江苏省泰州市2011届高三第一次模拟考试(数学)

泰州市2010～2011学年度第一学期期末联考
高三数学试题参考答案
一、填空题
1. 2；
2. 2,210x R x x ∀∈-+>；
3.
12；4. {}1,1,2-；5.20；6. 2π；7. 1；8. 2log 3；9. ②③④；10.215；11.
12.
13. 5,016⎛⎫- ⎪⎝⎭
；14.sin θ. 二、解答题
15. ⑴∵在ABC ∆中，AB AC =，E 为BC 的中点，∴
AE BC ⊥.…………………………（1分）
又∵平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABC ，
平面ABC 平面BCD BC =，∴AE ⊥平面
BCD .…………………………………（5分）
⑵∵BD CD =，E 为BC 的中点，
∴BC DE ⊥.…………………………（6分）
由⑴AE BC ⊥，又AE DE E = ，AE ，DE ⊂平面AED ，
∴BC ⊥平面AED .…………（9分）
又AD ⊂平面AED ，∴BC AD ⊥，即
AD BC ⊥. …………………………（10分）
⑶取AB 、AC 的中点M 、N ，所有的点G 构成的集合T 即为ABC ∆的中位线MN .………………………………………………………………………………（14分） 16. ⑴∵cos()a b αβ⋅=- ，∴2cos 3
θ=. ……………………………………（3分） ∴22sin sin(
)1cos cos 2πθθθθ-+=-- ……………………………………（5分）[来
源:学科网] 19=-. …………………………………………………………………………（7分） ⑵∵(1cos ,sin )b c ββ+=+ ，a ∥()b c + ，∴cos sin (1cos )sin 0αββα-+=. ………………………………………………（9分） 又∵2k πα≠，k βπ≠()k Z ∈，∴sin tan 1cos βαβ
=+………………………（12分）[来源:]
2
2sin
cos 22tan 22cos 2ββ
ββ==. ……………………………………………………（14分）[来源:]
17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分）
⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820
x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪==⎨⎪-+≤≤⎩.…（6分）
当16x ≤≤时，2(44)(48)(44)(48)()21162
x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）
当820x ≤≤时，2(56)(32)(56)(32)()19362
x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分） 由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分） 答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）
18. ⑴由题意可得点P 的轨迹1C 是以,A B 为焦点的椭圆. ……………………（2分）
且半焦距长c m =，长半轴长3a m =，则2C 的方程为22
22
198x y m m +=.………（5分） ⑵若点(,)x y 在曲线
1C 上，则2222198x y m m +=.设03x x =0y =，则03x x =，
0y =. …………………………………………………………………………（7分） 代入22
22198x y m m +=，得22200x y m +=，所以点(3x 一定在某一圆2C 上. [来源:学科网ZXXK]
………………………………（10分） ⑶由题意(3,0)C m . ………………………………………………………………（11分）
设11(,)M x y ，则22211x y m +=.┈┈┈①
因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以113(,)22
x m y N +. 代入2C 的方程得222113()()22
x m y m ++=.┈┈┈② 联立①②，解得1x m =-，10y =.…………………………………………………（15分） 故直线l 有且只有一条，方程为0y =. ……………………………………………（16分） （若只写出直线方程，不说明理由，给1分）
19. ⑴由题意1(3,0)A 、1(0,4)B 、2(5,0)A
、2(0,7)B .[来源:学.科.网] ∴11404033A B k -=
=--，22707055A B k -==--. …………………………………（2分） 1122A B A B k k ≠，∴11A B 与22A B 不平行. ……………………………………（4分） ⑵ {}n a 、{}n b 为等差数列，设它们的公差分别为1d 和2d ，则
111211112(1),(1),n n n n a a n d b b n d a a nd b b nd +=+-=+-=+=+，， 由题意11111()2
n n n n n OA B OA B n n n n S S S a b a b ++∆∆++=-=-.……………………………（6分） ∴[]111211121()()((1))((1))2
n S a nd b nd a n d b n d =++-+-+-[来源:] 121211121(2)2
d d n a d b d d d =++-，…………………………………………（8分）[来源:] ∴1121211121(2)2
n S d d n a d b d d d +=+++，∴112n n S S d d +-=是与n 无关的常数，
∴数列{}n S 是等差数列. ……………………………………………………………（10分）
⑶(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，∴n k =
002n n n n n b b an b a a -+=-=--. 又数列{}n k 前8项依次递减，
∴1n n k k +-=11(1)222
n n n a n b an b an a b +++++-+-+=0<对17()n n Z ≤≤∈成立，即0an a b -+<对
17()n n Z ≤≤∈成立.………………（12分）
又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即
760a a b a b -+=+<即可. 又112b a b =+≥-，联立不等式60120
,a b a b a a b Z
+<⎧⎪+≥-⎪⎨>⎪⎪∈⎩，作出可行
域（如右图所示），易得1a =或2.…………（14分）
当1a =时，136b -≤<-，即13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解； 当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解.∴数列{}n b 共有9个. …（16分）
[来源:学§科§网]
另解：也可直接由12,06-≥+<+b a b a 得5120<
<a .又Z a ∈，则1a =或2.下同 20. ⑴当2a x <时，249()4
f x a x =为增函数. …………………………………（1分） 当2a x ≥时，()f x '=23x 4
23a x
-.令()f x '0>，得x a x a ><-或.…………（3分） ∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(,)22
a a -和(,)a +∞.……………………………（4分） ⑵由右图可知，
①当12a <<时，12
a
a <<，()f x 在区间[]1,a 上递减，在[]
,2a 上递增，最小值为3()4f a a =；………（6分） [来源:学|科|网]
②当01a <≤时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为
4(1)13f a =+；……………………………（8分）
③当2a =时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为
3()4f a a =； ……………………………（9分）
综上，()f x 最小值
431301()412a a g a a
a ⎧+<≤=⎨<≤⎩. ……………………………（10分）[来源:学.科.网Z.X.X.K]
⑶由()[]2
()(2)()(2)()f x f t x f t f x f t x f t -+≥+-，
可得[][]()()()(2)0f t f x f t f t x ---≥， ………………………………（12分）
即()()()(2)f t f x f t f t x ≤⎧⎨≤-⎩或()()()(2)
f t f x f t f t x ≥⎧⎨≥-⎩成立，所以t 为极小值点，或t 为极大值点.又,22
2a a x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()f x 没有极大值，所以t 为极小值点，即t a =……………（16分） （若只给出t a =，不说明理由，得1分）。