上海市华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题详解 第十一章 复数 含解析

第十一章 复数
11.1 复数的概念
1．m 取何实数时，复数()226
215i 3
m m z m m m --=+--+．
（1）是实数．（2）是虚数．（3）是纯虚数． 解：（1）2
30
52150
m m m m +≠⎧⇒=⎨--=⎩．故5m =时，z 是实数． （2）2
30
52150m m m m +≠⎧⇒≠⎨--≠⎩
且3m ≠-．故当5m ≠且3m ≠-时，z 是虚数． （3）226
033
2150m m m m m m ⎧--=⎪
⇒=+⎨⎪--≠⎩
或2m =-．故当3m =或2m =-时，z 是纯虚数． 2．设z 是纯虚数，且i i 0z z z z ⋅+-=，求z ．
解：设()i 0z b b b =∈≠R ，
，则202b b b b -++=⇒=-．故2i z =． 3．已知复数()
()
2
1i 31i 2i
z -++=
-，若21i z az b ++=-，求实数a b ，的值．
解：1i z =+，将其代入()()21i 13i 034z az b a b a a b ++=-⇒+-++=⇒=-=，
． 4．满足()()
222522i 0x x y y +++--=的有序实数对()x y ，有__________组． 解：2
3412234121122252022242021
x x x x x x y y y y y y ⎧⎧⎧=-=-++==-=-⎧⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⎨⎨
==---=⎪⎩⎩⎪⎪⎩==-⎩⎩，，，．共4组． 5．若复数()
2223232i z m m m m =--+-+是纯虚数，则求实数m 的值．
解：2
2
2320
12320
m m m m m ⎧--=⎪⇒=-⎨-+≠⎪⎩． 6．已知a b ∈R ，，则“a b =”是“复数()()i a b a b -++是纯虚数”的什么条件？
解：取0a b ==，则复数()()i 0a b a b -++=为实数，而非纯虚数，又若复数()()i a b a b -++是纯虚数，则必有0a b a b -=⇒=，故其为必要不充分条件．
7．已知z ∈C ，则命题“z 是纯虚数”是命题“2
2
1z z ∈-R ”的__________条件．
解：当a 是纯虚数，则22
2
20101z z z z ⇒-⇒<≠∈-R ，又取0z =，则2
2
1z z ∈-R 但z 非纯虚数，
所以其为充分非必要条件．
8．使“复数z 为实数”的充分而不必要条件的是（ ）．
A ．2z 为实数
B ．z z +为实数
C ．z z =
D ．z z =
解：对为纯虚数的z ，有A 、B 成立，又z z z ⇔=为实数，故A 、B 、C 选项错误． 又z z z z ⇒=∈∈R R ，，当1z =-时，z z =不成立，所以z z =为复数z 为实数的充分而不必要条件．
9．已知关于x 的方程()22i 2i 0x k x k ++++=有实根，求这个实根以及实数k 的值．
解：22200
202x kx x x k k x
⇒⎧⎧++==⎨⎨+==-⎩⎩，得实根为x =或x =k 值为k =-k =．
10．已知复数()()()
()13i 1i 13i i i
z z a a ω-+--+=
=+∈R ，当
z
ω
a 的取值范围．
解：()
()2
2
2
111i 21142
a z a z
ω
+-=-=
⇒+-，
≤≤．解得a 的取值范围是11⎡⎣．
11．若()()
23i i 63i f z z z f z =+-+=-，，试求()f z -．
解：由于()23i f z z z =+-，故()()
i 2i i 3i 63i 26i 2i f z z z z z z +=+++-=-⇒+=-⇒=+，故()()()()2i 22i 2i 3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．
12．已知复数()
()()()2124i 2cos 3sin i z m m m z θλθλ=+-∈=-+∈R R ，，，，若12z z =，求证：9
716
λ-
≤≤． 证：()()2
2
2cos 4i 2cos 3sin i 43sin m m m m θ
θλθλθ=⎧+-=++⇒⎨-=+⎩
， 2
2
3994sin 3sin 4sin 781616λθθθ⎛⎫⎡⎤
=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，．
13．设()()()
22125i 441i x y a z x ax z x ay y ∈=-+=--+-R ，，，，，若对所有x y ，，都有12z z ≠，求as 的取值范围．
解：若存在x y ，，使得12z z =，则()[]22
2
41160541516160
x ax x a a ay y a ⎧⎧-=-+-⎪⎪
⇒⇒∈-∞-⎨⎨+-=--⎪⎪⎩⎩，≥≥，所
以要使对所有x y ，，都有12z z ≠，则5a >-．
14．已知方程()()22i 42i 0x x ab a b ++++-=，()a b ∈R ，
有实根，求实根的取值范围． 解：设0x 为方程的一个实根，则224020x x ab x a b ⎧++=⎨+-=⎩
，又有()()2
222042a b a b ab -+⇒-≥≥，
则2
2
20402
x x x x +-⇒-≤≤≤．
11.2 复数的代数运算
1．计算：23999...12i 3i 4i 1000i +++++．
解：利用n i 的周期为4来解题．
()()()()2999...............12i 3i 1000i 15997i 2699837999i 481000++++=+++++++-+++-+++=
500500i --．
2．（1）计算()
()2
54i i 2i ++．（2
）计算12
8
1i 2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 解：（1）
()
()
()()()
()()
()2
54i 5158i 5158i 12i 5138i 138i i 2i 12i
12i 12i 5
+++---=
=
=
=-+-+-+--．
（2
）(
)12
12
12
8
11
1i i 1i 222⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
()()126
12i 1i 12i 63=++=+=-．
3．已知两个复数1z 和2z
，它们之和是
)(11i +
，它们之差是
)(11i +，
求1z 、2z ．
解：
)(
)(121211i
11i
z z z z ⎧+=+⎪⎨
-=++⎪⎩
，解得：1
2i 1z
z ==-，．
4．若复数z 满足1z =，求证：
2
1z
z ∈+R ． 证：设()
22i 1z x y x y x y =+∈+=R ，，，
()()()()()22222222222222222i 12i 12i
112i 1414x y x y xy x x y xy z x y z x y xy x y x y x y x y
+-+--+++===∈+-++-++-++R ． 5
．若x ，则()2
321x x ++的值为__________．
解：22230x x x =
-+=， 然后降次可得：(
)2
35212
x x ++=-． 6．若11z z +
=，求200120011
z z
+的值．
