2020年山西省大同市示范中学高二数学文联考试题含解析

2020年山西省大同市示范中学高二数学文联考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以下说法，正确的个数为：（）
①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理.
②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的.
③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理.
④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理.
A.0
B.2
C.3
D.4
参考答案：
C
2. 已知直线与平面，下列条件中能推出的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800。

为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高
二、高三年级抽取的人数分别为（）
A.，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
参考答案：
D
4. 已知函数f（x）=log2x，任取一个x0∈[，2]使f（x0）＞0的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】根据对数不等式的解法求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由f（x0）＞0得log2x0＞0，得1＜x0≤2，
则任取一个使f（x0）＞0的概率P==，
故选：D．
5. 已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
6. 已知实数满足且，不等式
M恒成立，则M的最大值是 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
7. 命题“若，则”的逆否命题是（）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
参考答案：
C
命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，
所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，故选．
8. 已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）
A．0 B．﹣C．0 或﹣D．0 或 1
参考答案：
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先用曲线的切线斜率是曲线在切点处的导数，求出两曲线在点x0处的切线斜率，再根据两切线平行，切线斜率相等求出x0的值．
【解答】解：y=x2﹣1的导数为y′=2x，
∴曲线y=x2﹣1在点x0处的切线斜率为2x0
y=1﹣x3的导数为y=﹣3x2，
∴曲线y=1﹣x3在点x0处的切线斜率为﹣3x02
∵y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，
∴2x0=﹣3x02
解得x0=0或﹣．
故选C．
9. 用秦九韶算法计算多项式当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）
A．6，
6 B． 5, 6 C． 5, 5
D． 6, 5
参考答案：
A
10. 某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）
A.2400
B.2700
C.3000
D.3600
参考答案：
C
试题分析：（人），故选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则
的面积为。

参考答案：
1
12. 若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围
是．
参考答案：
[﹣2，2]
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立，通过△=9a2﹣72≤0，从而解出实数a的取值范围．
【解答】解：命题“?x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，
即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题．
△=9a2﹣72≤0，解得﹣2≤a≤2，
故答案为：[﹣2，2]
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化数学思想，属中档题．
13. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率
的取值范围是.
参考答案：
或
略
14. 若sin+cos＝，则sin2＝＿＿＿＿＿
参考答案：
15. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．
参考答案：
5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，
亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．
设p（x）=+2，则p′（x）=，
令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，
所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．
因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，
所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），
当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．
所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]min∈（5，6），
故整数k的最大值是5．
故答案为：5．
16. 设双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则该双曲线的离心率为___________．
参考答案：
e＝＝
略
17. 从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则
为 .
参考答案：
解析：.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)设，若对任意的，恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；
在上单调递减；(Ⅱ).
【分析】
（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.
【详解】(Ⅰ) ,
(1)若，则，函数在上单调递增；
(2)若，由得；由得
函数在上单调递增；在上单调递减.
(Ⅱ)由题设，对任意的恒成立
即对任意的恒成立
即对任意的恒成立,
由(Ⅰ)可知，
若，则，不满足恒成立,
若，由(Ⅰ)可知，函数上单调递增；在上单调递减.
，又恒成立
，即,
设，则
函数在上单调递增，且，
，解得
的取值范围为.
19. 已知函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值．
（1）求实常数m的值．
（2）求函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）由f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣2，或
x=2，列表讨论，能求出m=4．
（2）由m=4，得f（x）=，由此能求出函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上的极小值．
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣4x+m，
∴f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2，
列表讨论，得：
∴当x=﹣2时，f（x）取极大值，
∵函数f（x）=﹣4x+m在区间（﹣∞，+∞）上有极大值，
∴，
解得m=4．
（2）由m=4，得f（x）=，
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=﹣．
【点评】本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
20. 已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b即可；
（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以．
又函数f（x）在x=1处有极值，
所以即
可得，b=﹣1．
（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），
且
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
21. （本小题满分13分）已知椭圆的离心率．
(1)求椭圆E的方程
(2)斜率k=1的直线交椭圆于A、B,交y轴于，当弦，求的值
参考答案：
22. （本题满分14分）
已知命题p：函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数；命题q：关于x的方程x2－2ax ＋4＝0有实数根．若p∧q为真，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：当p为真命题时，a＞1．……………………………3分
当q为真命题时，△＝4a2－16≥0．
解得a≤－2或a≥2．…………………………………………6分
因为p∧q为真，所以p和q都是真命题．
…………………………………10分
所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．………………………14分
略。