第24讲 和倍应用题
第24讲+两角和与差的正弦、余弦和正切公式(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲
π
4
， ∈
π
4
=
2cos ，即cos −
π π
,
4 2
，所以 −
π
= = ，则 =
4
π
,
2
π
4
∈ 0,
π
π
4
π
4
= cos
，
π
= 故 − = ．
4
4
π
4
π
4
2 sin sin + cos cos =
2cos ቀ −
8.（2024·江苏南通·高三校考期中）在△ 中，若tan + tan + 2 =
2tantan，则tan2 =_________．
tan（+2）−tan
1+tan（+2）tan
＝
2−（−3）
1+2×（−3）
＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝
−1−（−3）
1+(−1）×（−3）
1
2
＝ .
【最新模拟练】
1. [2024河北石家庄模拟]已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程 x 2＋4 x －3＝0的
sin2
余弦
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α－β)
正切
tan α－tan β
tan(α－β)＝
1＋tan αtan β
T(α－β)
2.二倍角的三角函数
三角
函数
正弦
二倍角
简写形式
2sin αcos α
sin 2α＝____________
S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
五年级奥数第24讲——最大公因数与最小公倍数
学生课程讲义最大公因数与最小公倍数是小学数学的基本内容，求几个数的最大公因数或最小公倍数的基本方法有因数分解法、短除法、辗转相除法等，在课外活动及竞赛中经常出现这两个概念及用其求解方法处理的问题，a1，a2,...an这n个数的最大公因数用记号（a1，a2,...an）表示，最小公倍数用[a1，a2,...an]表示。
【例1】求2520，14850，819的最大公因数和最小公倍数。
随堂练习1求35，98，112的最大公因数和最小公倍数，（用因数分解法）【例2】求36，108，126的最大公因数和最小公倍数。
随堂练习2求403，527，713的最大公因数和最小公倍数。
【例3】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长（）米。
随堂练习3甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【例4】a=36,b=54，证明（a,b）×[a,b]=a×b随堂练习4设a=108，b=720,验证：（a,b）×[a,b]=a×b 【例5】现有4个不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么，这4个数的公因数最大是（）随堂练习5有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公因数，那么这些最大公因数最大值是多少？【例6】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以。
小学奥数教程之和倍问题
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
学科培优数学“和倍问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
和倍问题基本公式：小数=和÷（倍数+1）大数=和-小数（或者：大数=小数×倍数知识梳理和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。
和倍问题基本公式：小数=和÷（倍数+1）大数=和-小数（或者：大数=小数×倍数例题精讲【试题来源】【题目】甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【答案】甲班有图书120本，乙班有图书40本。
【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或160-40=120（本）验算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。
第24讲 盈亏问题(提高版)-2022-2023学年小升初数学专项复习讲义(通用版)
第24讲盈亏问题（提高版）1、盈亏问题。
在等分除法的基础上发展起来的。
他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
2、解题关键。
盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
3、解题规律。
总差额÷每人差额=人数总差额的求法可以分为以下四种情况：第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余第一次不足，第二次也不足，总差额= 大不足-小不足一．选择题（共4小题）1．有一段木头用一根绳子来量，绳子多出150公分，将绳子对折后量，又短了35公分。
问这段木头有多长？()A．220 B．250 C．320 D．3602．美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴，先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个，那么花果山共有()只猴．A．24 B．25 C．26 D．283．米奇专卖店以100元的单价卖出两套不同的童装，其中一套赚20%，另一套亏本20%，那么这个童装店卖这两套服装总体核算是()A．亏本B．赚钱C．不亏也不赚D．不能确定亏本或赚钱4．搬运1000块玻璃，规定搬一块可得运费3角，但打碎一块除了得不到运费外还要赔5角，运完后，搬运工共得搬运费260元，搬运工损失了()元。
A．10 B．5 C．20 D．25二．填空题（共12小题）5．一袋糖分给一些小朋友，每人分10粒刚好分完；如果每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖。
这袋糖共粒。
6．某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元则余220元，那么平均每人能发奖金元．7．甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平分着吃．甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后核算，丙应拿出4元钱，甲应收回钱，乙应收回钱．8．某笔奖金原计划8人均分，现退出1人，其余每人多得200元，这笔奖金共元。
小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全
