七年级数学上册专题第3讲绝对值重点、考点知识总结及练习

第3讲绝对值
知识点1 绝对值的非负性
绝对值的性质：
互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a （a≥0），则x=±a.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【典例】
1.若|a|=3，|b|=2，且a ＜0＜b ，则a 的相反数与b 的和为________．
【方法总结】
根据绝对值的性质即可求得a ，b 的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a ，b 的值是解题的关键. 2.已知|x-2017|+|y ﹣2016|=0，则x+y=____
【方法总结】
此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y ﹣2016=0，计算出x 、y 的值，进而可得答案．
【随堂练习】
1．（2017秋•兴文县校级期中）（1）已知|x ﹣5|=3，求x 的值； （2）已知n=4，且|x ﹣5|+|y ﹣2n|=0，求x ﹣y+8的值．
⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩
绝对值的非负性比较大小
绝对值数轴与绝对值绝对值的几何意义(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨
⎪-≤⎩
2．（2017秋•昌平区校级期中）已知|a+1|与|b﹣2|互为相反数，求a﹣b的值．
3．（2017秋•临清市期中）已知|x﹣4|+|y+2|=0，求y﹣x的值．
知识点2比较大小
两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
【典例】
1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（）
A. ﹣2
B. 0
C. ﹣3.2
D. 4
【方法总结】
先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2018•龙湖区一模）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则这三个数中绝对值最大的是（）
A．a B．b C．c D．无法确定
2．（2018•石狮市模拟）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）
A．m＞n B．m=n C．m＞﹣n D．m=﹣n
3．（2018春•南岗区期末）比较大小：﹣（﹣0.3）____|﹣|（填＜、＞、=）．
知识点3数轴与绝对值
绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.
在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.
【典例】
1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．
【方法总结】
先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．
本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.
【随堂练习】
1．（2016秋•句容市校级期末）在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．
求|a+b|++|a+1|的值．
2．（2017秋•无锡期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c_____0，
a+b_____0，c﹣a______0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
知识点4 绝对值的几何意义
式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.
∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 【典例】
1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______
【方法总结】
根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．
本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，
（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．
（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．
（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．
（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
【方法总结】
本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.
数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.
【随堂练习】
1．（2016秋•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=____．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7成立的整数是_____（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
2．（2017秋•宝应县月考）已知A、B在数轴上分别表示a、b．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；
（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____，此时代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是_____．
3．（2017秋•开福区校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|=____；
（2）若|x﹣2|=5，则x=_____；
（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．
综合集训
1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣2
3
|中，负数有_______________.
2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．
3.在数﹣5，﹣1
3，−2
5
，−1
6
中，大于﹣1
5
的数有___________.
4.填空：
（1）﹣3
4
的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；
（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；
（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；
（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．
5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．
6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．
7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p ﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.
8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．
9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？
10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a ﹣b|．
理解：
（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；
（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；
应用：
（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．。