高三数学12月调研考试试题 理 试题

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第
一学期高三12月份调研卷
数学〔理科〕试题
考试时间是是120分钟，总分值是150分。

仅在答题卷上答题。

一、选择题〔此题有12小题，每一小题5分，一共60分。

〕
1.假设全集为实数集R ，集合
()12log 210A x x ⎧⎫
=->⎨⎬⎩⎭
，那么
〔〕
A.1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.[)10,1,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦ D.[)1,1,2⎛
⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
2.假设12i
z i
+=
,那么复数z =〔〕
A.2i --
B.2i -+
C.2i -
D.2i +
3.假设变量,x y 满足约束条件2{ 1 1
y x
x y y ≤+≤≥-,那么2x y +的最大值是〔〕
A.52-
B.0
C.52
D.53
4.在ABC ∆中，点D 为边
AB 上一点，假设BC CD ⊥，32AC =，3AD =，3
sin 3
ABC ∠=
，那么ABC ∆的面积是〔〕
A.
922
B.
1522
C.62
D.122
5.如下列图的一个算法的程序框图，那么输出的最大值为〔〕
A.
B.2
C.
D.
6.抛物线2:4M
y x =，圆()2
22:1N x y r -+=(0)r >．过点()1,0的直线l 交圆N 于,C D 两点，
交抛物线M 于
,A B 两点，且满足AC BD
=的直线l 恰有三条，那么r 的取值范围为()
A.30,
2r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.(]1,2r ∈ C.()2,r ∈+∞ D.3,2r ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
7.函数
()(0,1)
x f x a b a a =+>≠的图象经过点
()
1,3P ，
()
2,5Q ．当
*
n N ∈时，
()()()
1
1n f n a f n f n -=
⋅+，记数列
{}n a 的前n 项和为n S ，当10
33
n S =
时，n 的值是〔〕 A.7B.6 C.5D.4 8.以下函数中，在[]1,1-上与函数2cos 2
x
y =的单调性和奇偶性都一样的是〔〕 A.
22x x y -=- B.1y x =+ C.()2
2y x x =+ D.22y x =-+
9.函数f(x)＝e x －(x ＋1)2
(e 为1828…)，那么f(x)的大致图象是()
A. B. C. D.
10.设1F 、2F 分别为双曲线22
2
1x y a b
-=〔0a >，0b >〕的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点．假设
2
12
PF PF 的最小值为8a ，那么该双曲线离心率e 的取值范围是〔〕．
A.
()0,2 B.(]1,3 C.[)2,3 D.[]3,+∞
11.设当x
θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-获得最大值，那么cos θ=〔〕
A.
5
5 B.
55
255
-
D.55
-
12.在平行四边形
ABCD 中，60A ∠=︒，边2AB =，1AD =，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
BM
CN BC
CD
=，那么
AM AN ⋅的取值范围是〔〕
A.
[]1,3 B.[]1,5 C.[]2,4 D.[]2,5
二、填空题〔此题有4小题，每一小题5分，一共20分。

〕 13.在ABC ∆中，3AB =，5AC =，假设O 为ABC ∆外接圆的圆心〔即满足OA OB OC ==〕，
那么
·AO BC 的值是__________.
14.抛物线
22(0)
y px p =>的焦点为
F
，准线为
l
，
A B
，是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB π
∠=
，设线段
AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么
MN AB
的最大值是__________．
15.函数
()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，假设()f x 在区间(),2ππ上存在零点，那么ω的取值范围
为__________． 16.数列
的前项和是
，且
，那么数列
的通项公式
__________．
三、解答题〔此题有6小题，一共70分。