小学奥数基础教程（三年级）- 1 -小学奥数基础教程（三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜(一)第3讲竖式数字谜(一)第4讲竖式数字谜(二)第5讲找规律(一)第6讲找规律(二)第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏(一)第14讲火柴棍游戏(二)第15讲趣题巧解第16讲数阵图(一)第17讲数阵图(二)第18讲能被2，5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜(二)第23讲竖式数字谜(三)第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画(一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除一、两、三位数乘一位数（一）二、两、三位数乘一位数（二）三、乘法分配律数学智慧园（一）四、等量替换五、两、三位数除以一位数（一）六、两、三位数除以一位数（二）七、和差问题数学智慧园（二）八、图形空格填数九、归一问题十、和倍问题十一、差倍问题数学智慧园（三）十二、两积之和第2讲横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和-另一个加数”知，□=582-324＝258。
又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。
解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数×乘数=积；(4)被除数÷除数=商。
(2021年整理)三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)
三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三年级数学奥数基础课程教案(30讲全)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三年级数学奥数基础课程教案(30讲全) 小学奥数基础教程(三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜（一）第3讲竖式数字谜(一)第4讲竖式数字谜(二）第5讲找规律（一）第6讲找规律（二）第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏(一)第14讲火柴棍游戏(二)第15讲趣题巧解第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二)第18讲能被2，5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜（二)第23讲竖式数字谜(三）第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画(一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除第2讲横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式）中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数.根据“加数=和—另一个加数"知，□=582—324＝258。
又如,求右竖式中字母A,B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B＝5知,B ＝12-5＝7;由A-1＝3知，A＝3＋1＝4.解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
和倍问题讲义
和倍问题知识要点：和倍问题就是已知两数的和与两数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。
在和倍问题中：较小数= 和÷（倍数+1）较大数= 和 - 较小数或较大数= 较小数×倍数解答和倍问题一般把其中一个量（较小数）看做一倍量，另一个量（较大数）就为几倍量，然后看他们的和相当于较小数的多少倍，再用和除以对应的倍数。
求出1倍数，再求出另一个量。
[ 例1] 二年级共有84位同学参加美术和围棋兴趣小组，参加美术小组的人数是围棋组的3倍。
问：参加美术和围棋兴趣小组的各有多少人？解析：1倍 1倍 1倍美术组1倍 84人围棋组由图可以知道，如果把围棋组的人数看做是1倍量，美术组人数就是3倍量，84人就相当于（1+3）倍，围棋组人数可列式84÷（1+3）来求得，把围棋组人数乘以3就是美术组人数。
围棋组人数是84÷（1+3）=21（人）美术组人数是21×3=63（人）答：参加围棋组有21人，参加美术组有63人。
练习：1、甲乙两袋大米共90千克，甲袋米的重量是乙袋米的5倍，问：甲、乙两袋各有米多少千克？2、玩具店有小熊玩具和小狗玩具共50个，小熊玩具是小狗玩具的4倍，问：小熊玩具和小狗玩具各有多少个？[ 例2]甲、乙二人共同加工一批零件97个，甲加工的零件比乙的3倍还多1 个。
求甲、乙各加工零件多少个？解析：根据题意画出线段图，把乙加工零件的个数看作1倍数，甲加工零件的个数应是3倍数多1个，如果甲少加工1个，则两人加工的总数就应是（97-1）个。
下面的解决就与例1相同了。
甲少做1个，甲、乙二人一共做多少个？97-1=96个乙加工了多少个？96÷（3+1）=24（个）甲加工了多少个？24×3+1=73(个)答：甲加工零件73个，乙加工零件24个。
练习：1、玩具店有小熊玩具和小狗玩具共44个，小熊玩具数量是小狗玩具的3倍多4个，问小熊玩具和小狗玩具各有多少个？2、某公司有男、女职员25名，其中女职员比男职员人数的2倍少5人。
小学五年级奥数专题讲座25行程问题(二)
第24讲行程问题（一）路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：路程=时间×速度时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。
这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。
例1 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。
已知每辆车长5米，两车间隔10米。
问：这个车队共有多少辆车？例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。
如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？例3 划船比赛前讨论了两个比赛方案。
第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。
这两个方案哪个好？例4 小明去爬山，上山时每小时行2.5千米，下山时每小时行4千米，往返共用3.9时。
问：小明往返一趟共行了多少千米？例5一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，如果它在三条边上每分钟分别爬行50，20，40厘米，那么蚂蚁爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程、时间、速度三者之间的关系解答这类问题时，应注意各种速度的含义及相互关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，静水速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（顺流速度-逆流速度）÷2。
此处的静水速度、顺流速度、逆流速度分别指船在静水中、船顺流、船逆流的速度。
例6两个码头相距418千米，汽艇顺流而下行完全程需11时，逆流而上行完全程需19时。
求这条河的水流速度。
