2021-2022学年度强化训练沪科版八年级下册数学期末专项测试 B卷(含答案解析)

沪科版八年级下册数学期末专项测试 B 卷 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1
） A
B ．2
C ．3
D ．4
2、下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A
B
C
D
3、下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A ．510x +=
B ．210x -=
C ．211x x +=
D ．21y x += 4、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A ．1
B
C ．6，7，8
D ．2，3，4 5、若0是关于x 的一元二次方程mx 2＋5x ＋m 2－m ＝0的一个根，则m 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．无法确定 6、一个直角三角形有两边长为3cm ，4cm ，则这个三角形的另一边为（ ） ·
线○封○密○外
A ．5cm
B cm
C ．7cm
D ．5cm cm
7、如图，在长方形ABCD 中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC ＝4a ，则按图③方式摆放时，剩余部分CF 的长为（ ）
A ．23a
B ．32a
C ．53a
D ．35a
8、如图，数轴上点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，1BC =，90ABC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P ，则点P 表示的数是（ ）
A 1
B 2
C 1
D ．2
9、下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A B
C D
10、估计⎭ ）． A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果实数a 、b 满足10a -=，求a b +的平方根．
2、已知三角形的三边分别是6，8，10，则最长边上的高等于______．
3、设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝____．
4、方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 _____，积为 _____．
5、如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP 的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
2、计算：
（1
2 -
·
线○封○密○外
（2
）2-
3、如图，在ABC 中，BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的高，F 是BC 的中点．
（1）求证：DEF 是等腰三角形；
（2）若60A ∠=︒，2DE =，求BC 的长．
4、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是ABC 的中线，点E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，连接BF ．请判断四边形BFCD 的形状，并加以证明．
5、已知关于x 的一元二次方程()210x k x k +--=
（1）求证：不论k 为何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且满足
12
112+=x x ，求k 的值．
-参考答案-
一、单选题
1、
B
【分析】
二次根式的乘法：把被开方数相乘，根指数不变，根据运算法则直接进行运算即可.
【详解】
26=6=4=2,3 故选B 【点睛】 本题考查的是二次根式的乘法，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键. 2、D 【分析】 利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可． 【详解】
解：A
B
C
，不符合题意； D 故选：D ． 【点睛】 此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 3、B 【分析】 ·
线○封○密
·○外
根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】
解：A 、510x +=，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B 、210x -=，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C 、211x x
+=，是分式方程，故此选项不符合题意； D 、21y x +=是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．
4、A
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得．
【详解】
解：A 、22213+==，此项能构成直角三角形；
B 、2226+=≠，此项不能构成直角三角形；
C 、22267858+=≠，此项不能构成直角三角形；
D 、22223134+=≠，此项不能构成直角三角形；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5、A
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将0
x=代入方程解关于m的一元二次方程，且根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即可求得m的值
【详解】
解：0是关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－m＝0的一个根，
20
m m
∴-=，且0
m≠
解得1
m=
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，注意0
m≠
是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
