜0，1+＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
18．（12分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出O是AC中点，OE∥PA，由此能证明直线PA∥平面EDB．
（2）由直线PD⊥底面ABCD，得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵E是PC的中点，∴OE∥PA，
∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴直线PA∥平面EDB．
解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，
设PD＝DC＝a，则BD＝＝，
∴tan∠PBD＝＝＝．
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．
19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
【分析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面，V＝V圆台﹣V圆锥，进而得到答案．
【解答】（12分）
解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面
＝π×52+π×（2+5）×5+π×2×2
＝（4+60）π．
V＝V圆台﹣V圆锥＝
π（+r1r2+）h﹣πr2h′
＝π（25+10+4）×4﹣π×4×2＝π
20．（12分）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组，求出m的值，得g
（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝，利用m的值求出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．
解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，
∴，
解得m＝﹣2，
∴g（x）＝x2；
又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝，
∴设f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），
∴log a（﹣m+1）+log a（﹣m﹣1）＝，
即log a（m2﹣1）＝log a3＝，
解得a＝9，
∴f（x）＝log9x；
（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），
且f（x）＝log9x在（0，+∞）上单调递增，
∴，
解得；
即＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（，2）．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE ⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD⊂平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC＝AC，
BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE＝DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE＝PA＝1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC＝S△ABC＝××2×2＝1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC＝×1×1＝．
22．（12分）如图：在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大小；
（2）求四棱锥V﹣ABCD的体积．
【分析】（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN．利用正方形的性质和等腰三角形的“三线合一”，证出MN⊥AB且VM⊥AB，得到∠VMN是二面角V﹣AB ﹣C的平面角．再根据题中数据算出△VMN是正三角形，得∠VMN＝60°，即得二面角V﹣AB﹣C的大小；
（2）过V作VO⊥MN于点O，利用面面垂直的性质与判定证出VO⊥平面ABCD，得VO 是四棱锥V﹣ABCD的高．正三角形△VMN中算出VO的长，结合锥体的体积公式和题中的数据，即可得到四棱锥V﹣ABCD的体积．
【解答】解（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN，（1分）
∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴MN⊥AB，MN＝2 （2分）又∵VA＝VB＝，M为AB的中点，∴VM⊥AB（3分）
∴∠VMN是二面角V﹣AB﹣C的平面角（4分）
在Rt△VAM中，AM＝1，VA＝，
∴VM＝＝2，同理可得VN＝2
∴△VMN是正三角形，可得∠VMN＝60°
即二面角V﹣AB﹣C的大小为60°（7分）
（2）由（1）知AB⊥平面VMN（8分）
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面VMN（9分）
过V作VO⊥MN于点O，
∵平面ABCD⊥平面VMN，平面ABCD∩平面VMN＝MN，VO⊂平面VMN ∴VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V﹣ABCD的高（11分）
∵VM＝MN＝NV＝2，∴VO＝（12分）
因此，四棱锥V﹣ABCD的体积为
V＝S ABCD×VO＝＝（14分）。