练习241.小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟。
若往返都步行，则全程需要70分钟。
求往返都骑车需要多少时间。
2.某人要到60千米外的农场去，开始他以5千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了5.5时。
小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全
小学奥数基础教程（三年级）- 1 -小学奥数基础教程(三年级）第1讲加减法的巧算第2讲横式数字谜（一)第3讲竖式数字谜（一)第4讲竖式数字谜（二）第5讲找规律（一）第6讲找规律(二)第7讲加减法应用题第8讲乘除法应用题第9讲平均数第10讲植树问题第11讲巧数图形第12讲巧求周长第13讲火柴棍游戏（一)第14讲火柴棍游戏(二）第15讲趣题巧解第16讲数阵图（一)第17讲数阵图(二）第18讲能被2,5整除的数的特征第19讲能被3整除的数的特征第20讲乘、除法的运算律和性质第21讲乘法中的巧算第22讲横式数字谜（二）第23讲竖式数字谜(三）第24讲和倍应用题第25讲差倍应用题第26讲和差应用题第27讲巧用矩形面积公式第28讲一笔画（一)第29讲一笔画(二)第30讲包含与排除一、两、三位数乘一位数（一）二、两、三位数乘一位数(二）三、乘法分配律数学智慧园（一）四、等量替换五、两、三位数除以一位数（一）六、两、三位数除以一位数（二）七、和差问题数学智慧园（二)八、图形空格填数九、归一问题十、和倍问题十一、差倍问题数学智慧园（三) 十二、两积之和第2讲横式数字谜(一）在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如，求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和—另一个加数”知，□=582-324＝258。
又如，求右竖式中字母A,B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位,所以，由12—B＝5知，B＝12—5＝7；由A—1＝3知,A＝3＋1＝4.解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式(横式）数字谜的解法。
解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则：（1)一个加数+另一个加数=和;（2）被减数—减数=差;(3）被乘数×乘数=积;(4）被除数÷除数=商.由它们推演还可以得到以下运算规则：由（1），得和-一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。
四年级奥数 第24讲 差倍问题
第24讲差倍问题一、专题简析：解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
在一般财政部下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。
当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数二、精讲精练例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习一1、城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？2、一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。
这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克？练习二1、三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？2、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。
今年有多少人参加？例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只？练习三1、玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。
每个月各生产多少个？2、某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。
第三季度生产的是第一季度的3倍。
求每季度各生产多少？例4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。
商店原有红糖和白糖各多少千克？1、甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。
三年级奥数第24讲 - 和差倍积
【变式5-1】两个数之和是253，其中一个数的最后一位数字是0，如果把0去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？
【变式5-2】师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这个0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？
【变式2-2】甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？
【例3】被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
解：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。
除数：320÷8=40被除数：40×7=280
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数
【例题精讲】
【例1】学校将360本图书分给二、三两个年级，三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？
解：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。
解：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15-5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。
【变式2-1】红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？
所以除数是：252÷（7－1）=42被除数是：42＋252=294
小三奥数 第24讲 应用题(一)
【例3】小兰花文具店买铅笔和本子.全部的钱可以买6支铅笔和11个本子.或者买8支铅笔和7本本子.如果全部的钱用来买本子，那么可以卖多少本？
分析铅笔多买了8-6=2（枝），本子就少买了11-7=4（本）.可见2枝铅笔的价格相当于4本本子的价格.6枝铅笔的价格相当于6÷2×4=12（本）本子的价格.
解89+83-81=91（人）.
答：甲、丁两班共有91人.
【随堂练习1】小李、小王、小张、小赵各有彩球若干个.小李、小王共有34个，小王、小张共有36个，小张、小赵共有40个.问：小李、小赵共有彩球多少个？
【正确答案】38个
【例2】有一桶水，一只小鸭可饮用25天，如果一只小鸭和一只小鸡同饮，那么可以饮用20天.一只小鸡单独饮用，可以饮用多少天？
解96×3-94×2=100（岁）
答：第三位老人的年龄为100岁.
