推断性统计分析

点估计的评判标准（无偏性）
无偏性(unbiasedness)：估计量的数学期望（即 所有可能样本得到的估计值所组成的抽样分布 的均值）等于被估计的总体参数。
是总体均值的无偏估计量， 是总体方差的无偏估计量！
而不是总体标准差的无偏 估计！
点估计的评判标准（有效性）
有效性(efficiency)：如果估计量的抽样分布的方 差小于其它任何估计量，则称是更有效的估计 量。
抽样分布
抽样分布
样本均值的抽样分布 样本标准差的抽样分布
抽样分布
抽样分布是样本统计量的概率分布。
它只是一种理论上存在的概率分布，结果来自 无数样本量相同的所有可能样本。
依靠抽样分布，我们就能够将实际观测到的样 本结果与其他所有可能的样本结果进行比较， 从而建立起单一样本和总体之间的联系。这就 是统计推断的理论依据！
两类错误
第二类错误（纳伪）：
在原假设为假的情况下，接受了原假设。 犯纳伪错误的概率一般用来表示。 受许多因素的影响，主要有：显著性水平、样本量、 及真实值和中的值的偏离程度等。
第一类错误在检验过程中由研究者自行设定。 除去第一类错误后，检验是否有效就取决于的 的大小。在统计学中，将称作检验效能(power)。
正态分布的特征
68~95~99.7规则：
均值抽样分布—分布
只有当总体方差已知的情况下，样本均值的抽 样分布才为正态分布，才能作Z转换。
总体方差未知的情况下，样本均值的抽样分布 不再服从正态分布，此时应作T转换。
分布
T分布的图形是对称的，均值为0，离散程度比标准 正态分布要大，也就是说方差大于1； 形状由一个参数（自由度）来决定； 当样本量n很大时（n>30），就可用标准正态分 布N(0,1)来近似t分布。
（3）置信度
总体均值μ的置信区间—未知
假定条件：
总体方差未知 总体必须服从正态分布
样本均值对应的统计量为统计量： 总体均值的的置信区间：
总体比例的的置信区间
样本比例是总体的点估计
在大样本条件下，样本统计量的抽样分布近似为正态 分布： 总体参数未知，所以用来估计标准误：
?依靠抽样分布我们就能够将实际观测到的样本结果与其他所有可能的样本结果进行比较从而建立起依靠抽样分布我们就能够将实际观测到的样本结果与其他所有可能的样本结果进行比较从而建立起单一样本和总体之间的联系
第二讲：推断性统计分析
统计推断的过程
主要内容
1. 抽样分布 2. 参数估计 3. 假设检验
1. 抽样分布
总体分布、样本分布、和抽样分布
总体分布：总体中所有个体在某个变量上观测 值的频次分布。 样本分布：从总体中抽取一个容量为n的样本， 这n个观测值构成的频次分布。 抽样分布：假如我们对总体进行重复抽样，根 据每个样本可以计算出一个样本统计量，从所 有这些样本得出的样本统计量构成的分布称为 抽样分布。
理解置信区间
理解置信区间
注意： 是未知参数，对于确定总体，它 是唯一的，固定的； 而样本统计量是随着样本不同而 变化的随机变量。 所以，根据不同的样本，计算出 来的CI也是变化的。因此，确切 地说，CI是一个随机区间。 对于一次抽样，它的CI可能包含 Q也可能不包含Q。 设α=0.05，那么1-α=0.95 95%CI就表示：如果重复抽取 100个样本，根据每个样本建立 一个CI，共100个CI，这100 个CI中有95(95%)个CI将包 含待估参数，有5(5%)个CI将 不包含待估参数。
在一个“抛硬币”的游戏中，一个人抛了次，其中次是正面，请 检验所用的硬币是否均匀。 • vs. • 根据二项分布，计算当成立时观测到比次更极端值的概率（ • 此概率即为我们常用的值。 • 需要注意此检验为单边检验。对双边检验，需要把上面得到的 值乘以。
单总体均值的检验—小样本
注意：小样本数据，我们假设样本来自正态分布
的总体！ 已知时，检验统计量为统计量： 未知时，需要用样本方差来代替总体方差，得到 的检验统计量为统计量：
此时不能将其近似为正态分布进行计算！