〕 17.〔12分〕设函数()log (2)log (3),a a f x x a x a =-+-其中0a >且1a ≠.
〔1〕
(4)1f a =,求a 的值；
〔2〕假设在区间[3,4]a a ++上()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.
18.〔10分〕双曲线
＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．
(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－，
求双曲线的离心率．
19.〔12分〕等比数列
{}n a 中，*112
1112
0,,,64n n n n a a n N a a a ++>=
-=∈. 〔1〕求
{}n a 的通项公式；
〔2〕设()()
2
21?log n
n
n b a =-，求数列
{}n b 的前2n 项和2n T .
20.〔12分〕如图，椭圆22122:1
x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F 3；过
抛物线22
:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N
两点，当
7
4
MF =
时，M 点在x 轴上的射影为1F 。

连结,NO MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ；OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为
OMN S ∆，OAB S ∆，设OMN
OAB
S S λ∆∆=
.
〔Ⅰ〕求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； 〔Ⅱ〕求λ的取值范围.
21.〔12分〕函数
()()(0,)2
2
f x x π
π
ωφωφ=+>-
≤<
的图象关于直线3
x π
=
对称，且图象
上相邻两个最高点的间隔为π. 〔1〕求ω和φ的值；
〔2〕假设
2()26
3f αππα⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.
22.〔12分〕设函数()()ln ,1x f x x g x xe x ==--.
(1)关于x 的方程()210
3
f x x m =-
+在区间[]1,3上有解，求m 的取值范围； (2)当0x
>时，()()g x a f x -≥恒成立，务实数a 的取值范围.
数学〔理科〕试题参考答案
6.C8.D9.C10.B11.C
1115,,848⎛⎫⎛⎫⋃+∞
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6.
17.〔1〕1
2
a =
.〔2〕01a <<. 【解析】〔1〕
1(4)log (42)log (43)12
a a f a a a a a a =-+-=⇒=
. 〔2〕
2
2
2
25()log (56)log [()],24
a a a a f x x ax a x =-+=--
由2030
x a x a ->⎧⎨
->⎩得3,x a >由题意知33,a a +>故3
2a <，
从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数2
25()()24
a g x x a =--在区间[3,4]a a ++上单调递增.
①假设01,a <<那么
()f x 在区间[3,4]a a ++上单调递减，所以()f x 在区间[3,4]a a ++上的最大
值为
2(3)log (299)1a f a a a +=-+≤，即2299a a a -+≥，解得5757
22
a a +-≥
≤或，
又01a <<，所以01a <<. ②假设3
1,2
a <<那么()f x 在区间[3,4]a a ++上单调递增，所以()f x 在区间[3,4]a a ++上的最大值为
2(4)log (21216)1a f a a a +=-+≤，221216a a a -+≤，
解得
13411341
42
a -+≤≤，与3
12
a <
<
联立无解. 综上：01a <<. 18.〔1〕
＝1〔2〕
【解析】(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±x ，∴a ＝b ， ∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，∴a 2
＝b 2
＝2，∴双曲线方程为＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
∴直线AO 的斜率满足·(－
)＝－1，∴x 0＝y 0.①
依题意，圆的方程为x 2
＋y 2
＝c 2
， 将①代入圆的方程得3＋＝c 2
，即y 0＝c ，∴x 0＝c ，
∴点A 的坐标为
，代入双曲线方程得
＝1，即b 2c 2
－a 2c 2
＝a 2b 2
，②
又∵a 2
＋b 2
＝c 2
，∴将b 2
＝c 2
－a 2
代入②式，整理得c 4
－2a 2c 2
＋a 4
＝0， ∴3
4－8
2
＋4＝0，
∴(3e 2－2)(e 2
－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝，
∴双曲线的离心率为.
19.〔1〕17*1
22,64
n n n
a n N --=
⨯=∈〔2〕2213n n - 【解析】〔1〕设等比数列
{}n a 的公比为q ，那么0q >，
因为
12
112n n n a a a ++-=，所以
11
111112
n n n a q a q a q -+-=
，
因为0q >，解得2q =，
所以17*1
22,64
n n n a n N --=
⨯=∈； 〔2〕()()()(
)()()
2
2
2
7
221?log 1?log 2
1?7n
n
n
n n n b a n -=-=-=--，
设7n
c n =-，那么()()
2
1?n
n n b c =-，
()()2123421226272132132
n n n n c c c c c c n n n n -⎡⎤-+-⎣⎦
=++++++=
=-=-.
20.(1)2
214
x y +=,24x y =;(2)[)2,+∞.
【解析】〔Ⅰ〕由抛物线定义可得7,4M
c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
∵点M 在抛物线2
4x
by =上，
∴2
744c
b b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =-①
又由
2
c a =
，得223c b = 将上式代入①，得277b b =
解得1,b =
∴c
=
2a ∴=，
所以曲线1C 的方程为2214
x y +=，曲线2C 的方程为24x y =。