又解三位老人的平均年龄96岁比前两位老人的平均年龄94岁大2岁.如果第三个老人从自己的年龄中分出2个2岁，也就是4岁，使前两个老人各增加2岁，这是，前两位老人的平均年龄是96岁，第三位老人也必须是96岁（因为三位老人的平均年龄是96岁）.所以第三位老人的年龄是
【正确答案】9天
7.初一年级(1)班，男生的2倍和女生合在一起共80人，男生和女生的2倍合在一起共76人.这个班中男、女生各多少人？
【正确答案】男生28，女生24
8.小明有21元钱，小李有13元，两人买了同样多的东西之后，小李剩下的钱数是小明剩下的钱数的一半．他们各自花了多少元？
【正确答案】各用5元
96+2×2=100（岁）.
【随堂练习5】小明的期末考试成绩是：语文、数学、英语三门平均 94分，语义、数学平均95分，小明的英语考了多少分？
苏教版数学四年级上册第24讲 差倍问题
第24讲差倍问题满招损，谦受益。
《尚书》怀辰学校陈海峰组长一、专题简析：解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
在一般财政部下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。
当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数小数×倍数=大数或：小数+差=大数二、精讲精练例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习一1、城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和一年级各有多少人？2、一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。
这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克？练习二1、三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？2、学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。
今年有多少人参加？例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。
足球、排球和篮球各买了多少只？练习三1、玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。
每个月各生产多少个？2、某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。
第三季度生产的是第一季度的3倍。
求每季度各生产多少？例4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。
三年级 第24讲 应用题(一)
（3）一学生计划做 265 道题目．前 5 天平均每天做 21 道题目．后来抓 紧时间，平均每天做 40 道．到全部做完共用了多少天？
【例 Байду номын сангаас】
【例4】姐姐和妹妹各有若干个苹果，姐姐的苹果的 3 倍和妹妹的 2 倍放在一起是 78 个．妹妹的苹果的 3 倍和姐姐的 2 倍放在一 起是 72 个．姐姐有多少个苹果？
课后巩固练习
7. 假如20只兔子可换2只羊,9只羊可换3 头猪,8头猪可换2 头牛.那么，5 头 牛可换多少只兔子？
8. 一筐橘子，连筐共重40千克.将这筐中的橘子取出一半后，剩下的连筐共重 21千克.原来筐中橘子有多少千克？
9. 耕耘一块土地，甲拖拉机单独干要15 天.甲、乙拖拉机合作要10天.耕耘这 块地乙拖拉机单独干要多少天？
本讲知识小结
课后巩固练习
1. 果园中有苹果树100株，梨树80株.后来又栽了 15株苹果树与20株梨 树.现在苹果树比梨树多多少株？
2. 要修一条公路.每天修2 千米.修了 50天,还剩下10千米没修，这条公 路长多少千米？
3. 甲与乙体重共105千克，甲与丙体重共115千克，乙与丙体重共110千 克.甲重多少千克？
小学三年级奥数
——某某某老师
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第24讲—应用题（一）
➢ 数图形问题： 图形中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、 数 正方形、数三角形等．本讲在第13讲的基础上，讲述如何计 算图形中的长方形、正方形以及三角形的个数.