解：12z ωω⎛⎫=-=-± ⎪ ⎪⎝⎭
． 2001200120012001
1
1
2z z ωω+
=--
=-． 7．求同时满足下列两个条件的复数z ：
（1）10
16z z
<+
≤．
（2）z 的实部、虚部都是整数． 解：设()i z a b a b =+∈R ，，则222210101010i 11i i z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，则2210a b +=
或0b z ==，，或13i 3i z z ∈⇒=±±R ，
． 8．设z ∈C ，求满足1
z z
+∈R 且22z -=的复数z ．
解：设()i z a b a b =+∈R ，，则22221111i 11i i z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 1z =
，或144z z z ∈⇒==
R ，． 9．已知复数i z x y =+（x 、y ∈R ）
，集合{
|1i M z z y =+-=．
（1）若122
3
z M z ∈=
，，求12z z -的最小值． （2）若()z M z a a '''∈=∈R ，，求z z '''-的最小值()d f a =的表达式．
解：1x +22y x =．
（1）()1i z x y x y =+∈R ，
，)122i 03z z x y x -=-+=≥，
12z z -的最小值为
2
3
． （2）设()i z x y x y '=+∈R ，，
)i 0z z x a y x '''-=-+=
=≥，
得到())()11.
a f a a a =⎨<⎪⎩，
≥
10．已知z 、w 为复数，()13i z +为纯虚数，2i
z
w =
+
，且w =w ． 解：设()i z x y x y =+∈R ，，则()()()13i 33i z x y x y +=-++ 得出3010i x y z y =≠=，． 则(
)7i 52i 5
z y
w w y =
=-⇒===±+，则()7i w =±-． 11．求所有整数k
，使
()()
221i 1i 21i
1i
k
k
k +-+
=-+成立．
解：分类讨论，分别代入检验可得：()443k n n n =+∈Z ，，．
12．已知a b c ，，分别为1的立方根，求
111
n n n n n n
a b b c c a
++的值．（*n ∈N ） 解：无妨设1a b w c w ===，
，．对n 分类讨论即可．n 被3整除时，原式为3；反之，为0． 13．已知复数12z z ，满足()121i 15i 2i z z a +=-+=--，，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若
121z z z -<，求a 的取值范围． 解：1215i
23i 2i 1i
z z a -+=
=+=-++，，
42i 17a a -+<<<．
11.3 复数的模和共轭复数的运算性质
1．已知复数z 满足44i z z -=-，且141
z
z z -+-为实数，求复数z ． 解：设()i z x y x y =+∈R ，
x y =．
141313
1i 1111i
z z z x y z z x y -+
=-+=+-+
---+ (
)
111i x y ⎛⎫⎛⎫
=-+
+ ⎝
⎝
． 则()2
2113x y -+=或0y =， 得出：33i 22i 0z =+--，，．
2．已知()
()()()2122i 2i z x y x xy y z x y y xy x y =++--=---∈R ，，，问x y ，为何值时，1z 与2z 为共轭复数．
解：2
2002x y x y x y x xy y y xy
+=-⎧⇒==⎨--=-⎩，或33
24x y ==，．
3．已知复数12z z ，满足1212357z z z z ==-=，，，求
1
2
z z ． 解：121112
22273155
z z z z z z z z z -=
-===，． 设()12i z x y x y z =+∈R ，，则
75
35=
，解得：12310z z =-±
． 4．已知复数z 满足2
z =，求1z ++的最值．
解：由复数几何意义可知，1z ++为复数
z 在坐标系中所表示的点与点(1-，的距离，因此，最小为0，最大为4． 5．求复数
(
)
)
5
2
4
43i 1i 2z -=
⎫
⎪⎪⎝⎭的模．
解：5
2
4
43i
1251i 2
z -=
=．
6．设复数z 满足1z =，求22z z -+的最大值与最小值，并求出相应的复数z 的值． 解：设()22i 1z x y x y x y =+∈+=R ，，，，
222231i z z z z zz x y -+=-+=--
=
．
当3
8
x =
，即38z =
min z 1x =-，即1z =-时，max 4z =．
7．（1）已知1211z z z ∈=C ，，，求
1212
1z z z z --⋅的值．
（2）若复数123z z z ，，的模均为r ，求123
123
111
z z z z z z ++++的值．
解：（1）()
12121212
1112
11211
1111z z z z z z z z z z z z z z z z z ---===
==-⋅⋅-⋅-．
（2）123123123123123123111111
z z z z z z z z z z z z r z z z r z z z r
++
++++===++++++．
8．已知复数121cos isin 1sin icos z z θθθθ=++=-+，，且22
122z z +≥，求θ的取值范围． 解：()()2
2
221cos sin 1sin cos 2θθθθ+++-+≥，
π42cos 2sin 2sin 4θθθ⎛
⎫+-⇒- ⎪⎝⎭
≥
π
2ππ2π2
k k k θ-+
∈Z ，≤≤． 9．已知复数12cos i sin i z z θθ=+=+，，求12z z ⋅的最大值和最小值．
解：1232z z ⎤⋅=⎥⎦，．
10．设复数12z z ，满足12122i 2i 10z z z z +⋅-⋅+=． （1）若12z z ，满足212i z z -=，求12z z ，．
（2
）若1z =k ，使得等式24i z k -=恒成立，若存在，试求出k ；若不存在说明理由．
解：（1）由212i z z =+，两边同时取共轭复数可得：212i z z =-． 代入已知方程得：()()
11112i 2i 2i 2i 10z z z z -+--+=．
即2
112i 30z z --=．令1i z a b =+，即可得到()222i i 30a b a b +---=． 即()
22232i 0a b b a +---=．解得03a b ==，或01a b ==-，． 则123i 5i z z ==-，，或12i i z z =-=-，． （2）由已知得2122i 1
2i
z z z -=
+
．又由于1z =
222i 12i z z -=+ 则2
2
222i 132i z z -=+，则()()()()
22222i 12i 132i 2i z z z z ---=+-． 整理得：22224i 4i 110z z z z +--=．即()()
224i 4i 27z z -+=． 则2
24i 27z -=
，即24i z -=
则存在常数k =24i z k -=恒成立．
11.4 复数与复数的加法、减法和几何意义
1．是否存在实数a ，使得复数22
2215
6i 4
a a z a a a +-=--+-在复平面上对应的点在虚轴上，若
存在，求出所有的实数a ，若不存在，请说明理由．
