最优增长理论

第四章 最优增长理论
通过上一章对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。

然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看待。

为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范围，或者说必须对索洛模型加以改进。

从何处着手进行改进呢？对于这个问题，只要注意一下索洛的基本做法——把储蓄率视为不能由模型本身来决定的外在因素，而储蓄率对经济增长有着重要影响，就可看出应该从储蓄的决定问题出发来对索洛模型加以修正。

由于产出不是用于消费，就是用于储蓄以增加投资，所以储蓄的决定问题归结为消费的决定问题。

本章和下一章将一改索洛的做法，把消费(和储蓄)纳入到增长模型的内在因素中来，让消费(与储蓄)由模型本身决定。

本章要在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动，建立经济增长的拉姆齐-卡斯-库普曼模型。

该模型与索洛模型相似，比较简单，但其中的消费(与储蓄)由具有无限生命的家庭来决定。

家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄。

企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售活动。

该模型由拉姆齐(F. P. Ramsey) 1928年初创驺型，1956年分别得到卡斯(D. Cass)和库普曼(T. C. Koopman)的发展和完善。

他们三人都规避了市场的不完全性问题和家庭各异所产生的棘手问题，并把世世代代缔结成一个整体。

可以说，该模型是对现实世界的高度抽象，为我们分析问题提供了很好的基点。

由于无限生命假设偏离现实，于1965年便出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替增长模型，把无限生命假设改进为假定经济中不断有新家庭加入。

这样，经济就表现为一个世代交替的经济，从而使理论模型向现实更靠近一步。

关于世代交替理论，将在下一章中介绍。

第一节 一些准备知识
卡斯和库普曼从微观角度分析消费与储蓄行为，运用连续时间贴现率和相对风险规避度量，提出了他们对家庭行为的假设，并在此基础上建立了经济增长模型。

为了更好地理解这些假设的意义和拉姆齐—卡斯—库普曼模型的实质，本节对涉及到的一些概念作一解释。

一、现值与贴现
资金的现值(present value)概念是指未来资金的当前价值。

比如，一年后的一元钱和当前的一元钱，其价值是不同的。

一年后的一元钱价值较低，而当前的一元钱可以存入银行，一年过后便获得多于一元的收入。

现值概念就是基于这一常识而得出的。

把未来资金按照它的当前价值计算，就叫做贴现(discount)。

然而，要计算未来资金的现值，就需要有一个贴现率。

所谓贴现率(discount rate)，是指一项资金在单位时间内所增加的价值与它的当前价值之比。

例如，当前100元存入银行一年变成105元，那么一年后的105元就贴现成为当前的100元，其贴现率为5%)100)100105((-=。

一般来说，时间单位通常选取为年，但也可选取为季度、月、周、日等。

这种计时方式就是离散时间(discrete time)，
相邻时刻之间正是一个时间单位。

但时间也可以论时点，没有离得最近的相邻时刻，这种连续计时的方式就是连续时间(continuous time)。

在离散时间方式下未来资金的贴现公式比较简单，而在连续时间方式下把未来资金进行贴现就要相对复杂一些。

(一) 简单贴现公式
在离散时间方式下，我们把选定的时间单位叫做期。

假定当期有0R 元资金投资于某项资产,一期过后将得到R 元总收入，则这R 元收入的现值为0R 元，其贴现率ρ为：
0R R R -=ρ 或者说)1(0ρ+=R R ，或)1/(0ρ+=R R 。

一般来说，如果把0R 元资金投资于某项资产，n 期后可一次得到R 元总收入，贴现率为ρ，则n R R )1(0ρ+=，即n R R -+=)1(0ρ，也即贴现率n R R 1/0-=ρ。

公式
n R R )
1(0ρ+= 称为简单贴现公式，或者称为离散时间贴现公式。

显然，对于投资来讲，贴现率就等于投资收益率；对于存款来讲，贴现率等于利率。

如果某项投资的期限为n 期，收益率为ρ，并且n 期内每期都有回报，n 期以后再无回报。

设第k 期内得到的回报为k R 元),,2,1(n k Λ=，则资金流n R R R ,,,21Λ的现值0R 为：
∑=+=n k k k R R 10)
1(ρ 这就是资金流简单贴现公式。

