晶面指数_六方晶系的晶面指数标定

根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。

六方晶系一些晶面的指数

六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)

晶向指数的确定方法

1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]

Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O X

晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●

常见的晶向指数

O

●

●
[100]

[010]

4、晶带、晶面间距和晶面夹角

晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有

晶面属于同一晶带。

• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。

• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面

如：立方晶系，晶面间距公式为

1 d 2

h2 a2



k2 b2



l2 c2

＝ h2 ＋ k2 ＋ l2 a2

d＝/（2sin）

2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）

∴ sin2 ＝

4a2

已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向；

反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的

• 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。



 cos2  )

h2 sin 2 
[ a2



k 2 sin 2 b2





l 2 sin 2 
c2



2hk ab

(cos cos 

 cos )

 2kl (cos  cos  cos )  2hl (cos  cos  cos  )]

bc

ac

例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm,
和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上
图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面
和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110和) (100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。

(001)

(110)

(100)

(010)

(111)
晶面指数的几点说明：

1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。

晶向指数的确定方法

大小、形状。【物相分析】

4-3 六方晶系指数表示
• 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。

• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面

O

Y

●

X

Z
练习

●
O X

晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●

常见的晶向指数

O

●

●
[100]

[010]

1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1

练习
1,0,0

0,1,0 晶面指数（233）

常见的晶面指数
c=0.255nm, 计算d110和d200。

1 h2 k2 l2

d2 hkl



a2

 b2

 c2

1

12

12

d2 110



7.4172



4.9452

1  22

d2 200

7.4172

得出：d110 =0.41nm, d200=0.37nm

（4）衍射方向（衍射角θ）的确定

将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。

[001]

晶带定律：凡是属于[uvw]晶

带的晶面，它的晶面指数必须

O

符合hu＋kv＋lw＝0

晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。

正交（立方、四方、 斜方晶系）

六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶向指数(h k i l)
i ＝－ ( h + k ) 。


晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。
3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划
线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）

0,0,1 1,0,0

1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 0,1,0 4°晶面指数（211）

1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1

练习
1,0,0

0,1,0 晶面指数（233）

常见的晶面指数
百度文库
(001)

(110)

(100)

(010)

(111)
晶面指数的几点说明：

1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。

1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]

Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]

O

Y

●

X

Z
练习

●
a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指 数，这样得到的晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。

六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1， a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均 为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个 指数来表示。

• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3 和 c 轴，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用 四指数表示的晶面及晶向指数。
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶 系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在 四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数

1 d2
hkl



h2 a2



k2 b2



l2 c2

a、b、c为晶胞参数

单斜

[ 了解 ]

1 d2
hkl



h2 a 2 sin 2





k2 b2



l2 c2 sin 2





2hl cos  ac sin 2 

三斜

1

1

d

2 hkl



(1 2 cos cos 

cos 

 cos2 

 cos2