三年级奥数第24讲差倍问题(学生版)
三年级奥数第24讲差倍问题(wèntí)（学生版）学习目标掌握差倍问题(wèntí)的基本解法以及相关的年龄等应用题.熟练应用通过(tōngguò)图示来表示数量关系．知识梳理差倍问题(wèntí)就是已知大小两数的差,以及(yǐjí)大小两数的倍数关系,求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。
解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差,一般情况下,在题目中不直接给出,需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量,然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应,相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－)=1倍数(较小数)倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题,关键是学会画线段图,这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。
典例分析例1、李爷爷家养的鸭比鹅多只,鸭的只数是鹅的倍,你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗?例2、箱子(xiāng zi)里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球,取了几次之后(zhīhòu),乒乓球恰好(qiàhǎo)没有了,羽毛球还有6个,则一共(yīgòng)取了__________次,原来(yuánlái)有乒乓球和羽毛球各__________个．例3、甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少?例4、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱,白粉笔的箱数比彩色笔的倍还多3箱,学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱?例5、有两根铁丝,第一根长18米,第二根长米,两根铁丝用去同样长的一段后,第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍,两根铁丝各剩下多少米?例6、某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍,后来公鸡、母鸡各增加60只,母鸡的只数变为公鸡只数的4倍,则养鸡场原来一共养了___________只鸡。
应用题第24讲_追及问题(学生版)A4
应用题第24讲_追及问题1．两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体．这类应用题就叫做追及问题．2．追及问题注意：被研究的运动过程中，两个物体所运行的时间相等；在整个运行过程中，两个物体所走的是同一路径．3．追及时间＝追及路程÷速度差；追及路程＝速度差×追及时间；速度差＝追及路程÷追及时间．重难点：追及问题及设数法．题模一：基本追及问题例1.1.1小鹏步行上学，每分钟走100米，离家10分钟后，妈妈发现小鹏的高思课本忘在家中，立即带着课本以每分钟200米的速度去追小鹏，妈妈出发__________分钟后追上小鹏．例1.1.2甲、乙两人同时从A地出发去某地，甲的速度是25千米/时，乙的速度是15千米/时，乙出发2小时后甲出发，那么甲出发后_______小时第一次追上乙．例1.1.3甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，同向而行．乙车在前，甲车在后．20小时后甲车追上了乙．已知乙车每小时行50千米，那么甲车每小时行_________千米．例1.1.4小猫和小兔从同一地点同时出发，同向而行，他们都要去小河边去钓鱼．小猫每分种走200米，小兔每分钟走250米．结果小猫要比小兔晚10分钟到达小河边，请问小兔从出发到河边共用了多少分钟？例1.1.5呆头和呆脑分别从相距 500米的 A、B两地同时出发，同向而行，呆头在前，呆脑在后，已知呆脑每分钟能比呆头多走 5 米，经过分钟后，呆脑在呆头前方 100 米处．题模二：设数法例1.2.1已知甲的步行的速度是乙的1.4倍．甲、乙两人分别由A，B两地同时出发．如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？例1.2.2一辆大轿车与一辆小轿车从甲地驶往乙地．大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停留了5分钟，然后继续驶往乙地；小轿车出发后中途没有停留，直接驶往乙地．最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地．已知大轿车是上午10点从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间．题模三：对路程差的分析例1.3.1甲、乙两车分别从东、西两地同时出发相向而行．已知甲车较快，每小时行45千米，乙车每小时行37千米．那么出发后经过__________小时，两车会在距离东、西两地中点12千米处相遇？例1.3.2小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发．小轿车每小时行60千米，大货车每小时行48千米．请问：下午几点小轿车领先大货车72千米？例1.3.3小仁每天早上6:30从家出发，步行前进，正好准时到达学校．某天早上，小仁起晚了，6:50才从家出发，于是他跑步到达学校，还是迟到了10分钟．如果小仁步行每分钟走40分钟，跑步每分钟跑60米．那么小仁家距离学校_______米．例1.3.4甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A，B两点间的距离是___________米．例1.3.5两辆汽车从A地同时出发开往B地，快车比慢车每小时多行6千米．快车比慢车早30分钟通过中途的C地，当慢车到达C地时，快车已经又行了30千米到达B地．A、C两地的距离多少千米？随练1.1甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米．那么经过_________分钟后，乙追上了甲．随练1.2甲、乙两镇相距100千米．上午7点，一辆汽车和一辆马车分别从甲、乙两镇同时出发，同向而行，马车在前，汽车在后．汽车的速度是每小时行50千米，马车的速度是每小时行30千米．那么经过_________小时，汽车会追上马车．随练1.3甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？随练1.4墨莫步行上学，每分钟行75米．墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上墨莫所需要的时间．随练1.5勤勤和懒懒分别从相距400米的勤劳城和懒惰城出发，相向而行．勤勤出发40分钟后，懒懒才出发，10分钟后两人第一次相距100米，再过20分钟两人第二次相距100 米．