(二) 复杂贴现
在连续时间方式下，用t 表示时刻，并用0=t 表示当前时刻。

假定当前的0W 元资金等同于时刻t 的)(t W 元(∞<≤t 0, 0)0(W W =)。

也就是说，时刻t t ∆+的)(t t W ∆+元等同于时刻t 的)(t W 元。

假定贴现率ρ在各个时刻都是一样的，即不随时间变化而浮动。

按照贴现率的含义，时刻t t ∆+的)(t t W ∆+元贴现成为时刻t 的)(t W 元(或者说时刻t 的)(t W 元变成为时刻t t ∆+的)(t t W ∆+元)，其单位时间内资金价值的增加量为t t W t t W ∆-∆+/)]()([，因而贴现率ρ应该为：
)
(/)]()([t W t t W t t W ∆-∆+=ρ 这是一个与时刻t 和t ∆无关的常数。

于是，令0→∆t ，便可得到：
t d t W d t W t d t W d t W t W )(ln )(/)()()(===&ρ 既然ρ为常数，上式便蕴含着t e W t W ρ0)(=，这就是在贴现率ρ下，时刻t 的)(t W 元贴现成为当前时刻)0(=t 的0W 元时的贴现公式，通常把它写成如下形式：
t e t W W ρ-=)(0
此式称为复杂贴现公式，或称为连续时间贴现公式。

对于连续时间资金流来说，即每个时刻t 都有一定数量的资金)(t R (这里，0>t )，设贴现率为ρ，则把这个资金流向当前时刻(0=t )贴现后，它的现值0R 为：
t d e t R R t ⎰∞+-=00)(ρ
此式称为资金流复杂贴现公式，也即连续时间资金流现值公式。

二、风险规避度量
微观经济学告诉我们，消费者效用函数的凹、凸性反映了消费者在不确定的消费环境中对待风险的不同态度。

凹的效用函数说明消费者厌恶风险，是风险规避者；凸效用函数表明消费者喜欢风险，是一个冒险者；线性效用函数则表明了消费者对待风险的中立态度。

通常，我们当中大部分人都不喜好冒险，是风险规避者，因而效用函数是凹函数，其一阶导数为正，二阶导数为负，即边际效用效用为正但递减。

对于风险规避者来说，在他(她)计划按照某种无风险的方案进行消费时，要让他(她)改变计划去采取另一种带有风险的消费方案而预期效用还不会提高(当然也要求不会降低)，就必须对他(她)承担风险进行补偿，这部分补偿就称为风险金(Risk Premium)，也称为风险升水，一般用RP 表示。

严格地讲，风险消费计划的风险金是指该计划的预期消费与一个无风险消费计划的消费之间的差额，其中这个无风险消费计划的效用等于该风险消费计划的预期效用。

用RC 表示某种带有风险消费计划，EU 表示该风险消费计划的预期效用量，EC 表示该风险消费的预期消费量。

用C 表示其效用)(C u 等于EU 的那个无风险消费计划的消费量，则风险消费计划RC 的风险金RP 为：C EC RP -=。

风险金RP 也是保险费。

采取带有风险的行动RC ，得到了风险金的补偿，然而消费环境依然不确定。

消费者为了彻底排除消费活动中存在的风险隐患，可以购买保险，把风险金交纳给保险公司，确保一个消费量C ，虽然它低于预期的消费量，但保证了效用达到预期的水平。

可见，按照风险金来确定保险费标准，是一种合理的做法。

鉴于这个原因，人们也把风险金称为保险费。

图4-1以赌博为例描绘了风险规避者采取风险消费时的风险金的直观意义。

图中，消费者的效用函数为)(C u U =，0)(>'C u ，0)(<''C u 。

横轴C 是消费轴，纵轴U 是效用轴。

起初，消费者准备按照一种没有风险的方案消费0C 元商品。

现在有一个赌博，让消费者考虑是否参加。

如果在赌博中失败，消费者将损失1C ∆元的消费，使消费下降到101C C C ∆-=的较低水平，效用相应地下降到)(11C u U =；如果取胜，消费者可增加2C ∆元的消费量，使消费量增加到202C C C ∆+=元，效用相应地上升到)(22C u U =。