解：2226021504
a a a a a ⎧--=⎪
⎨+-≠⎪
-⎩，这样的a 不存在．
2．（1）若z ∈C 且22i 1z +-=，求22i z --的最小值． （2）若z ∈C 且34i 2z ++≤，求z 的最大值．
解：利用复数和几何意义解题，看成点与点之间的距离问题，（1）3；（2）7． 3．已知复数z
满足2z z =的虚部为2．
（1）求z ；（2）设22z z z z -，，在复平面上的对应点分别为A B C ，，，求ABC △的面积． 解：（1）1i z =+或1i z =--．（2）1ABC S =△．
4．已知复数12z z ，
满足1211z z ==-，，且124z z -=，求1
2
z z 与12z z +的值． 解：(
)2
2
22
1212121
2
24z z z z z z z z
++-=+⇒+=，
所以复数12z z ，
构成一个矩形．
1122i z z z z =±=． 5．已知1z =，且51z z +=，求复数z ．
解：5
111
z z z ⎧-==⎪⎨=⎪⎩，
()(
)2
22
21112i 1x x y z x y x y x y y ⎧
=⎪⎧-+=⎪⎪
=+∈⇒⎨⎨+=⎪⎪⎩
=⎪⎩R ，，
12z =． 经检验，满足题意．
6．已知z 为复数，2i z +和2i
z
-均为实数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ．
（2）若复数()2
i z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）42i z =-．（2）26a <<．
7．若1i 1z +-=，求z 的最大值和最小值．
解：由几何意义可得：z 表示以（11-，
）为圆心的单位圆，则11z ⎤∈⎦
． 8．设复数z 满足2z =，求i z -的最大值及此时的复数z ．
解：由几何意义可得：z 表示以原点为圆心半径为2的圆，i z -表示圆上的点与（0，1）的距离，显然则当2i z =-时，i z -取最大值3． 9．已知22
16
z z +
是实数，求复数z 在复平面上所对应的点集的图形． 解：设()2i z a b a b =+∈R ，
， 则22222216161616i 11i i z a b a b z a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫+
=++=++-∈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
R ． 则0b =或2216a b +=．
设()i z x y x y =+∈R ，，2222i z x y xy =-+．
则20xy =或()
()2
23216x y xy -+=，得出：0x =或0y =或224x y +=（x y ，不同时为0）． 10．设复数()i z x y x y =+∈R ，在复平面上所对应的点是Z ，画出满足下列条件的点Z 的集合所表示的区域：
（1）Re 0z >．（2）Re 40Im 2z z <<，≤．（3）2Re Im 2z z z +=，
≤． 解：（1）由于Re 0z >，
则点Z 位于虚轴（y 轴）的右侧，点Z 的集合表示由虚轴右侧所有点构成的半平面，见下图．
第10题（1）图
（2）则Re 40Im 2z z <<，
≤． 则点Z 的集合表示由直线42x y =±=±，围成的矩形，如下图，包括边界AD BC ，，但不包括边界AB CD ，，以及矩形内的实轴部分．
第10题（2）图
（3）由于2z ≤，则点Z 在该以原点为圆心2为半径的圆上以及该圆内部．而Re Im 2z z +=，即2x y +=，它表示一条直线，过点()()0220A B ，
，，． 则点Z 的集合表示过点()()0220A B ，
，，的直线被圆面2z ≤所截得的线段（包括端点A B ，）
． 第10题（3）图
0)
11．已知两个复数集：
(){}
2|4i M z z t t t ==+-∈R
，及
(){}|2cos 3sin i N z z θλθλθ==++∈∈R R ，，的交集为非空集合，求λ的取值范围．
解：2
22cos 734sin 3sin 31643sin t t θλθθλθ=⎧-⎡⎤⇒=-∈⎨⎢⎥-=+⎣⎦⎩
，． 12．复数()()
3
1i i 1i
a b z ++=
-且4z z =，对应的点在第一象限，若复数0z z ，
，对应的点是正三
角形的三个顶点，求实数a b ，的值．
解：()22i 04z a b a b z =--<==，
， 复数0z z ，，对应的点是三角形的三个顶点，得b =
．
联立2
b ⎧⎪=
，求得1a b ==-． 13．已知复数1z 在11z =的条件下变动，而421120092010i 12z z z --=+-，则复数z 对应点的形成的区域图形的面积是__________．
解：z 对应的形成的区域图形是一个以点()20092010，为圆心，4为半径的圆面，其面积为16π．
14．关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z 、2z 、m 均是复数，且21241620i z z -=+．设
这个方程的两个根为αβ-=m 的最大值和最小值． 解：由韦达定理可知：12z z m αβαβ+=--=+，．
()()2
2
2
2122844416420i z z m m αβαβαβαβ=-=-=+-=--=-+ 45i 7m -+=．
设()i m x y x y =+∈R ，，带入可得：()()22
4549x y -++=． m 的几何意义为圆()()2
2
4549x y -++=上的点到原点的距离问题．
因此，m
7m ，
的最小值是7．
15．设复数z 满足5z =，且()34i z +
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)m m =∈R ，求z 和m 的值．
解：设()i z x y x y =+∈R ，，则()()()()34i 34i i 3443i z x y x y x y +=++=-++
联立22
725x y z x y =⎧⇒=⎨+=⎩
．
17i =+
时，有17i m +-=()2
21750m -+=，得0.2m =．
()17i =-+时，同理可得02m =-，．
16．设a 为实数，且存在复数z
满足z
和z a +<，求a 的取值范围． 解：2a >．
17．设z 是复数，则111z z z -+-+-的最小值等于__________．
解：提示：在复平面上，设()()()101001A B C -，
，，，，，则当Z 为ABC △的费马点时，取
最小值．
18．在复平面上有两个动点W 和Z ，它们分别对应于复数w 与z ，且满足i 2w z =+，当Z 沿
曲线11z z -++=运动时，求w 的最值．
解：当Z 沿曲线11z z -++=运动时，Z 的轨迹方程为2
212x y +=．
设Z 的坐标为
)
sin θθ，，即isin z θθ=+，则sin 2i w θθ=-++．
()()2
2
2
2sin 22cos sin 210w θθθ=-++=-++，则w 的最小值是1，最大值是3．
19．已知P 为直线10x y -+=上的动点，以OP 为边作正OPQ △（O P Q ，，按顺时针方向排
列），则点Q 的轨迹方程为__________． 解：设Q 的直角坐标为（x y ，），对应复平面的复数为i z x y =+．
则()ππ11i cos isin i 3322p z x y x y y ⎫⎛
⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
．
对应的P 的直角坐标为1122x y y ⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，带入到方程10x y -+=中，可得
1y =
． 11.5 复数的三角形式与运算
1．下列复数是不是复数的三角形式？ ①1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭．②1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．③13π3πsin icos 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭．④7π7πcos isin 55+． 解：由复数的三角形式定义可知，④是．
2．（1）计算：ππππ2cos isin 3cos isin 991818⎛
⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
（2）已知
A 、
B 、
C 是ABC △的三个内角，三个复数
121cos2isin 21cos2isin 2z A A z B B
=-+=-+，，
31cos21sin 2z C C
=-+，试求
123
sin 2sin 2sin 2z z z A B C
⋅⋅++的值．
解：（1）原式ππππ6cos isin 3i 918918⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦．
（2）转化为三角形式
()21ππ2sin i2sin cos 2sin sin icos 2sin cos isin 22z A A A A A A A A A ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+=+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
同理：2ππ2sin cos isin 2
2z B B B ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
3ππ2sin cos isin 2
2z C C C ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
则1233π3π8sin sin sin cos πisin π8isin sin sin 2
2z z z A B C A B C ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
()()()()()
sin 2sin 2sin 22sin cos 2sin cos 2sin cos cos A B C A B A B C C C A B A B ++=+-+=--+
4sin sin sin A B C =．
原式2i =．
3．若复数()1cos i 1sin z αα=+-和21i z =+在复平面上的对应点的距离为1，求复数1z 的模与辐角主值．
解：()()2
2
1
cos 1sin 1cos 2
ααα-+-=⇒=．
11i 12z ⎛=
+ ⎝⎭
，
115z θ=︒． 4．已知复数z 满足2z =，()π
arg 23
z +=，求z ． 解：设()i z x y x y =+∈R ，， 22i z x y +=++． 22πtan 324y x x y ⎧
=
⎪+⎨
⎪+=⎩
1x =-或2-（舍），
1z =-．
5．有一个人在草原上散步，开始时从O 点出发，向东行走，每走1千米后，便向左转π
6
角度，他走过n 千米后，首次回到原出发点，则n =__________．
解：方法一：由正十二边形可知：12n =
方法二：由几何意义可知，记1ππ
1cos isin 66
z q ==+，，
则()11ππππ1cos isin 1cos isin
6666...10ππππ1cos isin 1cos isin 6666n
n n n n z z q q -⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+++===⎛⎫⎛
⎫-+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭．
()*π1cos 0π6
2π1212π6sin 0
6n n k n k k n n ⎧-=⎪⎪⇒=⇒=∈=⎨
⎪=⎪⎩
N ，． 6．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为1220
...z z z ，，，，则复数1995199519951220
...z z z ，，，所对应的不同点的个数是__________． 解：可设：1cos isin z θθ=+， 2π2πcos isin 1010z θθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
…
2019π19πcos isin 1010z θθ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()()1995
1cos 1995isin 1995z θθ=+，
19952ππcos 19951995isin 199519951010z θθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
1995
32π2πcos 19951995isin 199519951010z θθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
…
19952019π19πcos 19951995isin 199519951010z θθ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1995199519951995
15917...z z z z ====
199519951995199526
1018...z z z z ==== 由此可知，
199519951995199537
1119...z z z z ==== 1995199519951995481220...z z z z ====
所以表示四个不同的点．
7．已知1i z =+，（1）设2
34z z ω=+-，求ω的三角形式．（2）如果221i 1
z az b z z ++=--+，求实
数a b ，的值．
解：（1
）5π5π1i cos isin 44ωω⎫=--⇒+⎪⎭．
（2）()()2221i 1i 2i 1i 121i
i a b z az b a b a a b z z +++++==-⇒+++=+⇒=-=-+，．
8．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123Z Z Z O ，，，（O 为原点），
已知2Z
对应复数21z =，求点1Z 和点3Z 所对应的复数．
解：12ππππππcos isin 2cos isin cos isin 443344z z ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
ππcos isin 1212⎫=+⎪⎭．
32ππππππcos isin 2cos isin cos isin 24433244z z ⎤⎛⎫⎤=⋅
+=⋅+⋅+ ⎪⎥⎥⎣⎦⎝
⎭⎣⎦
7π7πcos isin 1212⎫=+=⎪⎭
