师范实中2008届高三级第二次月考数学试卷

师范实中2008届高三级第一学期第二次月考
数学（文科）试卷
（本试卷分满分150分，考试时间120分钟）
班级 姓名 座号
一、选择题（每小题5分，共50分，把答案填在答题卷的相应位置上）
1、设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A =，{2,3,5}B =，则()U A B ð等于（ ）
A 、{1,2,4}
B 、{4}
C 、{3,5}
D 、∅
2、在下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A
、1y x y =-=与 B
、y y =
=
C 、2100
x
y lg x y lg =-=与 D 、242y lg x y lg x ==与
3、已知函数()f x =cos (0)(1)1(0)x
x f x x <⎧⎨-+≥⎩
π，则
13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
( )
A 、2
3-
B 、
2
3 C 、2
1-
D 、
2
1 4、已知342p :|x |->，02
1
:
2
>--x x q ，则p q ⌝⌝是的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
5、已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0(+∞上是增函数，若0)1(=-f ，那么0)(<x xf 的解集是 ( )
A 、),1()0,1(+∞-
B 、)1,0()1,( --∞
C 、),1()1,(+∞--∞
D 、)1,0()0,1( -
6、设函数1()lg 1f x f x x ⎛⎫
=⋅+
⎪⎝⎭
，则(10)f 的值为 ( ) A 、1
B 、2
C 、1-
D 、2-
7、=++-i
i i 1)
21)(1( ( )
A 、i --2
B 、i +-2
C 、i -2
D 、i +2
8、等差数列{}n a 中，已知前15项的和1590S =，则8a 等于 ( )
A 、
245 B 、6 C 、4
45
D 、12 9、圆8)2()1(2
2
=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有 ( )
A 、1个
B 、2个
C 、3 个
D 、4个
10、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),
已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ( ) A 、4,6,1,7 B 、7,6,1,4 C 、1,6,4,7 D 、6,4,1,7
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置上）
11、函数)2(log 2
2
1x x y -=的定义域是 ，单调递减区间是 。

12、若不等式022
>++bx ax 的解集为1123,⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，则b a +的值为 。

13、已知a,b,c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(,)m n 在直线20ax by c ++=上，则2
2m
n +的最小值是 。

14、如果双曲线的两个焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线
的方程为 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本小题12分）解关于x 的不等式：2
(1)10(0)ax a x a -++<>
16、（本小题14分）已知2()sin 2f x x x =+
I 、求()f x 的最小正周期，及单调减区间； II 、当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值。

17、（本小题满分12分）
某村计划建造一个室内面积为2
800m 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的
种植面积最大？最大种植面积是多少？
18、(本小题满分14分)
设函数3
2
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

19、（本小题满分14分）
在公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 和公比为q 的等比数列{}n b 中， 已知11221,a b a b ===，83a b =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）是否存在常数,a b ，使得对于一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在，求出常数a 和b ，若不存在，说明理由.
20、（本小题满分14分）
已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得
()()()1100f x f x f +=+成立．
（1）函数()x
x f 1
=
是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x a
x f ∈+=1
lg 2
，求a 的取值范围； （3）设函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，证明：函数()M x x f x
∈+=2
2．
师范实中2008届高三级第一学期第二次月考
数学（文科）试卷答题卷
班级姓名座号评分：一、选择题：
二、填空题：
11、 , 12、
13、14、
三、解答题：
第15题：
第16题：
第17题：第18题：
第19题：第20题：
师范实中2008届高三级第一学期第二次月考数学（文科）参考答案
1、(){3,5}A
B =，所以()U {1,2,4}A
B =ð，故选A.
2、由函数的定义域和对应法则相同确定，选C
3、11221111111333322f f f cos π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=-+=-+=-+= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选D.
4、2
34223
p :|x |p :
x ->⇒⌝≤≤， 22
1
020122
q :
q :x x q :x x x >⇔-->⇒⌝-≤≤-- ∴p q ⌝⇒⌝，故选A. 5、画出函数的图象，观察图象易得答案为B. 6、，11()1()1f f x lg f x x x ⎛⎫=⋅+=-+
⎪⎝⎭ ∴1()1[()1]1f x f lgx f x lgx x ⎛⎫
=⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭
∴(10)[(10)1]101(10)2f f lg f =-+⋅+=-+，∴2(10)=2,(10)=1f f ∴，故选A.
7、直接应用
1
1i
i i
-=-+，得原式(12)2i i i =-⋅+=-，故选C. 8、1158
15815()15290,622
a a a S a +⨯===∴=,故选B.
9、因为圆心坐标(1,2)--,半径为,所以圆心到直线的距离等于半径的一半,所以圆上与直线
01=++y x 的距离等于2的点共有3个,故选C.
10、本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得6
417
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=⎪⎪=⎩，即解密得到的
明文为6,4,1,7,故选择答案D ．
11、由2
2020x x x or x ->⇒><，故定义域为(0)(2),,-∞⋃+∞，又2
2
u x x =-在(2),+∞上递减，12
y log (u )=在定义域内为减函数，故函数的递减区间为(2),+∞。

