2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含解析）
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B I =（）ð（ ） (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}
【答案】B 【解析】
试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B I =（）ð,故选B. 考点：集合运算
2.设变量,y x 满足约束条件2020280
x x y x y ì-?ïï
-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
【答案】
C
考点：线性规划
3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
【答案】C 【解析】
试题分析：由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选
C.
考点：程序框图.
4.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.
考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.
5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()2
22y 3x -+=相
切,则双曲线的方程为（ ）
(A)
221913x y -= (B) 221139
x y -= (C) 2213x y -= (D ) 22
13y x -= 【答案】D
考点：圆与双曲线的性质.
6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)
83 (B) 3 (C) 103 (D) 5
2
【答案】A
【解析】
试题分析：由相交弦定理可
18,33
CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=
⨯⇒== 故选A. 考点：相交弦定理
7. 已知定义在R 上的函数
||()21()
x m f x m -=-为实数为偶函数,记
0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】
试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.
8. 已知函数2
2||,2
()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî
,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
【答案】A
考点：函数与方程.
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. i 是虚数单位,计算12i
2i
-+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】
试题分析：
()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i
-+---===-+++. 考点：复数运算.
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3
m .
【答案】
8π3
【解析】
试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为
318π2π1π2(m )33
⨯⨯⨯+⨯= .
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3 【解析】
试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.
12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】
试题分析：()()()()22
222222
log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭
当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==
考点：基本不等式.
13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o
点E 和点F 分别在线段BC 和CD
上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
【答案】29
18
【解析】
试题分析：在等腰梯形
ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o
得
12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考
点：平面向量的数量积.
14. 已知函数
()()sin cos 0,,
f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数
()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．
【答案】
π2
【解析】
试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π
2ωω
≤
,且
()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛
⎫=+=⇒+= ⎪⎝
⎭,
所以2
πππ
.422
ωω+
=⇒= 考点：三角函数的性质.
三、解答题：本大题共6小题,共80分.
15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
（i ）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）3,1,2；（II ）（i ）见试题解析；（ii ）
3
5
【解析】 试题分析：（I ）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）一一列举,共15种；（ii ）符合条件的结果有9种,所以()93.155
P A =
=. 试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,
{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.
（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93
.155
P A =
= 考点：分层抽样与概率计算.
16. （本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为
315,1
2,cos ,4
b c A -==-
（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 【答案】（I ）a =8,15sin 8C =（II ）153
16
. 【解析】
考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.
17. （本小题满分13分）如图,已知
1AA ⊥
平面ABC ,
11,BB AA P
AB =AC =3,1
25,7BC AA ==,,127,BB = 点E ,F 分别是BC ,1A
C 的中点. （I ）求证：EF P 平面11A B BA ； （II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB .
（III ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.
【答案】（I ）见试题解析；（II ）见试题解析；（III ）30o . 【解析】 试题分析：（I ）要证明EF P 平面11A B BA , 只需证明1EF BA P 且EF ⊄ 平面11A B BA ；（II ）要证明平面
1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥；（III ）取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直
线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt△11A NB 中,由11111
sin ,2
A N A
B N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成
角为30o
. 试题解析：（I ）证明：如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1EF BA P ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF P 平面11A B BA .
（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA P 所以1BB ⊥平面ABC ,从
而1BB AE ⊥,又1BC BB B =I ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .
考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角
18. （本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且
112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.
（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（II ）设*
,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.
【答案】（I ）12,n n a n -*
=∈N ,21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323n n S n =-+
【解析】 试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.
试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,
q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得
42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为
21,n b n n *=-∈N .
（II ）由（I ）有()1
212
n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则
()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L
两式相减得()()2
3
12222122323,n
n
n
n S n n -=++++--⨯=--⨯-L
所以()2323n
n S n =-+ .
考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.
19. （本小题满分14分） 已知椭圆22221(a b 0)x y a b
+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为5
5,
（I ）求直线BF 的斜率；
（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . （i ）求l 的值；
（ii ）若75
||sin PM BQP Ð,求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）7
8
；（ii ）22 1.54x y += 【解析】 试题分析：（I ）先由
55
c a = 及222
,a b c =+得5,2a c b c ==,直线BF 的斜率()020b b k c c -===--；（II ）
先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ λ=
7
.8M P P Q M Q x x x x x x -===-（ii ）先由75
||sin =
9
PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=1555
||sin 73
PM BQP
?,由此求出c =1,故椭圆方程为22
1.54
x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,由已知55
c a = 及222
,a b c =+ 可得5,2a c b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b b
k c c
-=
==-- .
（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22
221,54x y c c
+= 直线BF 的
方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2
350,x cx += 解得53
P c x =- .因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方
程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得2
21400x cx -= ,解得4021Q c x = .又因为PM MQ λ= ,及
0M x = 得7
.8M P P
Q M
Q x x x x x x λ-=
=
=- （ii ）由（i ）得
7
8
PM MQ
=
,所以777815PM PM MQ ==
++,即157PQ PM = ,又因为
75
||sin =
9
PM BQP Ð,所以=||sin BP PQ BQP Ð=1555
||sin 73
PM BQP
?. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以2
2
54550233c c BP c c ⎛
⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,因此5555,1,c c == 所以椭圆方程为22
1.54
x y += 考点：直线与椭圆.
20. （本小题满分14分）已知函数4
()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；
（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;
（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证：1
321-43
a x x <-+.
【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试
题解析. 【解析】
试题解析：（I ）由4
()4f x x x =-,可得3
()44f x x ¢
=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.
（II ）设()0,0P x ,则1
3
04x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为
()()
00y f x x x '=- ,即
()()()
00g x f x x x '=-,令
()()()
F x f x g x =- 即
()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.
由于3
()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当
()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在
()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.
考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.。