．
9
．方程71z =-的7个根在复平面上对应的7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是__________．
解：72π2π12cos isin 33z ⎛
⎫=-=+ ⎪⎝
⎭．
由复数的平方，得7
个复数方根为)cos isin k k k z θθ=+，
其中2π
2π3...01267k k k θ+
=
=，，，，，容易得只有426π21
θ=是第三象限的角．
10．若复数12z z ，满足12z z =，且122i z z -=-，则12
12
z z z z 的值为__________． 解：设()()12cos isin cos isin z r z ααββ=+=+，， 则
()()12
12
cos isin z z z z αβαβ=+++． ()()122sin sin 2cos cos 2222i tan 22sin sin 12cos sin 1
22
r r z z r r αβαβαβαβαβαβαβ+-⎧-=⎪⎧-=+⎪⎪-=-⇒⇒⇒=⎨⎨+--=-⎪⎪⎩=-⎪⎩．
由万能置换公式可知：()()2
22
2tan
1tan 4322sin cos 551tan 1tan 22αβ
αβ
αβαβαβαβ++-+=
=+=
=-++++，， 得到：
121234
i 55
z z z z =-+． 11
．设复数1i z =+，复数2z 满足22z =，已知2
12z z ⋅的对应点在虚轴的负半轴上，且
()2arg 0πz ∈，，求2z 的代数形式．
解：设()22cos 2isin 0πz ααα=+∈，
，，
)()()
2
12
ππ
i4cos2isin38cos isin cos2isin2
66
z zαααα
⎛⎫
⋅=⋅+=++
⎪
⎝⎭
ππ
8cos2isin2
66
αα
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=+++
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
．
则
π5π
2π
612
αα
+=⇒=
，则
2
5π5π
2cos i2sin
1212
z=+⋅=．
12．已知
12
1i
2i0
z z z z
i
-+
=--⋅=
，，
2
7π
arg
12
z=，若
12
z z
，在复平面上分别对应点A B
，，
且AB=
1
z的立方根．
解：
1i
2i1i
i
z
-+
=-=-．
设
2
7π7π
cos i sin
1212
z r
⎡⎤
=+⋅
⎢⎥
⎣⎦
．
则(
)
12
7π7πππ7π7π
1i cos i sin cos isin cos i sin
1212441212 z zz r r
⎡⎤⎫⎡⎤
==++⋅=++⋅
⎪
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎭⎣⎦
5π5π
cos isin
66
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
．
12
5π5π7π7π
cos isin cos isin i
661212
z z r
⎛⎫⎡⎤
-+-+=+
⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
，
121
5π5π
2cos isin
66
z z r r z
⎛⎫
-====+
⎪
⎝⎭
，
5π5π
2π2π
66
cos isin012
33
k k
k
⎡⎤
++⎥
+=
⎥
⎥
⎣⎦
，，，．
1
z
5517172929
cosπisinπcosπisinπcosπisinπ
181818181818
⎫⎫⎫
+++
⎪⎪⎪
⎭⎭⎭
．13．已知k是实数，ω是非零复数，且满足()()
22
3
argπ11i1
4
k
ωωω
=+++=+
，．
（1）求ω的值．（2）设[]
cos isin02π
zθθθ
=+∈
，，
，若1
zω
-=+θ的值．
解：（1）设
3π3π
cos isin
44
r
ω⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
．
()(
)
22
11i12
k k r
ωω
+++=+⇒=，
则1i
ω=-+．
（2）(
)
cos1i sin11
z z
ωθθω
-=++--=+
，
π7π
2cos2sin cos1
44
θθθθ
⎛⎫
-=+=⇒=
⎪
⎝⎭
．
14．已知()()44π5arg 1arg 1π36
z z +=
-=，，求复数z ． 解：22
π2ππ2π33cos isin 012344
k k z k ++=+=，，，，．
15．已知复数12z z ，满足2112z z z z =，且123ππ7
arg arg arg π368
z z z ===，，，则求123arg z z z +的值．
解：()121233π711arg arg πarg π488
z z z z z z ++=
=⇒=，． 16．设A B C ，，为ABC △
的三内角，复数icos 22A B A B z z +-=+，，求C 的最大值． 解：
()()22913sin cos 13cos 5cos 5522
A B A B
A B A B +-=+⇒+=-． ()55
cos cos 1313
C A B =-
--≥． C 的最大值为5
πarccos
13
-． 17．求证：()()11ππ2π
...sin sin sin 22
n n n n n n n --⋅⋅⋅=≥．
解：构造法解题．
设1是21n x =的次单位根为：2π2π
cos
isin
22n n
ω=+， 则()21242...1n n ωωωω-，
，，，，都是其根． 由()()
()
(
)
2122222...111n n n x x x
x
x ---=-++++
()()()
(
)()
()222122222
...1n n x x x x ωω
ω
--=----．
则()
()
()()
()()
()2122222122222
......1n n n n x
x
x x x x
ωω
ω
----++++=---．
取1x =，则()()()()(
)
22221
...111n n n ωωω-----=．
22π2ππ1
cos isin sin 222i 2i k k k k
k n n n ωωωωω---=+⇒==
． ()1ππ2π
...sin sin sin n n n n -⋅⋅⋅ ()()
()()
()()22212
...1
1231
(111)
2i n n n n ωω
ω
ω---+++
+----=
()()
(
)()
(
)()
22212
1
1
2 (111)
2i n n n n n ω
ω
ω
ω-------=
⎛⎫ ⎪⎝⎭
()()
(
)()
(
)()
21212
1
1 (111)
21n n n n ω
ω
ω
-------=
-
()()()()()2221
2
1
1
(1112)
4n n n n n ωωω-------==
．
18
．设复数)
122i 1i z a z b =+=-+，的模相等，且21π
arg
2
z z =，求实数a b ，的值．
解：1221i z z z z a b ==⋅⇒=，． 19．若12cos x x θ+=，求证：1
2cos n n x n x
θ+=．
证明：由已知解得cos isin x θθ=±，则
cos isin cos isin cos isin cos isin n n x n n x n n θθθθθθθθ=±=+±=±=-±，
