2020-2021学年衡水中学高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年衡水中学高三上学期期中数学试卷(文科)
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
已知集合A ={x|lgx >−1}，B ={x|x 2−2x −8<0}，则A ∩B =( )
A. ⌀
B. (1
10,2)
C. (1,4)
D. (1
10,4)
2.
复数z 满足：(z −i)(1−i)=2，则z =( )
A. −1−2i
B. −1+2i
C. 1−2i
D. 1+2i
3.
下列命题中真命题的个数是( )
①
②若
是假命题，则p ，q 都是假命题；
③命题“”的否定是“
”
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 公比为
等比数列
的各项都是正数，且
，则
=( )
A.
B. C. D.
5. 如图，在正六边形ABCDE 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +
μAF
⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)则λ+μ的取值范围( ) A. [1,2] B. [2,3] C. [2,4]
D. [3,4]
6. 在△ABC 中，BC =1且cosA =−√10
10
，B =π
4，则BC 边上的高等于( ) A. 1
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
4
7. 在△ABC 中，若tanA
tanB =sin 2A
sin 2B ，则△ABC 为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
8. 已知等差数列{a n }中，a 7=1
4，则a 6+a 7+a 8等于( )
A. 1
4
B. 1
2
C. 3
4
D. 111
9. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2+x)=−f(x)，且当x∈[0,1]时
f(x)=−x2+1，则方程f(x)=k，k∈[0,1)在[−1,5]的所有实根之和为()
A. 0
B. 2
C. 4
D. 8
10. 若f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2)的周期为π且图象关于x=2π
3
对称，则()
A. f(x)的图象过点(0,1
2
)
B. f(x)在[π
12,2π
3
]上是单调递减函数
C. 将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象
D. f(x)的一个对称中心是(5π
12
,0)
11. 若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是()
A. B. C. D.
12. 已知函数f(x)=e x，x>0，则曲线y=f(x)与曲线y=e2
4
x2的公共点的个数为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设向量a⃗=(1,cosθ)与b⃗ =(−1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于______ ．
14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B=π
3
，D是BC的中点，AD=√3，则BC+AB 的最大值是______．
15. 已知公比为q的等比数列{an}，满足a1+a2+a3=−8，a4+a5+a6=1，则a1
1−q
=______．16. 若曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切
线”.下列方程①x2−y2=1；②y=x2−|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=√4−y2；
⑤x2
16+y2
9
=1对应的曲线中存在“自公切线”的有______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设数列{a n}的所有项都是不等于1的正数，{a n}的前n项和为S n，已知点P n(a n,S n),n∈N∗在直
线y=kx+b上(其中常数k≠0，且k≠1)数列，又b n=log1
2
a n．
(1)求证数列{a n}是等比数列；
(2)如果b n=3−n，求实数k、b的值；
(3)若果存在t，s∈N∗，s≠t使得点(t,b s)和(s,b t)都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，
当n>M(n∈N∗)时，a n>1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．18. 已知△ABC的三内角为A，B，C，m⃗⃗⃗ =(−1,√3).n⃗=(cosA,sinA).且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=1，1+sin2B
=−3．
cos2B−sin2B
(1)求角A；
(2)若AC边的长为√15，求△ABC的面积S．
19. 已知等比数列{a n}满足2a3+a5=3a4，且a3+2是a2与a4的等差中项．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=a n
，求数列{b n}的前n项和S n．
(a n−1)(a n+1−1)
20. 如图所示B岛在A岛南偏东方向，距离A岛4√3海里，A岛观察
所发现在B岛正北方向与A岛的北偏东方向的交点处D有海上
非法走私交易活动，A岛观察人员马上通知在B岛东北方向，距离
B岛7海里C处的缉私艇在半小时内赶到D处，求缉私艇的速度至
少每小时多少海里？
21. 已知函数f(x)=lnx−ax2−bx−2，a∈R．
(Ⅰ)当b=2时，试讨论f(x)的单调性；
)，方程f(x)=0恒有2个不等的实根，求a的取值范围．
(Ⅱ)若对任意的b∈(−∞,−3
e
22. 已知函数f(x)=x+4
．
x
(1)判断f(x)在(2,+∞)上的单调性并用定义证明；
(2)求f(x)在[1,4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：∵A={x|x>1
10
}，B={x|−2<x<4}，
∴A∩B={x|1
10
<x<4}．
故选：D．
求出集合的等价条件，结合集合交集定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集定义是解决本题的关键．比较基础．
2.答案：D
解析：解：由(z−i)(1−i)=2，得
z−i=2
1−i =2(1+i)
(1−i)(1+i)
=2(1+i)
2
=1+i，
∴z=1+2i．
故选：D．
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式乘除运算求解．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.答案：C
解析：解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；
②正确，需要两个命题为假即可；
③正确，全称命题的否定是特称命题，
即只有一个命题是正确的，
故选C．
4.答案：B
解析：试题分析：∵，∴或−4(舍)，又公比为，∴，∴，故选B
考点：本题考查了等比数列的通项及性质
点评：熟练运用等比数列的通项公式及性质是解决此类问题的关键，属基础题
5.答案：D
解析：试题分析：通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点P 的坐标写出动点P 的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到λ，μ与x ，y 的关系代入点P 的可行域得λ，μ的可行域，利用线性规划求出λ+μ的取值范围
建立如图坐标系，设AB =2，则A(0,0)，B(2,0)， C(3,√3)，D(2,2√3)，E(0,2√3)，F(−1,√3)
则EC 的方程：x +√3y −6=0；CD 的方程：√3x +y −4√3=0； 因P 是△CDE 内(包括边界)的动点，则可行域为{x +√3y −6≥0
√3≤y ≤2√3x +y −4√3≤0
又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)， 所以(x,y)=λ(2,0)+μ(−1,√3)
得{
x =2λ−μy =√3μ⇒{2λ−μ+√3⋅√3−6≥0
√3≤μ≤2√3⇒{λ+μ≥31≤μ≤2λ≤2⇒3≤λ+μ≤4． 则λ+μ的取值范围为[3,4]． 故选 D ．
6.答案：C
解析：解：∵cosA =−√10
10
，B =π
4，
∴sinA =√1−cos 2A =
3√10
10
，可得：sinC =sin(A +B)=
√5
5
， 由AB
sinC =BC
sinA ，BC =1，可得：AB =√2
3
，
∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sinB =1
6，
设BC 边上的高为h ，S △ABC =1
2BC ⋅ℎ=1
6， ∴ℎ=1
3，。