单总体比例的检验
假设：
（落在某个类别中概率或比例等于） （ 或 ）
大样本情况：
点估计的理论基础是“抽样分布” 点估计没有给出估计值接近总体参数的程度。也就是说， 从点估计，我们并不知道估计误差的大小。
点估计
用样本均值()作为总体均值()的点估计：

用样本方差()作为总体方差()的点估计：
对定类变量，用样本比例()作为总体比例()的 点估计：
注意： • 一般在“总体参数”上加^来表示它的样本 估计值； • 在样本方差的公式中，分母为(n-1)而不 是n。因为只有用(n-1)，得出的样本方差 才是总体方差的无偏估计！
对服从正态分布的 总体，样本均值和 中值都是总体均值 的无偏估计，但是 更有效的估计量！
点估计的评判标准（一致性）
一致性(consistency)：随着样本容量的增大，估 计量越来越接近被估计的总体参数的真实值。
区间估计(interval estimation)
区间估计：根据样本计算出一个取值范围来对总体 的未知参数进行估计，并给出置信度。
为n的样本的均值也服从正态分布，且的均值（数学 期望）为，方差为。即
样本均值的抽样分布（一般规律）
2. 中心极限定理 (Central Limit Theorem)：从均值为,
方差为的任意总体（不一定服从正态分布）中抽取 样本量为的样本。只要样本量足够大，样本均值的 抽样分布将近似服从均值为,方差为的正态分布：
第一类错误 (Type I Error)：弃真的错误 第二类错误 (Type II Error)：纳伪的错误
两类错误
检验功效 或效能
两类错误
第一类错误（弃真）
在原假设为真时，拒绝了原假设。 犯第一类错误的概率就是显著性水平，研究者通过 选择显著性水平来控制犯弃真错误的概率； 当减小时，拒绝域随之减小，弃真的错误就减小。
定义：如果用 作为总体参数的估计值，那么参数的 置信区间(confidence interval) 与的关系为：
显著性水平(significance level)，表示置信区间不包含真实参 数的概率，即估错的概率 置信概率，置信度或置信水平(confidence level)，表示这样的 置信区间包含真实参数的概率。
抽样分布的标准差称为“标准误”。它用来测 量使用某个样本统计量来估计总体参数时的抽 样误差。
样本均值的抽样分布（例子）
样本均值的抽样分布（例子）
样本均值的抽样分布（例子）
样本均值的抽样分布（例子）
样本均值的抽样分布（例子）
总体分布和抽样分布的比较：
样本均值的抽样分布（一般规律）
1. 当总体服从正态分布时，来自该总体的所有样本量
即：
正态分布的特征
单峰、对称、钟形；
渐进：曲线无论向左或向右延伸，都愈来愈接近 横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线； 一个位置参数，一个描述离散程度的参数； 均值、中值、和众值都相等。 最美的特征：
无论μ和σ为何值，也就是说对任意一个正态分布， 约68%（或者说2/3）的值落在区间；约95%的 值落在区间；约99.7%的值落在区间。
总体均值μ的置信区间—已知
假定条件：
总体服从正态分布，且总体方差已知 总体不服从正态分布，但样本量较大
样本均值的抽样分布为正态分布： 转换为正态分布统计量：
总体均值的的置信区间：
总体均值μ的置信区间—已知
当时，对应95%CI： 当时，对应99%CI：
由公式可以看出，CI的宽度 受两个因素的影响： （1）总体分布的离散程度 （2）样本量
点估计(point estimation)
点估计：根据样本统计量计算出一个确切的数来估计总 体的未知参数
用于估计总体某一参数的样本统计量，被称为估计量 (estimator)。估计量是一个随机变量，随着抽取的样本 的不同，取值会发生变化。对应的值称为“估计值 (estimate)”。
比如：样本均值是总体均值的一个估计量 如果抽取一个样本，得出，5万就是的估计值