12、 利用韦达定理，得121
66
b ,a a -=-=-，解得122a ,b ,=-=-∴14
a b +=-
13、2
2m n +可以看做原点到直线的距离的平方，由点到直线距离公式易得 22m n += 4
14、设双曲线的方程为2
2
221(0,0)x y a b a b -=>>,
依题意可得229
a b b a
⎧+=⎪
⎨=⎪
⎩，解得2236a b ⎧=⎨=⎩，
从而该双曲线的方程为
22
136
x y -=. 15、解：原不等式可化为：(1)(1)0ax x --<，0a 因为，所以>
①当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
②当1a =时，原不等式的解集为∅
③当1a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
16()2sin 2122sin 2)2cos(2)(6)
26f x x x x x x =++=⨯+=-+、解：分π
所以（I ）函数()f x 的周期是22
T =
=π
π. (8)分
因为函数y cos x =在22[k ,k ]ππ+π,k Z ∈上单调递减，所以
2226k x k ππ≤-
≤π+π,k Z ∈，解得71212
k x k πππ+≤≤π+，k Z ∈ 所以，函数()f x 的单调递减区间为71212[k ,k ]ππ
π+
π+，k Z ∈ (10)分 (II) 当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时,52666x πππ-≤-≤. 所以当12
x π
=
时, ()f x
取得最大值2+; (12
)分
当2x π=
时, ()f x 取得最小值0. (14)分
17、解: 设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab =800m 2. （2分）
∴蔬菜的种植面积)2(2808842)2)(4(b a b a ab b a S +-=+--=--=， （5分） ∵800,0,0=>>ab b a ， ∴80222=≥+ab b a ， （7分） ∴648802808=⨯-≤S （m 2）， （9分） 当且仅当b a 2=，即m b m a 20,40==时，648max =S m 2. （11分） 答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m 2. （12分）
18、解：（Ⅰ）求导得2
()363f x x ax b '=-+, ………………………………………………2分 由于()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-,所以(1)11(1)12f f =-⎧⎨'=-⎩
…………4分 即1331136312
a b a b -+=-⎧⎨-+=-⎩,解得1,3a b ==- ………………………………………………7分 （Ⅱ）由1,3a b ==-得：
22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x '=-+=--=+-………………………………10分 令()0f x '>，解得1x <-或3x >；由()0f x '<，解得13x -<<.………………12分 故函数()f x 在区间(,1),(3,)-∞-+∞上单调递增，在区间(1,3)-上单调递减. …14分
19、 解：（1）由条件得：2117d q d q
+=⎧⎨+=⎩1554,66n n n d a n b q -=⎧⇒⇒=-=⎨=⎩ .………… 6分 （2）假设存在,a b 使log n a n a b b =+成立，……………………………………………7分 则154log 654(1)log 6n a a n b n n b --=+⇒-=-+…………………………………8分
(5log 6)(log 64)0a a n b ⇒-+--=对一切正整数恒成立. ……………………… 10分
∴log 65log 64a a b =⎧⎨=+⎩， 既1
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………… 13分
故存在常数1a b ==使得对于n N *∈时，都有log n a n a b b =+恒成立. ………14分
20、解：（1）若()x x f 1=
M ∈，则在定义域内存在0x ，使得01111102000=++⇒+=+x x x x ，∵方程01020=++x x 无解， ∴()x x f 1=
M ∉． ()()()()2222(2)lg lg lg lg 22210112
11a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++•， 当2=a 时，21-
=x ；当2≠a 时，由0≥∆， 得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a 。

∴[]
53,53+-∈a ． （3）要证()M x x f x ∈+=22，只需证在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立
而()()()()()0000211200000011212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦
故只需证()01
0210x x -+-=， 又∵函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则20a a +=，所以存在10+=a x ，使得()01
0210x x -+-=成立， ∴()()()00110f x f x f +--=，即()()()1100f x f x f +=+
∴函数()M x x f x ∈+=2
2 ．。