吉林省长春市十一高中09-10学年高三数学上学期期末考试(理)

长春市十一高中2009—2010学年度高三上学期期末考试数 学 试 题
（理科）
（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分150分．）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目
要求的． 1.已知复数z=i a a )1(++(R a ∈)是纯虚数，则2010z 的值为 （ ） A . 1- B . 1 C . i - D . i
2.下列命题错误．．
的是 （ ） A ．命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程2
0x x m +-=无实根，则0m ≤” B ．“1x =”是“2
320x x -+=”的充分不必要条件
C ．命题“若0xy =则,x y 中至少有一个为零”的否定是“若0xy ≠，则,x y 都不为零”
D ．对于命题:p R x ∃∈，使得2
10x x ++<；则p ⌝是:R x ∀∈，均有2
10x x ++≥ 3.右图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm ）画 出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字， 从图中可以得到这10位同学身高的中位数是 （ ）
A. 161cm
B. 162cm
C. 163cm
D. 164cm
4.已知离心率为e 的双曲线22
217
-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的
值为 （ ）
A ．34 B
C ．4
3 D
5．在等差数列}{n a 中，,9641272=++a a a 则1532a a +的值是 （ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定
6
．已知直线(1)l y k x =--：22
1x y +=相切，则直线l 的倾斜角为（ ）
A ．
6π B.2
π
C.23π
D.56π
7.设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数
'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为 （ ）
A ．4π
B ．2
π
C ．34π
D ．π
8. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的 等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是 （ ）
正视图
俯视图
侧视图
15 5 5 7 8 16 1 3 3 5 17 1 2
A ．
3
B ．1
2π C ．
3 D ．6
9.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的 部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图 如右图所示，则①处应填 （ ） A ．0.85y x =
B ．500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯
C ．0.53y x =
D ．500.530.85y x =⨯+
10．已知集合M ={1,2,3}，N ={1,2,3,4}，定义函数N M f →:.若点A (1,f (1))、B (2,)2(f )、
C (3,)3(f )，ΔABC 的外接圆圆心为
D ，且)(R DB DC DA ∈=+λλ,则满足条件的函数)(x f 有 （ ）
A. 6个
B. 10个
C. 12个
D. 16个
11．一种代币的游戏其规则如下：每回持有最多代币者须分给其它每一位参与游戏者一枚代币，并放一枚
代币于回收桶中， 当有一位游戏参与者没有代币时， 则游戏结束，假设A 、B 、C 三人玩此游戏，在游戏开始时分别持有15、14、13枚代币，游戏从开始到结束共进行了n 回 ，则n =（ ） A ．36 B ．37 C ．38 D ． 39 12．对任意的三个实数,,a b c ，其中b c ≠,
令(,,)a
q a b c b c
=
-．则
((1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))q q q q 的值是 （ ）
A ．12
-
B ．1
4
-
C ．0
D ．
14
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分 男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方
图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12．则抽取的男生人数
是 ．
0．0．
14.已知n
x )21(+的展开式中，所有项的系数之 和等于81，那么这个展开式中3x 的系数是__________.