请问：（1）从懒懒出发到两人相遇经过了多长时间？（2）勤勤的速度是多少？（3）懒懒的速度是多少？随练1.6甲、乙两车同时从A城市出发驶向距离300千米远的B城市.已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B城市．那么，甲车在距离B城市_______千米处追上乙车．随练1.7甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发，同向而行．乙车在前，甲车在后．已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行30千米．那么出发后经过_________小时，甲车会领先乙车300千米．随练1.8乌龟爷爷的速度是每秒钟走5米，蜗牛大哥的速度是每秒钟走3米．某一天他们都在河边行走，乌龟爷爷在蜗牛大哥后面50米，请问再过多长时间他们会再次相距50米？随练1.9A，B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A，B同时出发，同向而行．甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：①出发算起，多久后甲车第一次追上乙车？②从出发算起，多久后甲、乙两车相距200千米？随练1.10大兔子和二兔子一起和乌龟赛跑，为了体现公平精神，两只兔子的出发点A落后乌龟的出发点B一段距离，三只动物同时出发，大兔子比较快，先追上乌龟，当大兔子追上乌龟的时候，二兔子还落后它们30千米，接着三只动物继续向前跑，当二兔子追上乌龟的时候，大兔子已经超过它们40千米了．二兔子看到心里不高兴了，说：“重来！”，于是三只动物回到出发点，但是这一次二兔子站到了B点，大兔子和乌龟的出发位置不变，如果三只动物的速度不变，还是同时向前出发，那么当大兔子追上二兔子的时候，乌龟落后它们_______千米．作业1京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而行，客车在前，货车在后．已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米．那么出发后多长时间货车追上客车？作业2姐姐步行的速度是每分钟75米，妹妹步行的速度是每分钟65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹，问姐姐多少分钟后追上妹妹？这时离出发地多少米？作业3小明以50minm的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，小强骑自行车的速度是______minm．作业4学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米/分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米．求走完全程学生队伍步行需多长时间？作业5快羊羊和慢羊羊分别从羊村的村东头和村西头同时出发，相向而行，30分钟后他们在途中的某地相遇．相遇后两只羊并不停留，继续按原来的方向前行，快羊羊又走了10分钟到达村西头．这时，快羊羊马上返回追慢羊羊，请问它追上慢羊羊还需要__________分钟？作业6温老师骑车去送一个快递，如果以10千米/时的速度前进，下午1点到，如果以15千米/时的速度前进，上午11点到．那温老师送这个快递所需要走的路程是____________．作业7姐姐和妹妹在同一所学校读书，姐姐每分钟走60米，妹妹每分钟走40米，有一天妹妹先走5分钟后，姐姐才从家出发，当妹妹到达学校时，姐姐正好追上妹妹也到达学校，问她们家离学校有__________米？作业8一列客车从甲站开往乙站，每小时行65千米；一列货车从乙站开往甲站，每小时行60千米．已知货车比客车早开出5分钟，两车相遇地点距甲乙两站中点10千米．求甲乙两站之间的路程．。
第24讲在变化中找规律2023-2024学年人教版四年级数学尖子生突破练习
第24讲在变化中找规律专题概述事物的发展变化都是有规律的，那么怎样才能找到规律呢?这就要求我们认真观察事物，只有这样我们才能更好地了解和掌握它。
从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常会出现一些数或者图形，它们的计算或者排列往往有一定的规律，我们要通过观察、思考去发现这些规律，也就是发现和总结数与数、图形与图形的内在联系和变化规律，然后就能分析和解决问题了。
寻找数列规律的简单方法：根据两个相邻数的关系寻找规律；或根据相隔的两个数的关系寻找规律；或根据相邻的三个数的关系寻找规律。
我们一般会遇到以下类型的问题：(1)寻找数字规律的填空题、计算题、应用题；(2)寻找图形规律的填空题、计算题、应用题。
典型例题11.先找出下列各数排列的规律，并根据规律在括号内填上适当的数。
(1) 1,4,7,10,( ),( ),19,22(2)2,3,5,8,12,( ),23,30(3)243,( ),( ),0,27,0,9,0,3分析 (1)观察前面四个数,可以发现:4-1=3,7-4=3,10-7=3,故可猜想这列数中的每一个数减去3后都等于它的后一位数，根据这个规律先在括号内填上适当的数，再检查一下即可；(2)把相邻两个数相减，依次得差：1，2，3，4，故可猜想这列数中，从第二个数起，每一个数与它前面的那个数的差依次递增1；(3)每个0的两边的数都不是0，每一个非零的数除以3后都等于后面的非0数。
解 (1) 13,16;(2) 17;(3)0,81思维训练11.计算出下面数列从左往右数的第10个数是什么?1,7,13,19,25,…2. 数列1,5,14,30,55,91,…,中的第9个数是多少?典型例题2请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数。
1×8+1=( );12×8+2=( );123×8+3= ( );1234×8+4=( );12345×8+5=( );123456×8+6=( );1234567×8+7=();12345678×8+8=( );123456789×8+9=( )。
第24讲 倒推法
第24讲 倒推法【知识概述】在分析应用题过程中有顺推法和倒推法。
一般地说，从应用题的条件出发，一步一步向后推，直到解决问题，这种思考途径就是顺推法；反过来，从应用题的问题出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题，这种思考途径就是倒推法。
倒推法是一种很重要的数学思考方法，也是分析应用题时常用的方法。
【典型例题】例1 小明爸爸的年龄加上8，再除以8，再减去2后，扩大10倍是30岁，小明的爸爸今年有多少岁？【思路导航】本题通过一系列的变化后，最后得到爸爸３０岁，我们从最后的结果往前推，爸爸的岁数扩大１０倍是３０岁，那么，爸爸的岁数缩小１０倍得３０÷１０＝３（岁），再往前一步３+２＝５（岁），再往前一步就是５⨯８＝４０（岁），最后一步４０-８＝３２（岁），这就是爸爸的年龄。
解：（30÷10＋２）⨯８-８＝32（岁）答：小明的爸爸今年有32岁。
