2022年 拓展资料常见的新定义数列问配套精选卷

常见的新定义数列问题
近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题．
一、等和数列
【例1】 〔2021·北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一
个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
数列是等和数列，且，公和为，那么的值为 ，且这个数列的前项和的值
为 ．
【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设是等和数列，公和为，那么由等和数列的定义知，数
列的各项依次为即
【解析】 因为，公和为，所以，． 二、等积数列
【例2】 〔2021·保定市高考模拟〕在一个数列中，假设每一项与它的后一项的积都为同一个常数〔有
限数列的最后一项除外〕，那么称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．假设数列是等积数列，且，公积为，那么〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．
设是等积数列，公积为，那么由等积数列的定义知，数列的各项依次为
即 【解析】 由可得：，又因为，公积为，所以，，应选C ． 三、等方比数列
【例3】 〔2021·湖北〕假设数列满足，〔为正常数，〕，那么称为“等方比数列〞．
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，那么〔 〕
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
为奇数； 为偶数．
为奇数； 为奇数；
为偶数．
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】由等比数列的定义数列，假设乙：是等比数列，公比为，即，那么甲命题成立；反之，假设甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不一定为，那么命题乙不成立，应选B．
四、绝对差数列
【例4】〔2021·北京〕在数列中，假设是正整数，且，，那么称为“绝对差数列〞．
⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列〞〔只要求写出前项〕；
⑵假设“绝对差数列〞中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求
出其极限值；
⑶证明任何“绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项．
【分析】关键是读懂题目中“绝对差数列〞的含义．
【解析】⑴，，，，，，，，，．〔答案不唯一〕；
⑵在“绝对差数列〞中，因为，，所以自第项开始，，，，，，…，即每个相邻的项周期地取值，，，
所以当时，的极限不存在，而当时，，所以．
⑶证明根据定义，数列必在有限项后出现零项．证明如下：
假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，，当时，，即的值要么比至少
小，要么比至少小；令那么
由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在，这与矛盾．
所以必有零项．
假设第一次出现的零项为第项，记，那么自第项开始，第三个相邻的项周期地取值，，，
即，，，．
所以“绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项．
五、对称数列
【例5】〔2021·上海〕假设有穷数列，，〔是正整数〕，满足，，…，，即〔是正整数，且〕，就称该数列为“对称数列〞．
⑴数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
⑵是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，那么当为
何值时，取到最大值？最大值为多少？
⑶对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当
时，试求其中一个数列的前项和．
【解析】⑴设的公差为，那么，解得，
所以数列为．
⑵
，
，
所以当时，取得最大值．
的最大值为．
⑶所有可能的“对称数列〞是：
①；
②；
③；
④．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
六、一阶差分数列
【例6】〔2021·青岛质检〕对于数列，定义为数列的“一阶差分数列〞，其中．
⑴假设数列的通项公式，求的通项公式；
⑵假设数列的首项是，且，
①证明数列为等差数列；
②求的前项和．
【解析】⑴依题意，所以．
⑵①因为，所以，即，
所以，又因为，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
②由①得：．
所以．
所以．
错位相减得：．
七、周期数列
【例7】在数列中，如果存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列〞，其中叫做数列的周期．数列满足，如果，，当数列周期为时，那么该数列的前项的和为〔〕A．B．C．D．
【解析】由题知，，，
所以或，
因为，，所以，即得：，即数列自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，．
而，
所以，选D．。