3.5 线性定常系统的稳定性

显然这个系统处于临界(不)稳定状态。
五、劳斯判据的应用
1、判定系统的稳定性。如果系统不稳定， 则可知右根个数。
2、求取使系统稳定的参数取值范围。 例 3-8 系统结构图如图3-27所示，试求使系统
稳定时的K取值范围。
R(s) -
K
C(s)
s(0.1s 1)(0.25s 1)
图 3-27 控制系统
K-0.675>0
解得
0.675<K<4.8
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
(a0 0)
… … … …
sn
a0
a2
a4
sn-1
k 1
l 1
式中，dl l
1


2 l
, l

仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
a1
a3
a5
sn-2
b1
b2
b3
sn-3
c1
c2
c3
…
…
…
…
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
劳斯表中的有关系数为
b1


1 a1

a0 a1
a2 a3
b2


1 a1

a0 a1
a4 a5
c1


1 b1

a1 b1
a3 b2
… g1 an
c2


1 b1

a1 b1
a5 b3
a6
…
a7
…
b4
…
c4
线性系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征 根都具有负实部或都位于s的左半平面 ，则系统是稳 定的。
三、稳定判据
线性系统稳定的充要条件是系统所有闭环特征 根都具有负实部。但求解高阶闭环特征方程往往是 比较困难的。在工程实践中，人们希望有一种间接 判别系统特征根分布的简单方法，不用直接求解特 征方程的根，就可以给出系统是否稳定的信息。一 些学者提出了通过闭环特征方程各项的系数，间接 分析系统稳定性的方法，统称为判定系统稳定性的 代数稳定判据。
解决的办法
s1 jω s平面
设s=s1-a代入原特征方程式中，得 到以s1为变量的特征方程式，然后用 劳斯判据去判别该方程中是否有根位
于垂线s=-a右侧。
-a 0 σ
此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的 根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
请看例题
例 3-10 在例3-8的系统中，若要求系统的特征 根全部都位于s=-1之左。试求K的取值范围。
稳定性是在扰动消失以后，系统自身的一种恢 复能力，因而它是系统的一种固有特性。对线性系 统来说，稳定性只取决于系统的结构和参数，而与 系统的初始条件和外作用信号无关。
一般说来，系统的稳定性表现为其时域响应的
收敛性。线性控制系统的稳定性：若线性控制系统 在扰动δ(t)的作用下，其过渡过程随时间推移而逐 渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐进稳定，简称 为稳定；反之，若在扰动δ(t)的作用下，系统的过 渡过程随时间推移而发散，则称该系统为不稳定。
解：列劳斯表
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
0

s1
-6
0
0
s0
5
0
0
该表第一列元素符号不全为正，因而系统是不稳定 的；且第一列元素符号变化了两次，所以特征方程有二 个根在s的右半平面。
四、劳斯判据的特殊情况
1、劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各 项不等于零或没有其余项。
解决的办法
以一个很小的正数ε来代替为零的这项，据 此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
s0 K 要保证系统稳定，劳斯表中第1列元素必须全大于零，即
K>0，1-0.025K/0.35 >0
故的K取值范围是
0<K<14
稳定的临界值K0=14，称为系统的临界开环增益。开环增 益K越接近于临界值，系统的稳定性越差。
3、判别系统稳定程度
实际系统希望s左半平面上的根距离虚 轴有一定的距离。而稳定判据能回答特征方 程式的根是否在左半s平面上，不能确定根 离虚轴的远近。
n
(1) si
i1
a2
a0
n
sis j
i, j1
i j
……
an
a0
(1)n
n
si
i1
从上述关系式可以导出，系统特征根都具有负实部的 必要条件为
ai aj >0， (i，j=1，2，3，…，n)
即，闭环特征方程各项系数都大于零或闭环特征方程各项 系数符号相同且不缺项。
2、劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion) 闭环特征方程
试判别相应系统的稳定性。 解：列劳斯表
s3
1
1
s2
2
2
s1
0(ε)
s0
2
由于劳斯表中第一列ε上面元素的符号与其下面元 素的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在， 相应的系统为不(临界)稳定。
2、劳斯表中出现全零行
解决的办法 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅
助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来 代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
x0 (c) 大范围稳定的
x0 (d) 小范围稳定的
系统的稳定性又分为两种：一是大范围稳定， 即起始偏差可以很大，但系统仍稳定，另一种是小 范围稳定，即起始偏差必须在一定范围内系统才稳 定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统， 如果在小范围内稳定，则它一定也是大范围内稳定 的。而对于非线性系统，在小范围内稳定，在大范 围内就不一定是稳定的。
系统稳定性：如果劳斯表中第一列所有元素均为正值，
则特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系统是稳定
的。如果劳斯表中第一列出现负元素，第一列元素符号变
化次数就是特征方程式在右半s平面上根的个数，相应的
系统不稳定。
例 3-5 设系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定指出右根数。
系统的稳定性
(1)若劳斯表第一列元素中的符号有变化，其变化的
次数就等于系统在s右半平面上根的数目，相应
的系统为不稳定。
(2)如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，
则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系
统也属不稳定。
请看例题
例 已知系统的特征方程式为
s3 2s2 s 2 0
0.025 s13 0.275 s12 0.375 s1 K 0.675 0
列劳斯表
s3
0.025
0.375
s2
0.275
K-0.675
s1 0.375-0.025(K-0.675)/0.275
s0
K-0.675
要求系统的特征根全部都位于s=-1之左，只要
0.375-0.025(K-0.675)/0.275>0
limk(t) 0
t
线性系统是稳定的
二、线性系统的稳定条件
设n阶系统闭环传递函数为
(s)

