2020届普通高等学校招生全国统一考试模拟测卷(一)(全国Ⅲ卷)数学(理)试题及答案

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2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（一）（全
国Ⅲ卷）数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<
⎨⎬⎩
⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫
=≥⎨⎬⎩
⎭，则集合C =() A ．
(
)U
A B ⋂
B ．
()U
A B C ．
()U
A B
D ．
(
)U
A B
答案：B
观察集合,A B ，算出A B ，再算其补集，即可得答案；
解：
全集U =R ，142A x x ⎧⎫
=-<<
⎨⎬⎩⎭
，{}3B x x =≤-， 12A B x x ⎧⎫
∴⋃=<⎨⎬⎩
⎭，∴
()12U A
B x x
C ⎧⎫
=≥=⎨⎬⎩
⎭，
故选：B. 点评：
本题考查集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则2
2
z z -=（） A ．12i -+ B ．12i -
C ．-1
D ．12i +
答案：D
因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i
-
=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是()
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
答案：D
根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；
解：
对A，可知90后占了56%，故A正确；
对B，技术所占比例为39.65%，故B正确；
对C，可知90后明显比80前多，故C正确；
对D，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D错误.
故选：D.
点评：
本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题.
4．某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）
A．240种B．150种C．120种D．60种
答案：D
分析：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，由分步计数原理计算可得答案．
详解：根据题意，分2步分析：
①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，
②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，
则有10×6=60种不同的安排方法， 故选：D ．
点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.
5．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为() A ．
3
B ．
22
C ．
3 D ．
23
答案：C
三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，设S 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，确定S ABC -的外接球的球心O 的位置，再利用直角三角形的性质，即可得答案； 解：
三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，
S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，
SH ∴⊥平面ABC ，SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等.
3SH =1CH =，
在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 交SC 于M ， 则O 为S ABC -的外接球球心.
2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，
23SO ∴=
3
OH ∴=O 到平面ABC 的距离. 故选：C. 点评：
本题考查三棱锥的外接球问题、点到面的距离，考转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
6．已知曲线42
1y x ax =++在点()()
1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=()
A ．3
B ．4-
C ．3-
D ．4
答案：C
对函数求导，再根据'
(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；
解：
342y x ax '=+，426a ∴--=，
5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.
故选：C. 点评：
本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是()
A ．20
B ．26
C ．57
D ．16
答案：B
阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案； 解：
第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=； 第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；
2620≤否，故输出T 的值是26.
故选：B. 点评：
本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件. 8．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12
log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝
⎭
的x 的
取值范围是()
A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()1,11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
答案：A
利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝
⎭
，得到12
log 1x >，解绝对值不等式
和对数不等式，求得x 的取值范围. 解：
偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，
所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，
由1
2
log 0f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可得12log 1x >，
所以
12
log 1x >或12
log 1x <-，
解可得，1
02
x <<或2x >. 故选：A. 点评：
本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 9．函数()sin 2
x
f x x =
-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（） A ． B ．
C ．
D ．
答案：A
分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案． 详解：由函数()sin 2x f x x =
-，则满足()sin()(sin )()22
x x
f x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 02
2
f π
π
ππ=
-=
>，排除C ，故选A ．
点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10．在ABC 中，若2π
3
C =，3AB =，则ABC 的周长的最大值为() A ．9 B ．6
C ．323+
D ．33+答案：C
利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 解：
根据正弦定理，3
23
2πsin sin sin sin
3
AB BC AC C A B ====， 那么23BC A =，23AC B =， 所以周长等于
π23sin 23sin 323sin sin 33A B A A ⎤
⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦
31
23cos sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π2333A ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
π0,3A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以当6A π=时，ABC 的周长的最大值为323+故选：C.
点评：
本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.