这个赌博中，负的概率为p ，胜的概率为p -1；消费者参加赌博的预期消费为21)1(C p pC EC -+=，预期效用为21)1(U p pU EU -+=。

效用等于参加赌博的预期效用的消费是*C ，即EU C u =*)(。

消费者参加赌博的风险金为*C EC RP -=，即支付了保险费RP 后可保证达到*C 代表的消费水平。

显然，如果0*C C ≥，则扣除保险费后仍可使消费量预期增加，效用水平得到提高，从而消费者会接受赌博；否则，他不会接受赌博。

当考虑消费者的风险规避行为时，常常需要对消费者厌恶风险的程度进行测量，这就需
1)(U C u = C u =*)( (C u 2)(U C u = 102
图4-1 风险消费活动的风险金
要有一种测定风险规避程度的尺度。

其实，风险金就预示着风险规避者对风险的厌恶程度的强弱，即预示着风险规避倾向的大小。

对于同样的风险消费活动来说，如果消费者甲对承担风险所要求的风险金多于消费者乙，那么消费者甲显然比消费者乙具有更强的风险规避倾向。

这种情况反映在效用函数上，消费者甲的效用函数比乙的效用函数更加凹，即甲的边际效用递减得更加快。

按照这个想法，我们就可对不同消费者的风险规避程度进行比较，从而可给出如下的定义：
定义. 用A u 表示消费者甲的效用函数，B u 表示消费者乙的效用函数。

用)(X RP A 表示甲从事风险消费活动X 的风险金，)(X RP B 表示乙从事该风险消费活动X 的风险金。

(1) 如果对某种风险消费方案X ，都有)()(X RP X RP B A >，我们就说在X 处，甲比乙具有更
强的局部风险规避倾向。

(2) 如果对任何风险消费方案X ，都有)()(X RP X RP B A >，我们就说甲比乙具有更强的全部
风险规避倾向。

(一) 绝对风险规避度量
阿罗(K.J. Arrow, 1965)和普拉特(J.W. Pratt, 1964)分别提出了测量消费者风险规避倾向的阿罗-普拉特度量。

直观上看，效用函数越凹，消费者的风险规避倾向越强。

因此，可以考虑用效用函数的二阶导数来对风险规避的程度加以测量。

但是，表达相同偏好的效用函数可以在仿射变换下变出无穷多个。

所以，用二阶导数来测量风险规避倾向，会因表示同一偏好的效用函数的不同而发生变化，这显然存在着问题。

解决此问题的办法是对这种测量进行标准化处理——用一阶导数去除二阶导数，得到合理的度量。

阿罗和普拉特正是用这种办法，给出了他们的风险规避度量——阿罗-普拉特度量：
)()()(C u C u C r '''-= )(C r 叫做是消费量为C 时的绝对风险规避倾向。

我们还是以赌博为例来说明阿罗-普拉特度量的意义。

设赌博输的概率p 和赢的概率)1(p -都是既定的。

用),(y x 表示以概率p 赢得x 元，以概率p -1赢得y 元
的赌博(这里,x 和y 为任意数值，既可为正，也可为负)。

根据前面分析可知，消费者是否接受赌博),(y x ，关键取决于赌博的预期效用),(y x EU 是否不低于不参加
赌博的效用)(0C u ，这里
)()1()(),(00y C u p x C pu y x EU +-++=
用)(0C G 表示消费者准备消费0C 的情况下可以接受的赌博),(y x 的全体，即
{})()()1()(:),()(0000C u y C u p x C pu y x C G ≥+-++= )(0C G 称为消费者在0C 处的(绝对)接受集。