由于1n n x x =，则1n n x x =
，则12cos n
n
x n x θ+=． 20．设复数3cos 2isin z θθ=+，求函数πarg 02y z θθ⎛
⎫=-<< ⎪⎝
⎭的最大值以及对应的θ值．
解：()2sin 2
tan arg tan 3cos 3
z θθθ==．
(
)22
tan tan 13tan arg 231tan 2tan 3tan z θθ
θθθθ
--===
++
当θ=时，y
取最大值 21．已知复数()3
1i 1i z =-，（1）求1arg z 及1z ．（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值． 解：（1）()(
)3
1i 1i i 1i 2i 22i z ⎫=-=-=-+=+⎪⎪⎭
．
117π
arg 4
z z =
=， （2）由几何意义可知：1z z -
的最大值为1．
11.6 复数乘除法的几何意义
1
．复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为122，，求第三个顶点所
表示的复数．
解：设第三个顶点所表示的复数为z ，
则1ππ22cos isin 233z ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或1ππ22cos isin 233z ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎝⎭，
解得第三个顶点所表示的复数z 为2或
12． 2．已知向量OZ 所表示的复数z 满足()2i 1i z -=+，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4
得
OZ '，设OZ '所表示的复数为z '，求复数z '+的辐角主值．
解：1i
23i i
z +=
+=-，
())())ππ
3i cos isin 3i 1i 12i 442z ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫'=--+-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
)()
7
1i arg π4
z z ''-⇒=．
3．设i z a ω=+，其中a ∈R ，i 是虚数单位，()()14i 1i 24i 34i
z -+++=+，且ωω的
辐角主值θ的取值范围． 解：()()()14i 1i 24i
1i 11i 34i
z a ω-+++=
=-⇒=+-+，
02a ω≤≤，
[]π7πtan 11102π44a θθ⎡⎤⎡⎤
=-∈-⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，，∪．
4．已知复数1212z z z z +，，在复平面上分别对应点A B C O ，，，为复平面的原点．
（1）若11
i 2
z =
+，向量OA 逆时针旋转90︒，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ．
（2）若()12122i z z z z -=+，试判断四边形OACB 的形状．
解：（1）1221ππ2i cos isin 1222z z z ⎫⎛⎫+=+=-⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
． （2）1221212i 34i
12i 5
z z z z z +-+=
=⇒=-，显然为菱形． 5．已知复数1z 、2z 分别对应复平面上的点12Z Z ，，且12z z ，满足条件：
()211212i 10z az a z z z z +=-∈++-=R ，．
（1）当a 为何值时，12Z OZ △的面积取得最大值？并求出这个最大值． （2）当12Z OZ △面积取得最大值时，求动点1Z 的轨迹．
解：（1）12121111010z z z z z a z ++-=⇒+=．
1z
，则212sin 1z Z OZ =
=∠．
(
)
(
)
(12122
2
2
15050
50
253221Z OZ a
S z z a =
==
=-⎛+++△≤
．
当1a =时，12Z OZ △
的面积取得最大值为(253-． （2
）(152z =
=
，轨迹是以原点为圆心，(52为半径的圆．
6
．设121212w z w z z w z z z =-+=-=+，，，，对应复平面上的点A B ，，点O 为原点，
90AOB AO BO =︒=，∠，则OAB △面积是__________．
解：12z z w z w z =⇒-=+，
12π
12
AOB z z w z =
⇒=±⇒==∠，
则AO BO w z ==+=，则OAB △面积是1．
7．复平面上，非零复数12Z Z ，对应的点12z z ，在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，12z z ⋅的实部为零，1z 的辐角主值为
π
6
，则2z =__________． 解：()(
)2211111i i 21
2x y x z x y x y z y y ⎧⎧+-==⎪⎪⎪=+∈⇒⇒=+⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩R ，，，． ()2i z a b a b =+∈R ，．
1211i 22z z b a ⎫
⋅=
++-⎪⎪⎝⎭
，
(
)2
22103i 223112
a b z b a b ⎧=⎪+=⎪⇒⇒=+⎨⎨⎪⎪=
+-=⎩⎪⎩． 8．复数列{}n a
的通项公式为()1
*11cos πisin π66n n n n a n ---⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭⎝⎭
N ． （1）将数列{}n a 的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆221
16
x y +=
内部．
（2）将数列{}n a 中的实数项按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的通项以及所有项的和．
解：（1）设数列{}n a 在复平面上对应点的坐标为(){}n n x y ，，则
1
1
1
1
cos πsin
π66
n n n n n n x y ----==⎝⎭
⎝⎭
，， 要使得点落在圆221
16
x y +=
的内部，则
2
2
11
111
πsin π6616n n n n --⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+<⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 则1
4
1122n -⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
；则5n >． 即从第六项起，以后所有各项对应的点都落在圆的内部． （2）要使数列{}n a 中的项为实数，则
1
1
sin
π06
n n --=⎝⎭
，则()
*65n k k =-∈N ． 则数列{}n b
的通项为：()66
65
cos 1πn n n b a n --==-⎝⎭
．
则()6
111cos π1
1cos 1π8n n b n b a b n +=⋅=-==-⎝⎭
，． 则数列{}n b 为首项为1，公比为1
8-的无穷递缩等比数列．