M (s) D(s)

b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1

bm1s bm an1s an
m
(s z j )
K (s) M (s) N (s) b0
…
…
b3


1 a1

a0 a1
a6 a7
…
c3


1 b1

a1 b1
a7 b4
…
sn
a0
a2
a4
a6
…
sn-1
a1
a3
a5
a7
…
sn-2
b1
b2
b3
b4
…
sn-3
c1
c2
c3
c4
…
…
…
…
…
…
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
注意：在排列特征方程式系数时，空位以零填补。在 运算过程中出现空位时，也以零填补。
1、线性系统稳定的必要条件
闭环系统特征方程 n
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an a0 (s si ) 0
i1
式中，a0>0，si(i=1，2，3，…，n)是系统的n个特征根。
根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：
a1
a0
系统的稳定性
特征方程中含有一些大小相等、符号相反 的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定。这 些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解 辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
请看例题
例 已知系统的特征方程为
S 6 2S 5 8S 4 12S 3 20S 2 16S 16 0
衡 状 态
x0 (d) 小范围稳定的
x0 (a) 稳定的
x0 (b) 不稳定的
稳定性：系统原处于平衡状态，在受到扰动作 用后都会偏离原来的平衡状态。当扰动作用消失后， 系统经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状 态或足够准确地回复到原来的平衡状态，这种性能 称为系统的稳定性。当扰动作用消失后，系统能恢 复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之， 系统是不稳定的。
3.5 线性定常系统的稳定性及稳定判据 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
一、稳定的概念和定义
x0
x0 (a) 稳定的
(b) 不稳定的
球
的
平
x0 (c) 大范围稳定的
R(s) -
K
C(s)
s(0.1s 1)(0.25s 1)
图 3-27 控制系统 解 系统的特征方程为
0.025 s3 0.35s2 s K 0
用 s=s1-a 代入上式得
0.025 (s1 1)3 0.35(s1 1)2 (s1 1) K 0
整理得
0.025 s13 0.275 s12 0.375 s1 K 0.675 0
D(s)
a0
q
j 1
r
(s sk ) (s2 2 ll s l2 )
k 1
l 1
式中，0<ζl<1，q+2r=n。
则脉冲响应为
q
r
K (t) Akeskt Blellt sin(dlt l )
k 1
l 1
q
r
K (t) Akeskt Blellt sin(dlt l )
解 系统的闭环传递函数为
(s)
K
s(0.1s 1)(0.25s 1) K
系统的特征方程为
D(s) s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
0.025 s3 0.35s2 s K 0
劳斯表为
s3 0.025
1
s2 0.35
K
s1 1-0.025K/0.35
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
s6
1
8
20 16
s5
2
12 16
0
s4
2
12 16
F (s) 2s4 12s2 16s
s3
0
0
0
8
24
s2
6
16
dF(s) 8s3 24s ds
s1
8/3
0
s0
16
j 2 , j2
F (s) 2s 4 12s 2 16s 2(s 4 6s 2 8) 2(s 2 2)(s 2 4) 0