可以证明，(绝对)接受集是凸集(请读者自己证明)。

接受集的边界由下述方程决定：
)()()1()(000C u y C u p x C pu =+-++
根据隐函数存在定理，上述方程确定了y 与x 之间的一个函数关系式：)(x y ϕ=。

显然，当x 为0时，y 也为0，即0)0(=ϕ。

接受集)(0C G 的边界在点)0,0(处切线的斜率就是导数)0(ϕ'(如图4-2所示)。

根据隐函数求导法则，我们有
图4-2 (绝对)接受集及其边界
p
p y C u x C u p p x d y
d y x --=+'+'--
=='==1)()(1)0(0000)0,0(ϕ 对于)0,0(附近的微小赌博),(y x ∆∆来说，只有当)1/()0(/p p x y --='≥∆∆ϕ时，才是可以接受的赌博。

因此，接受集)(0C G 的边界在点)0,0(处切线的斜率)1/()0(p p --='ϕ说明了消费者接受较小赌博(即点)0,0(附近的赌博)的可能性大小。

现在计算一下接受集的边界在)0,0(处的曲率(即二阶导数))0(ϕ''，办法是在确定)(x ϕ'的方程0)()()1()(00='+'-++'x y C u p x C u p ϕ两边对x 求导数：
0)]()())()(()[1()(0200=''+'+'+''-++''x y C u x y C u p x C u p ϕϕ 整理后得到：
)
()1())()(()1()()(02
00y C u p x y C u p x C u p x +'-'+''-++''=''ϕϕ 然后，把p p y x --='==1)0(,0,0ϕ代入上式，即可得到：
)()1()()()1()()1()1/()()1()()0(02
00202200C r p p C u C u p p C u p p p C u p C u p -='''--='--''-+''=''ϕ 或者写成：
)0()1()(2
0ϕ''-=p
p C r 注意，)0(ϕ''只与0C 处的接受集有关，p 和p -1是决定0C 处的接受集的参数，因此阿罗-普拉特度量)(0C r 是与偏好有关，但与表示这个偏好的效用函数形式无关的绝对量。

另外，)(0C r 越大，接受集的边界在(0,0)处的弯曲程度(即)0(ϕ'')越大，这说明效用函数在0C 附近越凹，因而消费者对待风险的厌恶倾向越强。

(二) 相对风险规避度量
实际中常常碰到这样的问题：风险消费是当前消费的某一倍数。

也就是说，人们冒险进行消费，是为了得到比当前更多的消费，但消费的扩大是相对于当前的无风险消费而言的，因而用扩大倍数这种相对数字来表达，而不用增加量这种绝对意义上的数字表示。

相对数字消除了消费品计量单位的影响，而绝对数字与计量单位有关，较小的计量单位将导致巨大的绝对数字，这是不能令人满意的。

用相对数字表达消费的提高，同样也有测定风险规避倾向的问题，这就是所谓的相对风险规避度量问题。

继续以赌博为例，来说明如何测定消费者的相对风险规避程度的问题。

设有一个赌博，参赌者以概率p 获得x 倍于现有消费C 的消费量，以概率p -1获得y 倍于C 的消费量。

用R y x ),(表示这个赌博。

显然，该赌博的预期效用期为)()1()(),(yC u p xC pu y x EU R -+=，预期消费为pyC pxC y x EC R +=),(。

设R y x C C ),(**=是达到预期效用水平的消费，即R y x EU C u ),(*)(=。

则该赌博消费方案的风险金为R R R y x C y x EC y x RP ),(*),(),(-=。

可以看出，这种相对赌博R y x ),(与前面的绝对赌博),(y x 具有不同的结构。

消费者是否接受R y x ),(，关键取决于赌博的预期
效用)()1()(),(yC u p xC pu y x EU R -+=是否不低于不
赌博的效用)(C u 。

用)(C G R 表示消费者准备消费C 的
情况下可以接受的相对赌博R y x ),(的全体，即
{})()()1()(:),()(C u yC u p xC pu y x C G R R ≥-+= )(C G R 称为消费者在C 处的相对接受集。