样本方差的抽样分布—分布
当总体服从正态分布时，样本方差的抽样分布
服从自由度为的卡方分布：
样本方差的抽样分布—分布
分布
分布的特征：
非负值，最小值为； 正偏； 具体形状由来决定； 均值，方差； 均值和方差随着的增加而增加，这样，分布的均值 随之向右偏移，离散度也随之增加； 随着的增加， 分布偏度和峰度都较小，将趋近于正 态分布。
单边检验（右侧）值：
右侧单边检验:
统计决策方法2—值法
单边检验（左侧）值：
右侧单边检验:
统计决策方法2—值法
判定方法： 拒绝 不拒绝 任何一个统计分析软件（如SPSS或Stata)都会 计算出p值。
两类错误
假设检验属于统计推断，根据一个样本的有限信 息和小概率原理得出关于总体特征的判断。因此， 我们不可能做到百分之百的正确。 在假设检验中有可能犯两种错误：
什么是假设检验？
假设检验的步骤
1. 根据研究问题，决定是做“单边”检验还是 “双边”检验；提出原假设和备择假设；并 给定显著性水平； 2. 选择合适的检验统计量； 3. 在检验统计量的抽样分布上找到拒绝的区间； 4. 根据样本数据，计算检验统计量的观测值。
5. 根据决策方法，作出统计决策。
统计决策方法1—临界值比较法
样本量满足 及； 检验统计量是，在成立的条件下，其分布服从一个标准 正态分布：
注意：SPSS中没有该Z检验，但是可以用下页的二项检验。
单总体比例的检验
小样本情况：采用精确二项检验(Binomial Test)
二项分布 : (x=0, 1, 2, …, n)
如何检验？（请看下面的例子）
大样本总体比例 的(1)的置信区间：
3. 假设检验
3.1 假设检验的基本概念
什么是假设检验？
假设检验：事先对总体参数提出一个假设，然 后通过样本信息来判断这一假设是否成立。 基本思想是“小概率原理”：
首先假设成立，得出样本统计量（点估计）的抽样 分布。经过抽样获取一组数据，如果根据该样本得 出的估计值在成立的条件下发生的概率非常小，我 们就有理由来“拒绝原假设”；反之，如果该值发 生的可能性很大，那么就“不拒绝”。 显著性水平 =小概率的标准，由研究者事前确定。
两类错误
两类错误的关系：
• 其它条件不变，显著性水 平， 接受域增加， • 其它条件不变，样本量n， ； • 其它条件不变，真实值 （1）和H0中的值（0） 偏离程度，。
3.2 单总体假设检验
单总体均值的检验
原假设

备择假设
单总体均值的检验
大样本
总体方差已知 总体方差未知
比较检验统计量的“观测值”和“临界值 (critical value)”
如果观测值落在接受域，则不拒绝 如果观测值落在拒绝域，则拒绝
统计决策方法2—值法
值：在成立条件下，出现观测值或比它更极端值
的概率。值越小，说明数据在成立时出现的可能 性越小，从而提供了拒绝的证据。
双边检验:
统计决策方法2—值法
两个样本方差比的抽样分布—分布
总体1：服从正态分布 样本1：
总体2：服从正态分布 样本2：
两个样本方差和比值的抽样分布服从分布：
2. 参数估计
参数估计
参数估计：指从总体中随机抽取一个样本，利 用样本统计量推算总体参数的过程。
参数估计
点估计
矩阵估计
区间估计
最小二乘法 最大似然法
置信区间的计算
置信区间=点估计±临界值*标准误
标准误为点估计抽样分布的标准差 临界值与抽样分布和有关，根据的大小，确定置信 区间有多少个标准误的宽度。
置信区间的计算
越大( )，置信度就变小( )，从而导致置信区间 变小( )，估计的精确度提高( )，但估错的可能 性增加了！ 增加样本量，标准误减小( )，从而导致置信区间 减小( ) ，估计的精确度提高( )。
大样本时对总体分布没有要求， 可以为任意分布。
小样本：
总体方差已知 总体方差未知
小样本时，要求总体服从正态分布
单总体均值的检验—大样本
已的 检验统计量为统计量：
当样本量越来越大时，分布越来越接近正态分布， 所以检验统计量可以近似为：