6、D
【分析】
根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：设这个三角形的另一边为x cm，
若x
为斜边时，由勾股定理得：5
x=，
若x
为直角边时，由勾股定理得：x=
综上，这个三角形的另一边为5cm
，
·
线○封○密○外
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理，利用分类讨论思想是解答的关键．7、A
【分析】
由题意得出图①中，BE=a，图②中，BE=4
3
a，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为
5
3
a，进而得
出答案．
【详解】
解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=4
3 a，
5 3a
=，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×5
3
a=
2
3
a；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．8、A
【分析】
首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案．
【详解】
解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC
=
∵以A 为圆心，AC 为半径作弧交数轴于点P ，
∴AP =AC
∴点P
表示的数是1- 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC 的长． 9、C 【分析】 根据题意直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得出答案． 【详解】 A
B
=，故不是最简二次根式，不合题意； C
是最简二次根式，符合题意； D
故选：C ．
【点睛】 本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的前提，掌握“分母中不含有根式，被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”是正确解答的关键． 10、D ·
线○封○密
○外
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算计算的结果的取值范围，问题得解．【详解】
解：原式
1，
<
∴<<，
34
∴<<，
415
故选：D．
【点睛】
围．
二、填空题
1、±2
【分析】
根据绝对值的非负性和二次根式被开方数的非负性求得a、b，再代入求解即可．
【详解】
a-=，
解：∵实数a、b满足10
∴a－1=0，b－3=0，
∴a=1，b=3，
∴a +b =1+3=4，
∴a +b 的平方根为±2．
【点睛】
本题考查代数式求值、绝对值的非负性、二次根式成立的条件、平方根，熟知绝对值和二次根式被开方数的非负性是解答的关键．
2、245 【分析】 根据勾股定理的逆定理，得这个三角形是直角三角形；根据直角三角形的面积计算，即可得到答案． 【详解】 ∵三角形的三边分别是6，8，10， 又∵2226810+= ∴这个三角形是直角三角形 ∵12⨯最长边上的高1
10682⨯=⨯⨯ ∴最长边上的高为：6824105⨯= 故答案为：245． 【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，从而完成求解． 3、2 【分析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系得到123=x x +，然后结合1x ＝22x ，求出1x 和2x 的值，然后根据根与系数的关系得到12x x k =即可求出k 的值． ·
线○封○密○外
【详解】
解：∵1x ，2x 是关于x 的方程x 2﹣3x ＋k ＝0的两个根， ∴12=-=3b
x x a +，12c x x k a =
=， ∴121
2=32x x x x +⎧⎨=⎩， 解得12
=21x x ⎧⎨=⎩， ∴122k x x ==．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a
=
． 4、3 2
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系：1212,b c x x x x a a +=-=
解题． 【详解】
解：方程x 2﹣3x +2＝0
1,3,2a b c ==-=
12123,2b c x x x x a a +=-=== 故答案为：3，2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系—韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5
、4+【分析】 过BC 的中点P 作AB ，AC 的对称点M ，N ，连接MN 交AB 与Q ，交AC 于R ，则此时△PQR 周长最小，求出MQ ，RQ ，RN 即可解决问题． 【详解】 过点P 作AB ，AC 的对称点M ，N ，连接MN 交AB 于Q ，交AC 于R ，设AP 交MN 于点D ， 则PQ MQ =，PR RN =， ∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥， 当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图 ∵30BAC ∠=︒， ∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒， ∴15M N ∠=∠=︒， ·
线○封○密○外
∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，
∴MN BC ∥，2PQ PB ==，
同理2PR PC ==，
∵⊥AP BC ，
∴AP MN ⊥．
DP MN ∴⊥
PQ PR =
DQ DR ∴=
∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，
∴Rt PDQ 中，112
QD PQ ==
DQ ∴
∴2QR DQ =⨯=
∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+
故答案为：4+【点睛】