也请读者自
己证明相对接受集是凸集。

相对接受集的边界由下述
方程决定：
)()()1()(C u yC u p xC pu =-+ 该方程确定了y 与x 之间的函数关系：)(x y ψ=。

显然，当x 为1时，y 也为1，即1)1(=ψ。

)(C G R 的边界在点)1,1(处切线的斜率就是导数)1(ψ'(如图4-3所
示)。

应用隐函数求导法则，我们得到
p
p yC u xC u p p x d y d y x --=''--=='==1)()(1)1(11)1,1(ψ 所以，对于R )1,1(附近的赌博R y x )1,1(∆+∆+来说，只有当)1/()1(/p p x y --='≥∆∆ψ时，才是可以接受的赌博。

这样，相对接受集)(C G R 的边界在点)1,1(处切线的斜率)1(ψ'表示着消费者接受R )1,1(附近的赌博的可能性大小。

在确定)(x ψ'的方程
0)()()1()(=''-+'x yC u p xC u p ψ
两边对x 求导数，可得：
0)]()())()(()[1()(2='''+'''-+''x yC u x yC u C p xC u C p ψψ
整理得到：
)()1())()(()1()()(2
yC u p x yC u C p xC u C p x '-'''-+''=''ψψ 然后，把p p y x --='==1)1(,1,1ψ代入上式，即可得到：
)()()
1()()1()1/()()1()()1(222C u C u C p p C u p p p C u C p C u C p '''--='--''-+''=''ψ 记)()()(C u C u C C '''-==θθ，则从上式可知： )1()1()(2
ψθ''-=p
p C 注意，)1(ψ''衡量着相对接受集的边界在点)1,1(处的弯曲程度。

弯曲程度越高，相对接受集越小，消费规避风险的倾向就越强。

可见，)(C θ衡量着消费者的风险规避程度的强弱。

鉴于这个原因，我们把)(C θ称为消费者的相对风险规避倾向，并称函数θ为阿罗-普拉特相对风险规避度量。

(三) 绝对与相对风险规避倾向的变化
绝对与相对风险规避倾向如何随消费的增加而变化？下面的回答似乎是合理的： (1) 绝对风险规避倾向)(C r 随消费C 的增加而递减。

y
x
图4-3 相对接受集及其边界
消费量变大时，消费者将愿意接受以绝对收入表示的更多的赌博(风险规避倾向变弱)。

(2) 相对风险规避倾向不变：相对风险规避倾向)(C θ不随消费C 的变化而变化。

相对风险规避倾向)(C θ随消费C 的增加而变化的趋势不太确定。

当消费量很大时，消费者是否愿意冒损失一定比例消费的风险，是不能作出肯定的答复的。

恐怕假定相对风险规避倾向不变，是一个并不太坏的假设。

至少可以说，对于一个较小比例的消费变化来说，相对风险规避倾向不变之假设是合乎实际的。

这一假设也是拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型的基本假设之一。

例1．当效用函数具有形式rC e C u --=λ)(时，消费者具有不变的绝对风险规避倾向r 。

例2．当效用函数具有形式ϑλ-=1)(C C u 时，消费者具有不变的相对风险规避倾向ϑ。

例3．当效用函数具有形式C C u ln )(λ=时，消费者具有不变的相对风险规避倾向1。

第二节 拉姆齐-卡斯-库普曼增长模型
本节要建立的经济增长模型，是拉姆齐(F. P. Ramsey ) 1928年提出来的，后来于1956年经过卡斯(D. Cass )和库普曼(T. C. Koopman )的发展和完善，形成当今称谓的拉姆齐-卡斯-库普曼模型，它是一种有代表性的最优增长模型。

该模型与索洛模型类似，都假定家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄；企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售。