15．已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥120
y x x y ，则z =(x+3)2+y 2的最小值为 ．
16．如图三同心圆, 其半径分别为3、2、1. 已知图中阴 影区域的面积是非阴影区域面积的8
13
． 则两直线所夹锐角的弧度为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3
1cos =
A . 若2=a ，2
3
=
c ，求∠C 和ΔABC 的面积. 18．（本小题满分12分）
射手甲
射手乙
环数 8 9 10 环数 8 9 10
概率
13 13 13
概率
13 12 16
（Ⅰ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率； （Ⅱ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在边长为12的正方形A 1 AA′A 1′中，点B 、C 在线段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ；将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A′A 1′ 与AA 1重合，构成如图所示的三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；
（Ⅱ）求面APQ 将三棱柱ABC —A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比； （Ⅲ）求面PQA 与面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆2
22:1(1)+=>x C y a a
的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆
:M 226270+--+=x y x y 相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相 交于P 、Q 两点，且0,⋅=AP AQ 求证：直 线l 过定点，并求出该定点N 的坐标． 21.（本小题满分12分）
已知函数x x x f ln )(=
，)(228
3)(2
x xf x x x g ++-=. （Ⅰ）求函数)(x g y =的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x g y =在[))(,Z m e m
∈+∞上有零点，求m 的最大值；
选考题：（本小题满分10分）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. 选修4－1：几何证明选讲（本小题10分）
如图，ABC 内接于⊙O ，AB ⊥CD 于D ，E 在⊙O 上，AE 交CD 于G ，
求证：AC 2=AG·AE ．
23.选修4－4：坐标系与参数方程（本小题10分） 已知某条曲线C 的参数方程为2
12x t
y at
=+⎧⎨
=⎩（其中t 是参数，a ∈R ），点M （5，4）在该曲线上 （1）求常数a ；（2）求曲线C 的普通方程． 24.选修4-5不等式选讲（本小题10分）
x
O
y
A
Q
l
F
P
A 1
B 1
C 1
A ′1
A ′ A
B
C P
Q
A
B
C
A 1
B 1
C 1
Q
P
设函数f (x )= ｜2x +1｜-｜x -4｜. （1）解不等式f (x)＞2； （2）求函数y = f (x)的最小值．
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. A
2. B
3.B
4.C
5.B
6.D
7.B
8.D
9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题（每小题4分，共20 分）
13． 48 14． 32 15． 2 16． 7
π 三、解答题（共6小题，共70分） 17．解：
1cos ,0sin 3A A A π=<<∴=
3,2,sin sin sin 220,2
4
a c a c C A C c
a C A C π
π
===∴=<∴<<<∴=
…………………………………5分
1sin sin()sin()sin cos cos sin ()
444233
A B C B A C A A A π
πππ
++=∴=+=+=+=+ =6
2
32+
∴4
2
1sin 21+
==
∆B ac S ABC 2()2cos sin 2cos 1f x x x x =-+ sin 2cos 2))4
x x x π
=-=- …………………………………10分
18．解 （Ⅰ）记事件;C 甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D ；甲命中2次10环，乙命中
1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C D +
12222
2222111517()()()336366162
P C D C C C ∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯=
…………6分 （Ⅱ）ξ的取值分别为16，17，18，19，20， …………………… 9分
11111115
(16),(17)33932331811111161
(18),
363233183
111142111
(19),(20)3632189361815121107
161718192091839186
P P P P P E ξξξξξξ==⨯===⨯+⨯=
==⨯+⨯+⨯====⨯+⨯====⨯=
∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
…12分
19. 解（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5
∵AC 2 = AB 2 + BC 2∴AB ⊥BC 又AB ⊥BB 1且BC ∩BB 1 = B
∴AB ⊥面BCC 1B 1 ……………………4分 （Ⅱ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7． ∴S 四边形BCQP =
()(37)4
2022
BC BP CQ ⋅++⨯==
∴V A —BCQP =1
3
×20×3 = 20又∵V 111
ABC A B C -=11
3412722
ABC
S
AA ⋅=
⨯⨯⨯=． ∴
72205213
20205
V V -===上下． …………………… 8分 （Ⅲ）如图，建立空间直角坐标系 则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
设面APQ 的法向量为m = (x ，y ，z) …………………… 9分
330
440x z y z -+=⎧⎨
+=⎩
⇒m = (1，–1，1) ……………………11分 而面ABC 的法向量可以取n = (0，0，1)
∴cos ,m n ==
……………………12分
20.解：（Ⅰ）将圆M 的一般方程2
2
6270x y x y +--+=化为标准方程
22(3)(1)3x y -+-=，圆M 的圆心为(3,1)M ,
半径r =由(0,1)A
,(,0)(F c c =得直线:1x
AF y c
+=,即0x cy c +-=,
由直线AF 与圆M 相切,
=,
c =
c =舍去).