则数列{}n b 的所有项的和为：118
119
18
b S q =
==-+． 11.7 复数集内的方程
1．在复数范围内分解因式2258x x -+．
解：22580x x x x -+=⇒=
=
22582x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭
． 2．已知方程5432355420x x x x x ---+-=有两个根是1，i ，求方程的其他根． 解：实系数方程的虚根成对出现，则i -也是根．
()()()543223554211x x x x x x x f x ---+-=-+．
利用待定系数法或长除法得：()222f x x x =-+． 方程的其他的根为i 1i 1i -+-，，．
3．求实数k 的值，使方程()22i 2i 0x k x k ++++=至少有一个实根．
解：设实根为0x ，则()2
0022i 0x kx k x ++++=．
则2
200020
820
x kx k k k x ⎧++=⎪⇒==±⎨
+=⎪⎩， 4．设λ∈R ，若二次方程()()21i i 1i 0x x λλ-++++=有两个虚根，求λ需满足的充要的条件．
解：若方程有实根，则方程组2
210
x x x x λλ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩有实数解，由方程组得：()110x λλ+++=．
若1λ=-，则2
210
10x x x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
无实根，矛盾．
则11x λ≠-=-，，此时2λ=． 方程有两个虚根的充要条件为2λ≠． 5．在复数范围内解方程()
2
3i
i 2i
z z z -++=+（i 为虚数单位）． 解：
原方程的解是12z =-±．
6．已知复数w 满足()432i w w -=-（i 为虚数单位），5
2z w w
=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程． 解：43i 2i 12i w +=
=-+，则5
23i z w w
=+-=+，则方程另外一个根为3i -． 所求的一个一元二次方程可以是26100x x -+=．
7．已知关于t 的方程220t t a -+=
的一个根为()1a ∈R ， （1）求方程的另一个根及实数a 的值．
（2）是否存在实数m ，使对x ∈R 时，不等式()
22log 22a x a m km k +-+≥对[]12k ∈-，恒成立？若存在，试求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：（1
）另一根为(
)()
1114a =+⋅=，．
（2）设存在实数，对x ∈R 时，不等式()
224log 422x m km k +-+≥对[]12k ∈-，恒成立， 由于()
24log 4x +的最小值为1，则不等式2122m km k -+≥对[]12k ∈-，恒成立． 即：()22110m k m -+-≤对[]12k ∈-，，设()()2211g k m k m =-+-，
则()()2
2
123012430
g m m m g m m ⎧-=+-⎪⇒=⎨=-+⎪⎩≤≤． 存在1m =满足条件．
8．设复数()
()224sin 12cos i z a θθ=-++，其中i 为虚数单位，a 为实数，()0πθ∈，．若z 是方程2250x x -+=的一个根，且z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a 的值． 解：225012i x x z -+=⇒=+，得到：()
()224sin 12cos i 12i a θθ-++=+， 则2221πcos 4sin 12312cos 224a a a θθθθ⎧⎧=⎧=
-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⎩⎪⎪=±=⎩⎩
．
9．已知αβ，是关于x 的方程()220x x m m ++=∈R 的两个根，求αβ+的值． 解：
分实根与虚根讨论，()
(
)()
02
011m m m αβ⎧<⎪⎪
+=⎨⎪>⎪⎩≤≤． 10．已知关于x 的实系数方程()222440x ax a a a -+-+=∈R 的两根分别为12x x ，，且123x x +=，求a 的值．
解：分实根与虚根讨论，
2
121
212044023x x a a x x x x a ∆⎧⎪=-+⎨⎪+=+==⎩≥≥或22
12109444x x a a x ∆<⎧⎪⎨=-+==⎪⎩． 解得：31
22
a =
，． 11．设复数列{}n x 满足10n x a ≠-，，且11
n
n n ax x x +=+．若对任意*n ∈N 都有3n n x x +=，求a 的值．
解：由11
n
n n ax x x +=+，()()2321322111111n n n n n n n n ax a x a x x x x a x a a x +++++=
===++++++ 恒成立，即()
()2110n n a a x x a +++-=．因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，
所以12a =-±．
12．已知α、β为方程()()22i 43i 0x x --++=的根，求： （1）22αβ+．（2）33αβ+．（3）
1
1
α
β
+
．
解：由韦达定理可知：2i 43i αβαβ+=-=+，．
（1）()()()2
2
2222i 243i 510i αβαβαβ+=+-=--+=--．
（2）()()
()()()()33222i 510i 43i 2i 913i 3117i αβαβαβαβ+=++-=-----=---=--． （3）
1
1
2i 12
i 55
αβα
β
αβαβ+-+
=
==-． 13．已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=． （1）如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根．
（2）试证无论θ取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．
解：（1）设方程有一个实根为0x ，则()()2
0tan i i 20x x θ-+-+=， ()2
200
000000πtan 1tan 20tan 21i 041101
x x x x x x x x θθθθ⎧⎧==--=⎧⎪⎪---+=⇒⇒⇒⎨⎨⎨=-+=⎪⎩⎩⎪=-⎩．
（2）设方程有一个纯虚数根为()i 0m m m ∈≠R ，，则()()()2
i tan i i i 20m m θ-+⋅-+=， 则()22
20
2tan 1i 0tan 10m m m m m m θθ⎧-+=-+--+=⇒⎨+=⎩
因为220m m -+=无实数解，则无论θ取任何实数，此方程不可能有纯虚数根． 14．设虚数12z z ，满足212z z =．
（1）若12z z ，是一个实系数一元二次方程的两个根，求12z z ，．
（2）若11i z m =+（i 为虚数单位）
，1z ，复数23z ω=+，求ω的取值范围．
解：（1）21z z =，则223
11111111z z z z z z z z z ==⇒=⇒=⋅=，
3
1111z z z =⇒=
，得出311112z z =⇒=-，
121122z z =-=-，
或121122z z =-=-+，．
（2
）2101z m <≤，