与索洛模型不同的是，拉姆齐-卡斯-库普曼模型假定了储蓄与消费决策由具有无限生命期的家庭决定，这就把世世代代缔结成了一个整体。

另外，该模型规避了市场的不完全性和家庭差异所引起的问题，因而可以说是对现实世界的高度抽象。

尽管如此，这种抽象却为我们分析问题提供了很好的基点。

一、模型的基本假设
模型假定产品市场和要素市场都是完全竞争市场，家庭追求终生效用最大化，企业追求利润最大化，经济在竞争均衡的状态下运行。

(一) 关于企业部门的假定
市场上有大量的企业存在，这些企业彼此相同，具有相同的生产函数),(AL K F Y =，而且生产函数满足索洛模型的假设(即与第一章提出的假设相同)。

企业在完全竞争的要素市场中雇用工人和租用资本，知识要素A 被企业视为既定，并假定A 以增长率g 在增长，这里g 被当作外生变量看待，因而在模型中视为常数(这与索洛模型的假定一样)。

家庭是企业的股东，企业的目标是实现利润最大化，并把获得的利润全部分配给家庭。

(二) 关于家庭部门的假定
市场上还存在着大量的家庭，这些家庭也彼此相同：相同的家庭成员、相同的人口以及相同的资本持有量，并且各个家庭成员也是完全相同的。

每个家庭的人口都以增长率n 增长，家庭的每个成员在任何时点上都向企业提供一个单位的劳动。

另外，家庭把持有的任何资本都租给企业使用。

设经济在初始时刻0=t 的资本总额为)0(K ，时刻t 的资本总额为)(t K 。

这里，)(t K 是存量意义上的资本)0(∞<≤t 。

用H 表示经济中的家庭总数，则每个家庭的初始持有资本量为H K )0(，在时刻t 的持有资本量为H t K )(。

为了简单起见，我们不考虑资本的折旧。

家庭的收入来源有三种途径：一是提供劳动，获得收入；一是出租资本，获得收入；一是从企业那里获得利润分成。

家庭在任何时点上都把它的总收入的一部分拿出来用于当前消费，其余部分储蓄起来用于未来消费，其目的是为了实现家庭终生效用最大化。

家庭的终生效用U 取决于家庭成员的终生消费C 和瞬时效用函数)(•u ，其中终生消费C 指示着家庭成员在各个时刻t 的消费量)(t C ，瞬时效用函数)(•u 衡量着每个家庭成员在任何时刻t 获得的效用：消费)(t C 个单位，获得))((t C u 个单位的效用。

在瞬时效用函数)(•u 既定的情况下，家庭的终生效用U 便成为家庭成员的终生消费C 的函数： dt H
t L t C u e C U U t )())(())((0⎰∞-=•=ρ (4.2.1) 这个函数)(•U 称为家庭的终生效用函数，简称为家庭效用函数。

其中)(t L 表示经济在时刻t 的总人口，因而H t L )(是每个家庭在时刻t 的人口数，H t L t C u )())((是在时刻t 的家庭瞬时效用(即每个家庭成员消费)(t C 时，整个家庭所获得的瞬时效用)。

另外，根据第一节关于贴现率的讨论知，(4.2.1)式中的ρ代表贴现率，准确地讲，是把未来效用贴现成当前效用的贴现率。

ρ越大，家庭收入中用于未来消费的数量相对于当前消费来说就会变小。

假定家庭成员具有不变的相对风险规避倾向，并假定瞬时效用函数)(•u 具有如下形式：
ϑ
ϑ
-=-1)(1C C u (4.2.2) 其中0>ϑ且0)1(>---g n ϑρ。