〔Ⅱ〕设直线MN 的方程为
1y kx =+，
由2
1
{
4y kx x y
=+=消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)M
x y （，()2,
2
N x y .
那么124x x =-，
设ON
k m =，'OM k m =，
那么21122111
'164
y y mm x x x x =
⋅==-， 所以1
'4m m
=-
，② 设直线ON 的方程为
y mx =(0)m >，
由2{
4y mx
x y
==，解得4N x m =，
所以
4N ON ==，
由②可知，用1
4m
-
代替m ，
可得2
211111416M OM x m m m ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭
，
由2
2
{ 1
4
y mx
x
y =+=，解得2
241
A x m =
+，
所以
22
2
21141
A m OA m x m +=+=
+，
用1
4m
-
代替m ，可得2
22
1
21116116114B m OB x m m
+
=+
=+
所以
2222
22
1141116=
1
21211614114OMN OAB
m m ON OM S m m S OA OB m m m m λ∆∆+⋅
+⋅==
⋅++⋅
++ 1
222m m
=+
≥，当且仅当1m =时等号成立。

所以λ的取值范围为
[)2,+∞.
21.〔1〕
；〔2〕
.
【解析】〔1〕由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，2==2π
πωω
∴
∴，
再根据图象关于直线3
x π
=
对称，可得2+,3
2
k k Z π
π
φπ⨯
=+
∈
结合2
2
π
π
φ-
≤<
，可得6
π
φ=-
〔2〕
32()263f αππα⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
再根据06
2
π
π
α
<-
<
22.〔1〕35ln32,ln
24⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
；〔2〕0a ≤.
【解析】〔1〕方程
()2103f x x x m =-
+即为27ln 3x x x m -+=，
令()()2
7ln 03
h x x x x x =-+>，那么()()()312317'
233x x h x x x x
+-=-+=-
，∴当[]1,3x ∈时，()()',h x h x 随x 变化情况如表：
()()443351,3ln32,ln 33224
h h h ⎛⎫=
=-<=+ ⎪⎝⎭，
∴
当[]
1,3x ∈时，
()35ln32,ln 24h x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，m ∴的取值范围是35ln32,ln 24⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦.
〔
2
〕
依
题
意
，
当
x >时，
()()g x f x a
-≥恒成立，令()()()()
ln 10x F x g x f x x e x x x =-=⋅--->，
那
么
()()()()11
'111x x x F x x e x e x x
+=+⋅-
-=⋅⋅-，令()1x
G x x e
=⋅-，那么当0
x >时，
()()'10x G x x e =+⋅>，∴函数()G x 在()0,+∞上递增，()()010,110G G e =-=-，()G x ∴存在唯一的零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >，
那么当
()0,x c ∈时，()'0E x <，当(),x c ∈+∞时，()'0F x >，()F x ∴在()0,c 上递减，在
(),c +∞上递增，从而()()2ln 1F x F c ce c c ≥=---，由()0G c =得10,1c c ce ce -==，两边
取对数得ln 0c c +=，()()()0,0,0F
c F x F c a ∴=∴≥=∴≤，即实数a 的取值范围是0a ≤.。