22221212i 342i z z m m z m m ω==-+⇒=+=-+，
4ω⎤=
⎦．
15．对任意一个非零复数z ，定义集合{}
21*|n z M z n ωω-==∈N ，． （1）设
α是方程1
x x
+
的一个根，试用列举法表示集合M α．
（2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．
解：（1
）
)
)
))1i 1i 1i 1i M α⎧⎫⎪⎪=++--+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，．
（2）略． 16．定义数列{}n a ：12a a ，是方程2i 10z z +-=的两根，且当2n ≥时，有
()()2
11
11i 20n n n n n n a
a
a a a a +-+--++-=，求证：对一切自然数n ，有
222
121122n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=++．
证明：由方程2i 10z z +-=
，解得i z w ==或2i w ． 不妨设212i i a w a w ==，
，由递推关系得 2
2211112i i i i i n n n n n n a a a a a a +-+-++=+++，
即()()()2
11i i i n n n a a a +-+=++．
若存在某个n ∈N ，使i 0n a +=，则可由上式经过有限次倒退，得2i 0a +=，这与2i a w =矛盾，所以，对一切自然数n ，i 0n a +≠． 则
()()
()121211i 1i +i i ...i i i i i i 1n n n n n n w a a a w a w a a a a w ++-+++=====∴==+++++，． 由此可得()()
1211i i i i i i i n n n n a a w w w w --=-++=-++=--．
因为31w =，则()31n n a a n +=≥，即数列{}n a 是以3为周期得纯周期数列，注意到n ，12n n ++，恰好是一个周期长．而32i a =-．故对一切自然数n ，有
()22222242212123443n n n a a a a a a w w w w ++++=++=---=-+-=-．
而211221223311223n n n n n n a a a a a a a a a a a a w w ++++++=++=-++=-．
所以对一切自然数n ，有222
121122n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=++．
11.8 复数的综合应用
1．实数m 取什么值时，复数()
()2223i 1
m m z m m m -=
++--，
（1）是实数，（2）是纯虚数，（3）z 对应的点位于第二象限．（4）z 对应的点在直线30
x y ++=上．
解：（1）2230
310
x m m m ⎧+-=⇒=-⎨
-≠⎩． （2）()
220021
230m m m m m m m -⎧=⎪
⇒==-⎨⎪+-≠⎩
，． （3）()
()()2201231
230m m m m m m -⎧<⎪
⇒∈-∞--⎨⎪+->⎩
，，∪． （4）
()
()2223301
m m m m m -++-+=-，得出：0m =
或1m =-
2．416x -分解成一次式的乘积为____________________．
解：()()()()222i 2i x x x x -+-+．
3．34i 2z ++≤，则z 的最大值为__________．
解：z 的轨迹为（34--，）为圆心，半径为2的圆面，则最大值为7． 4．复数10
1i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭
的值是__________．
解：()10
101i i 11i -⎛⎫
=-= ⎪+⎝⎭
．
5．已知复数i z x y =+，其中实数x y ，满足方程()222ilog 81log i x y x y ++-=-，则z =__________．
解：()2222
28
2
i log 81log i log 1log x y
x y
x y x y ++⎧=⎪+-=-⇒⎨=-⎪⎩
()()()3
122112i 2i 2
x y x y z xy +=⎧⇒⇒=⇒=++⎨=⎩，，，，，． 6．已知1z ∈C ，且1i 216z z -+++=，则在复平面内z 对应的点的轨迹是__________． 解：利用椭圆第一定义可知，点的轨迹是椭圆．
7．复数()1231i i 0z z a b z b a a b ==+=+>∈R ，，，
，且123z z z ，，成等比数列，则2z =__________．
解：(
)
2
2
2
2
2132
1i i i 2212
a a
b b z z z a b b a z ab a b ⎧=⎪⎧-=⎪=⇒+=+⇒⇒⇒=+⎨⎨=⎩⎪=
⎪⎩． 8．复数z
满足11z z -++=，那么z 的取值范围是__________．
解：利用椭圆第一定义可知，z 表示以（10，），（10-，
的椭圆． 椭圆的方程为22
15144
x y +
=
，则12z ⎡∈⎢⎣⎦． 9．已知函数
()2
2
1x f x x =
+，那么
()()()()11112i 3i 4i 2i 3i 4i f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
++++
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
__________． 解：可证()2
2222
22
111i 11i 1111m m m f m f m m m
m m -
---⎛⎫+=+=+= ⎪---⎝⎭-． ()()()()111712i 3i 4i 2i 3i 4i 2
f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫++++
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭． 10．复数z 满足i i 2z z ++-=，则i+1z +的最小值是__________．
解：复数z 的轨迹是()011x y =-≤≤，则由几何意义可知：i 1z ++的最小值为1． 11．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A B ，所对应的复数分别为1212
z z z z ，，，的辐角主值分别为αβ，，若AOB △的重心G 对应的复数为11
i 315
+，求()tan αβ+．
解：cos cos 12cos
cos 11
22
tan 1125
sin sin 2sin cos 5225αβαβαβαβαβαβαβ+-⎧
+==⎧⎪+⎪⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪+-+=⎝⎭⎪⎪=⎩
⎪⎩
()22tan 52tan 12
1tan 2αβαβαβ+⎛⎫
⎪⎝⎭⇒+==+⎛⎫- ⎪
⎝⎭．
12．设非零复数12345a a a a a ，
，，，满足 35
241
23412345
12345111114a a a a a a a a a a a a a S a a a a a ⎧===⎪⎪⎨
⎛⎫⎪++++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎩
，
，。