对于这种效用函数，从第一节最后的例2可知，家庭成员的相对风险规避倾向为常数ϑ，它与各个时刻t 的消费量)(t C 无关。

注意，这里没有涉及不确定性，也就不会直接涉及家庭面对风险的态度。

既然如此，使用相对风险规避倾向ϑ的意义何在？其实，ϑ还具有另外一层含义：ϑ表达着家庭安排、调整各个不同时刻的消费的意向。

ϑ越小，边际效用随消费量增大而递减的速度就越慢，因而家庭越愿意让消费随时间来变化。

比如，当ϑ接近于零时，瞬时效用几乎与消费量C 成线性关系。

家庭为了利用贴现率与储蓄的收益率之间的差异，希望不同时期的消费安排上有较大的差别。

特别是，我们能够证明，ϑ1就是任何两个时点之间的消费替代弹性。

我们对(4.2.2)所述的家庭成员瞬时效用函数的意义再作几点说明。

第一，只要1≠ϑ，瞬时效用)(C u 都是消费C 的递增函数。

事实上，当1<ϑ时，ϑ-1C 是C 的递增函数；而当1>ϑ时，ϑ-1C 是C 的递减函数。

这样，用ϑ-1去除ϑ-1C ，便得到一个总是随C 的增加而增加的函数，即只要1≠ϑ，瞬时效用)(C u 就是消费C 的递增函数。

第二，对任何0>C ，当1→ϑ时，11→-ϑC 。

根据罗必塔法则(l’H ôpital’s rule ),可得：
C C ln 111lim 11=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----→ϑϑϑϑ 注意，让一个效用函数减去一个常数，得到等价的效用函数，即表达相同偏好的效用函数。

因此，可让(4.2.2)表示的瞬时效用函数)(•u 减去常数)1(1ϑ-。

这样，当1→ϑ时，效用函数的形式就可确定下来：C C u ln )(=。

也就是说，(4.2.2)给出的效用函数要求1≠ϑ，但这并不要紧。

当1=ϑ时，可假定C C u ln )(=，从而瞬时效用函数)(•u 对任何ϑ都有定义：
⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-时当时当1,ln 1,1)(1ϑϑϑϑ
C C C u (对任何0>C )
对瞬时效用函数作如上修正往往很有用。

第三，条件0)1(>---g n ϑρ保证了定义家庭终生效用的定积分是收敛的。

假如没有这个条件，那么家庭就有可以获得无限的终生效用，这就要导致效用最大化问题无解。

二、企业和家庭的行为
下面来说明如上描绘的经济中，企业和家庭如何进行他们的经济活动。

(一) 关于企业的行为
在这个经济中，企业的活动比较简单：不论何时，企业都在雇用劳动和资本进行生产，并把产品销售出去。

由于规模报酬不变，而且经济处于完全竞争状态，企业从事生产经营所获得的超额利润只能为零。

企业按照边际产出向劳动和资本支付报酬。

用)(t r 表示时刻t 的实际利率，即向单位资本支付的报酬；用)(t w 表示时刻t 的实际工资率，即向单位有效劳动支付的报酬。

下面分析)(t r 和)(t w 的大小情况。

为此，用)(k f y =表示生产函数),(AL K F Y =的精细形式，即f 是有效人均生产函数。

根据第一章的讨论，)(k f '正是资本的边际产出K AL K F ∂∂),((这里)(AL K k =)。

市场的完全竞争性保证了企业向单位资本支付的报酬r 等于资本的边际产出)(k f '。

再加上无折旧之假定，资本的实际收益率就等于单位资本的报酬。

这样，时刻t 的实际利率(即资本的实际收益率))(t r 应等于时刻t 的资本边际产出，即
))(()(t k f t r '= (4.2.3) 市场的完全竞争性也保证了企业向单位有效劳动支付的报酬w 要等于有效劳动的边际产出)(),(AL AL K F ∂，用有效人均生产函数表示，即)()()(k f k k f AL F w '-=∂∂=。

因此，时刻t 的实际工资率)(t w (即单位有效劳动的报酬)可写成：
))(()())(()(t k f t k t k f t w '-= (4.2.4) 注意，劳动的边际产出L AL K F ∂∂),(不同于有效劳动的边际产出)(),(AL AL K F ∂∂，二者之间的关系为：)(),(),(AL AL K F A L AL K F ∂=∂。

因此，每个工人(即每个家庭成员)在时刻t 的劳动收入应该等于)()(t w t A 。

(二) 关于家庭的行为
对于家庭部门来说，每个家庭都把实际利率r 和实际工资率w 的运动路径)(t r 和)(t w 视为既定。

家庭只能接受它们，而无法影响它们，这是因为要素市场是完全竞争的。