例2 一瓶油吃去千克51千克，又吃去余下的43，瓶中还有0.2千克,这瓶油原来是多少千克？ 【思路导航】解答这类问题，在弄懂题意的前提下，从问题出发，用倒推法进行分析，这个逆向分析的顺序，可以用下面的线段图来表示：由上图我们很容易得到下面结果：(1)最后还剩下余下千克数的几分之几？41431=-(2)余下的是多少千克？8.0412.0=÷（千克） (3)这瓶油原来是多少千克？51+０．８＝1（千克） 解：51＋1(2.0÷－43）＝１（千克） 答：这瓶油原来是1千克。
例3 赵昱老师有一批书，给第一个同学1本，又给余下的一半；接着给第二个同学1本，又给余下的一半；再给第三个同学1本，又给余下的一半；最后又给第四个同学1本，再加15本，手中还剩8本。
问赵老师原来有书多少本？【思路导航】这道题如果用顺推法来分析解答，比较麻烦，甚至无从下手，但从结果出发，采用倒推的方法，就比较巧妙了。
解：(1) 先求没有给第四个同学时，手中有书：8+15+1=24（本）(2) 再求没有给第三个同学时，手中有书：24=+÷12149（本） (3) 然后求没有给第二个同学时，手中有书：49=+÷12199（本） (4) 最后求没有给第一个同学时，手中有书：99=+÷121199（本） 答：赵老师原有书199本。
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第24讲和倍应用题
小学数学中有各种各样的应用题。
根据它们的结构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答的典型应用题。
比如，和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。
和倍应用题的基本“数学格式”是：
已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。
上面的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。
为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：
从线段图知，“和”是小数的(倍数+1)倍，所以，
小数=和÷(倍数+1)。
上式称为和倍公式。
由此得到
大数=和-小数，
或大数=小数×倍数。
例如，大、小二数的和是265，大数是小数的4倍，则
小数=265÷(4＋1)=53，
大数=265-53=212或53×4=212。
例1甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。
甲、乙两仓库各存粮多少吨？
分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。
根据和倍公式即可求解。
解：乙仓库存粮 264÷(10＋1)＝24(吨)，甲仓库存粮
264-24=240(吨)，
或
24×10＝240(吨)。
答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。
例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。
已知甲车的速度是乙车速度的2倍。
甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？
分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。
现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。
由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1时共行 360÷2＝180(千米)，这就是两辆车的速度和。
解：乙车的速度为
(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/时)，
甲车的速度为
60×2=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。
答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。
从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“和”是谁。
例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出。
下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。
例3甲队有45人，乙队有75人。
甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？
分析：容易求得“二数之和”为 45＋75=120(人)。
如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。
这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。
倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。
由此画出线段图如下：
从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。
从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。
由和倍公式可以求解。
解：甲队调动后剩下的人数为
(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝
15(人)。
答：甲队要调15人到乙队。
例4妹妹有书24本，哥哥有书53本。
要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？
仿照例3的分析可得如下解法。
解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下
(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。
故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。
答：妹妹给哥哥书13本。
例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。
后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。
这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。
问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。
但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。
线段图如下：
根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数)
(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，
故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇
160-15＝145(个)。
答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。