【好题】高考数学试题(含答案)

【好题】高考数学试题(含答案)
一、选择题
1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆
的实
线部分上运动，且
总是平行于轴，则
周长的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16
C ．20
D ．24 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）
A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
5．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．32 6．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．26
D ．42
7．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
8．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
9．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．(22)-，
B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，
， C ．(22]-，
D ．(2]-∞，
10．已知函数()2cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D ．t 的值是3.15
12．若双曲线22
221x y a b
-=，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．y=
C ．1
2
y x =±
D ．y x = 二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________. 14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．
15．双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直
线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 16．已知点()0,1A ，抛物线()2
:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交
于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．
17．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．
18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C
c B B
+=+，C 是锐角，且27a =，1
cos 3
A =，则ABC △的面积为______． 20．34
3
31654
+log log 8145
-⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
________. 三、解答题
21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的极坐标方程为2
23sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；
（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t
l y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
(
)
5,0，离心率为5.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
23．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且
111
23m a b c
++=，求证239a b c ++≥ 24．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-
.
（1）求角A ；
（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.
25．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ，
DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．
⊥；
(1)求证：MD EF
-的体积．
(2)求三棱锥M EFD
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．
【详解】
抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，
圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），
与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，
∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，
∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，
∵1＜y B＜3，
∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】
由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
3．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
5．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ⋅==,故选B .
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
2
a b
+≤转化为指数运算即可求解。

【详解】
由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=（当且仅当3
2
a b ==等号成立） 故答案为：D 【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。

7．A
解析：A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．
故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】
∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()
2
·20a a b += 即a b =﹣2
∴向量b 在向量a 方向上的投影为·2
2
a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
9．C
解析：C
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2
(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2
20
4(
44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩ ， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 10．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为
()3sin 2cos 2f x x x m
=+-,令,则,所以此时函数即为
.令
有
,根据题意可知
在
上有两个解,
根据在函数图像可知,
.
考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
11．D
解析：D 【解析】 由题意，x =
3456
4
+++=4.5， ∵ˆy
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×
4.5+0.35=3.5， ∴t=4×
3.5﹣2.5﹣4﹣
4.5=3，
12．B
解析：B 【解析】
双曲线的离心率为22
3a b a
+=，渐进性方程为b y x a =±，计算得2b a =，故渐进性
方程为2y x =±.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
二、填空题
13．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边
解析：7
9
-
【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么
1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22
cos cos 3
βα=-=），
所以()2
2
2
7
cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.
14．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：1
2
-
【解析】 【详解】 因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即， 解得
，
故本题正确答案为
15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
解析：2 【解析】
试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为
y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以
22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当
，
，
时为椭圆，当
时为双曲线.
16．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准 2
【解析】
依题意可得焦点F 的坐标为04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =
13FM MN =∶∶ 22KN KM ∴=∶∶
又
014
04
FN K a a --=
=-， 22FN KN K KM
==-4
22a
-∴
=-2a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合
思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知
MF MK =，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，
进而求解实数a 的值
17．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令
解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为
24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径
=22
(2)10x y -+=.
【点睛】
本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16
【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理
解析：【解析】 【分析】 由
cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C
C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到
B C =或2
B C π
+=
，再根据1
cos 3
A =
可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求
出b c ==
【详解】
由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22
sin cos 2cos sin cos 2cos B C C
C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，
∴
sin cos sin cos B C
C B
=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角， ∴B C =或2
B C π
+=，
又1cos 3
A =
， ∴B C =，于是b c =．
由余弦定理得2
2
2
2cos ,a b c b A =+-
即(2
2222
3
b b b =+-，
解得b =，故c =
∴11sin 223
ABC S bc A ∆=
==
故答案为． 【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
20．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：
278
【解析】
试题分析：原式=3
4
4
332542727log log 134588
-
⎡
⎤
⎛⎫+⨯=+=
⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
考点：1.指对数运算性质.
三、解答题
21．（1
）P
，22(4x y ++=；（2
1-. 【解析】 【分析】
（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】
（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ
代入计算，36
P x π
===
，6P y π=
＝1
2
= ∴点P
的直角坐标(
，由2sin 1ρθ+=
，得221x y ++=，
即(2
24x y ++=，所以曲线C
的直角坐标方程为(2
24x y ++=
（2）曲线C
的参数方程为22x cos y sin θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参
数），得直线l 的普通方程为270x y --=.
设()
2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，那么点M 到直线l 的距离，
(
)11d θϕ-+
=
=
=
11
1≥
=，
所以点M 到直线l
1. 【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．
22．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
553a =⇒=，且有2235b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
2
2000094189360k
x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
， 化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()2
2
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思
想的灵活应用.
23．（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由条件可得()
2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]
-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭
利用基本不等式即可得结果. 【详解】
（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()
2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]
-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且1
11
123m a b c
++==， ∴()11
1232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++
⎪⎝⎭
23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c
=+
+++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b
a a
b b
c c
=
=====时，等号成立．
所以239a b c ++≥. 【点睛】
本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
24．（1）4
A π
=；（2
【解析】 【分析】
（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2）根据
()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理
即可得结果. 【详解】
（1）∵cos C =，∴sin 5C ===
.
由正弦定理sin sin a c A C
=，即sin A =
.
得sin A =
cos 0C =<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4
A π
=
.
（2）∵()B A C π=-+，
∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=
+⎛=
+= ⎝⎭
. 由正弦定理得sin sin b a B A
=
=
得b = 在ACD ∆中由余弦定理得：
2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅
⋅242222
=+-⨯
=
，∴CD =. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
25．（1）见解析；（2）13
【解析】 【分析】
（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得
MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结
合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】 （1）证明：
在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，
∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，
MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；
（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，
11
1122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=，
由（1）知，1111
23323
M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．。