当c =, 22
13a c =+=, 故椭圆C 的方程为22: 1.3
x C y +=…………4分 （Ⅱ）(解法一)由0,AP AQ ⋅=知AP AQ ⊥,从而直线AP 与坐标轴不垂直,
由(0,1)A 可设直线AP 的方程为1y kx =+，直线AQ 的方程为1
1(0)y x k k
=-+≠
将1y kx =+代入椭圆C 的方程2
213
x y +=并整理得: 22(13)60k x kx ++=, 解得0x =或2613k
x k =-+,因此P 的坐标为22266(,1)1313k k k k -
-+++,即222613(,)1313k k k k --++将上式中的k 换成1
k
-,得Q 22
263(,)33k k k k -++. 直线l 的方程为22
22222
22
31363313()6633313k k k k k k y x k k k k k k ----++=-++++
++ 化简得直线l 的方程为2
1
412--=x k k y ， 因此直线l 过定点1(0,)2
N -. ……………………12分 (解法二)1︒若直线l 存在斜率，则可设直线l 的方程为：(
y kx m =+(0,1),A l ∉∴)1m ≠，
代入椭圆C 的方程2
213
x y +=并整理得: 222(13)63(1)0k x mkx m +++-=, 由l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点，则,12x x 是上述关于x 的方程两个不相等的实数
解，从而2
2
2
2
2
(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
2121222
63(1)
,1313mk m x x x x k k -+=-=++
由0,AP AQ ⋅=得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
2
22
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：2210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知1
2
m =-
. 此时29(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点1(0,)2
N -.
2︒若直线l 不存在斜率，则可设直线l 的方程为：x m =((0,1),A l ∉∴)0m ≠，
将x m =代入椭圆C 的方程2213x y +=并整理得: 22
13
m y =-, 当2
3m ≥时, 20y ≤,直线l 与椭圆C 不相交于两点，这与直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点产生矛盾! 当2
03m <<时, 直线l 与椭圆C 相交于1(,)P m y 、2(,)Q m y 两点，12,y y 是关于y 的方程2
2
13
m y =-的
两个不相等实数解，从而2
12120, 1.3
m y y y y +==- 但2
2124(1)(1)03
AP AQ m y y m ⋅=+--=>,这与0AP AQ ⋅=产生矛盾!
因此直线l 过定点1
(0,)2
N -. ……………………12分
（注：对直线l 不存在斜率的情形，可不做证明.） 21．解：（Ⅰ）由题知：)(x g 的定义域为（0,+∞）
∵x x x x g 4)2)(23()(/
--=
∴函数)(x g 的单调递增区间为),2[32,0+∞⎥⎦
⎤
⎝⎛和
)(x g 的单调递减区间为]2,3
2
[ ……………………6分
(Ⅱ)∵)(x g 在x ∈),32
[+∞上的最小值为)2(g
且)2(g =021
4ln 212ln 2ln 242832>-=-=++-⨯
∴)(x g 在x ∈),3
2
[+∞上没有零点，
∴要想使函数)(x g 在),[+∞n
e （n ∈Z ）上有零点，并考虑到)(x g 在⎥⎦
⎤ ⎝⎛32,0单调递增且在]2,32[单调递减，
故只须3
2<n
e 且0)(≤n e
f 即可，
易验证=++-⋅=>+⋅-⋅=-----2
242121ln 22183)(,01283)(e e
e e g e e e g
0)21
83(122
<-⋅e
e ，当n ≤-2且n ∈Z 时均有0)(<n e g ， 即函数)(x g 在))(,[],[1Z n e e e n
n ∈+∞⊂-上有零点
∴n 的最大值为-2. ……………………12分。