中考数学八年级下册北师大版 第四章 因式分解 B素养拓展区

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一、选择题
1.[2020重庆南岸区期末]把2ax2+4ax进行因式分解,提取的公因式是 ( )
A.2a
B.2x
C.ax
D.2ax
答案
1.D
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2.下列因式分解正确的是 ( ) A.-2a2+4a=-2a(a+2) B.3ax2-6axy+3ay2=3a(x-y)2 C.2x2+3x3+x=x(2x+3x2) D.x2+2xy-y2=(x-y)2
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4.当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能 ( ) A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除
答案
4.D 【解析】 (n+1)2-(n-3)2=(n+1+n-3)(n+1-n+3)=4(2n-2)=8(n-1),∴一定能被8整除.故选D.
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2.观察下列各式的变形过程:
x2+5x+6=(x+2)(x+3),其中2+3=5,2×3=6;
x2+7x+12=(x+3)(x+4),其中3+4=7,3×4=12;
x2-4x+3=(x-1)(x-3),其中(-1)+(-3)=-4,(-1)×(-3)=3;
⋯⋯
请用你发现的规律因式分解:
5.有若干张面积分别为a2,b2,ab的正方形和长方形纸片,小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片、6张面积为ab的
长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为a2的正方形纸片 ( )
A.6张
B.9张
C.10张
D.12张
答案
5.B 【解析】 设他还需要抽取面积为a2的正方形纸片k张.因为要拼成正方形,所以b2+6ab+ka2是完全平方式.因为 (b+3a)2=b2+6ab+9a2,所以k=9,所以他还需要抽取面积为a2的正方形纸片9张.故选B.
(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=
.
(2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.
(3)证明:若n为整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
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答案
3.【解析】 (1)(x-y+1)2 (2)令a+b=A, 则(a+b)(a+b-4)+4 =A(A-4)+4 =A2-4A+4 =(A-2)2, 故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2. (3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n+2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2. ∵n为整数,∴n2+3n+1也为整数, ∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
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6.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足ab+bc=b2+ac,则△ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.不能确定
答案
6.C 【解析】 ∵ab+bc=b2+ac,∴ab-ac=b2-bc,即a(b-c)=b(b-c),∴(a-b)(b-c)=0,∴a=b或b=c,∴△ABC是等腰三角形. 故选C.
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1.先阅读,再因式分解. x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2).按照这种方法把下列多项式因式分解: (1)x4+64; (2)x4+x2y2+y4.
答案
1.【解析】 (1)x4+64 =x4+16x2+64-16x2 =(x2+8)2-(4x)2 =(x2+8+4x)(x2+8-4x). (2)x4+x2y2+y4 =x4+2x2y2+y4-x2y2 =(x2+y2)2-(xy)2 =(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).
答案
2.B 【解析】 A项,-2a2+4a=-2a(a-2),故此选项错误;B项,3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2,故此选项正确;C项, 2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1),故此选项错误;D项,x2+2xy-y2,无法运用完全平方公式分解因式,故此选项错误故选B.
第四章 因式分解
数学·八年级下册·北师
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因式分解是基本且重要的代数知识,是学习分式、函数等知识的基础,掌握因式分解的方法有利于形成合理的知 识结构,提高数学思维能力.第1题和第2题都是通过一些特殊方法来分解因式,要善于分析所给代数式的结构特征,通 过适当变形,将其转化为简单的问题来解决,在培养核心素养方面具有积极意义.第3题,利用整体思想分解因式,简化 了运算过程,培养了学生对整体思想的应用能力.
3.[利用整体思想分解因式]先阅读材料,再解答下列问题:
【材料】分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.
解:令x+y=A,
则(x+y)2+2(x+y)+1
=A2+2A+1
=(A+1)2,
故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.
上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
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二、填空题
7.计算:251202−0204082=
.
答案
7.5
【解析】
10 000
2522−2482
=
10 000
(252+248)(252−248)
=
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3.若a+b=-1,ab=-6,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ( )
A.6
B.8
C.-6
D.-8
答案
3.C 【解析】 ∵a+b=-1,ab=-6,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=(-6)×(-1)2=(-6)×1=-6.故选C.
(1)x2+6x+8;
(2)x2-2x-8.
答案
2.【解析】 (1)x2+6x+8=(x+2)(x+4). (2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).
名师点睛
这种分解因式的方法,实际就是逆用公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,运用这种方法的关键是寻找合适的p和q.
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