本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
1、
（1）见解析
（2）4
（3）4
【分析】
（1）由“SAS ”可证△ABP ≌△QCE ，可得AP =QE ；
（2）要使四边形APQE 的周长最小，由于AE 与PQ 都是定值，只需AP +EQ 的值最小即可．为此，先在BC 边上确定点P 、Q 的位置，可在AD 上截取线段AF =DE =2，作F 点关于BC 的对称点G ，连接EG 与BC
交于一点即为Q 点，过A 点作FQ 的平行线交BC 于一点，即为P 点，则此时AP +EQ =EG 最小，然后过G 点作BC 的平行线交DC 的延长线于H 点，那么先证明∠GEH =45°，再由CQ =EC 即可求出BP 的长度； （3）要使四边形PQNM 的周长最小，由于PQ 是定值，只需PM +MN +QN 的值最小即可，作点P 关于AD 的对称点F ，作点Q 关于CD 的对称点H ，连接FH ，交AD 于M ，交CD 于N ，连接PM ，QN ，此时四边形PQNM 的周长最小，由面积和差关系可求解． （1） 解：证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD =AB =4，BC =AD =8， ∵点E 是CD 的中点，点Q 是BC 的中点， ∴BQ =CQ =4，CE =2， ∴AB =CQ ， ∵PQ =2， ∴BP =2， ∴BP =CE ， 又∵∠B =∠C =90°， ∴△ABP ≌△QCE （SAS ）， ∴AP =QE ； （2） ·
线○封○密○外
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）
如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=1
2×PF×PH-1
2
×PF×TM-1
2
×QH×CN=1
2
×8×8-1
2
×8×4-1
2
×6×3=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
2、
（1）1
（2）－
2
·
线○封○密○外
【分析】
（1）将二次根式化简，合并同类二次根式，计算除法，最后计算减法即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类二次根式．
（1）
2
2 ＝3－2
＝1；
（2）
解：原式＝2222⎡⎤+-⎣-⎦
＝3－（3＋＋2）
＝3－3－ 2
＝－2．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算顺序及运算法则及公式是解题的关键．
3、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得1802BFE EBF ∠=︒-∠，
1802DFC DCF ∠=︒-∠，进而证得DFE ∠=60°，则△DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质求得2DE DF EF ===即可求解． 【详解】
（1）证明：∵BD ，CE 分别是AB 、AC 边上的高，
∴90BDC BEC ∠=∠=︒，
∵点F 是BC 中点， ∴12EF BC =，12DF BC =，12BF CF BC == ∴EF DF BF CF ===， ∴DEF 是等腰三角形； （2）解：∵EF DF BF CF ===， ∴EBF BEF ∠=∠，FDC DCF ∠=∠ ∴1802BFE EBF ∠=︒-∠， 同理1802DFC DCF ∠=︒-∠， ∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒， ∴180120ABF ACF A ∠+∠=︒-∠=︒， ∴()180DFE BFE DFC ∠=︒-∠+∠ ()18036022EBF DCF =︒-︒-∠-∠ 218060EBF DCF =∠+∠-︒=︒（） 又DEF 是等腰三角形， ∴DEF 是等边三角形． ∴2DE DF EF ===， ·
线○封○密○外
∴24BC EF ==．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、四边形BFCD 是菱形，理由见详解
【分析】 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得12
CD AB AD BD === ，再由点E 是CD 的中点，可得AE =EF ，然后根据CF ∥AB ，可得∠AFC =∠DAE ，∠FCE =∠ADE ，从而得到△ADE ≌△FCE ，进而得到CF =AD ，可得四边形BFCD 是平行四边形，再由CF =CD ，即可求解．
【详解】
解：四边形BFCD 是菱形，理由如下：
在Rt ABC △中，∵90ACB ∠=︒，CD 是ABC 的中线， ∴12
CD AB AD BD === ， ∵点E 是CD 的中点，
∴AE =EF ，
∵CF ∥AB ，
∴∠AFC =∠DAE ，∠FCE =∠ADE ，
∴△ADE ≌△FCE ，
∴CF =AD ，
∴CF =BD =CD ，
∵CF ∥AB ，
∴四边形BFCD 是平行四边形，
∵CF =CD ，
∴四边形BFCD 是菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 5、 （1）见解析 （2）1k =-
【分析】
（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得0∆≥，进而即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得121x x k +=-，12x x k =-，结合12122x x +=，可得关于k 的方程，进而解方程即可求解． （1）
∵2(1)4k k ∆=-+ 2214k k k =-++ 2(1)k =+， ∵2(1)0k +≥， ∴0∆≥， ·
线○封○密○外
∴无论k 取何值，该方程总有实数根；
（2）
根据题意得：121x x k +=-，12x x k =-，
12
112+=x x ， 即1212
2x x x x += 即12122x x x x =+
21k k ∴-=-
解得1k =-
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握20(a 0)++=≠ax bx c 的根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a ⋅=
，是解题的关键．。