11．一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆面，当45θ=︒时，这个椭圆的离心率为()
A ．
12
B ．
22
C 3
D ．
23
答案：B
结合图形可得椭圆的短半轴b R =，2a R =，再利用离心率公式，即可得答案；
解：
由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ， 所以椭圆的长轴长22cos R
a θ
=
，得2a R =， (
)
2
22
22c a b R R R =-=
-=，
所以椭圆的离心率2
2
c e a ==
. 故选：B. 点评：
本题考查椭圆离心率的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意充分利用图形的特点进行解题. 12．若()0,πa ∈，()sin ,cos ,x x a
f x x x a >⎧=⎨≤⎩的图象关于x a =对称，则()2f a =()
A ．1-
B ．12
-
C ．1
D ．3 答案：C
作出图象如图所示，可得a 的值，再代入函数的解析式求函数值，即可得答案； 解：
画出图象如图所示：
由图象可得π4a =，∴()sin ,,4
cos ,,
4x x f x x x ππ⎧
>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩
则()ππ2sin 122f a f ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
. 故选：C. 点评：
本题考查正余弦函数的图象与性质、三角函数值的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题
13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为60°，且满足()
121e e e λ⊥-，则实数λ的值为______. 答案：2
根据向量垂直，数量积为0，可得()12
1
0e e e λ⋅-=，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；
解：
由单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则121
11cos602
e e ⋅=⨯⨯︒=， 由()
121e e e λ⊥-，可得()12
1
0e e e λ⋅
-=，
∴()
2
121
0e e e λ⋅-=，则
102
λ
-=，解得2λ=.
故答案为：2. 点评：
本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题. 14．函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的最大值为______. 答案：
262
利用两角和的正弦和两角差的余弦公式展开可得π4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，即可得答案； 解：
11sin cos cos 2222y x x x x =+++
)1sin cos 2
x x =
+
π4x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭
∴
点评：
本题考查三角恒等变换及三角函数的最值，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.
15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()22
34
x a y -+=相切，则该
双曲线的方程为__________．
答案：2
2
13
y x -=
由题意知，
2c a =，即2c a =，则b =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径2
r =
不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则=，即=1a =，则b =故所求双曲线的方程为2
2
13
y x -=.
点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.
16．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都等于2，D 在1 AC 上，F 为1BB 中点，
且1FD AC ⊥，
则
1
AD
DC
=______.
答案：1
由F为1
BB中点，且正三棱柱
111
ABC A B C
-的各棱长等于2，可证得D为
1
AC 中点，即可得答案；解：
F为1
BB中点，且正三棱柱
111
ABC A B C
-的各棱长等于2，
22
1
5
AF FC AB BF
∴==+=
1
AFC
∴△为等腰三角形，又
1
FD AC
⊥，
D
∴为1
AC中点，
1
1
AD
DC
∴=.
故答案为：1
点评：
本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.
三、解答题
17．某公司准备将1000万元资金投人到市环保工程建设中，现有甲，乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：
1
ξ110 120 170
P m0.4 n
且1ξ的期望()1120
Eξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润
2
ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为
1
4
和
3
4
.若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与2ξ的关系如表所示：
X0 1 2
（1）求m ，n 的值； （2）求2ξ的分布列.
答案：（1）0.5m =，0.1n =；（2）分布列见解析.
（1）根据分布列中概率和为1，期望值为120，可得关于,m n 的方程，解方程组即可得答案； （2）根据相互独立事件相乘的概率，可得2ξ的分布列. 解：
（1）由题意得0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩
，
解得0.5m =，0.1n =.
（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，
()2133
41.2114416
P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
()21133105
117.64444168
P ξ==⨯+⨯==，
()2133
2044416
P ξ==⨯=，
所以2ξ的分布列为：
点评：
本题考查离散型随机变量分布列的性质、相互独立事件概率计算，考查阅读理解能力和运算求解能力.
18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=︒.
（1）求证：CD BF ⊥； （2）若22AB EF ==，2BC =，直线BF 与平面ABCD 所成角为60°，求平面ADE 与平
面BCF 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）
42
. （1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面
ABCD ，因此FO ⊥OB .证明CD ⊥平面FOB ，即可证明结论；
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，求出平面ADE 的法向量
()1,1,0m =，平面BCF 的法向量(
)
3,3,1n =
，代入向量的夹角公式，即可得答案；
解：
（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面
ABCD ，因此FO ⊥OB .
FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=︒，FOC FOB ∴△≌△，OB OC ∴=，
由已知45DCB ∠=︒得BOC 为等腰直角三角形， 因为OB CD ⊥，又CD FO ⊥，OB OF O ⋂=，
CD
平面FOB ，CD BF ∴⊥.
（2）
//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，
平面ABEF
平面CDEF EF =，//AB EF ∴.
由（1）可得OB ，OC ，
OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，
由题设可得60FBO ∠=︒，进而可得()1,2,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -，
(0,3E -，(3F .
设平面ADE 的法向量()111,,m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1110
30x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，可取()1,1,0m =.
设平面BCF 的法向量()222,,n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22220
30x y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪
⎩，可取(
)
3,3,1n =
.
则2342
cos ,727
m n m n m n
⋅=
=
=⋅⋅.
∴二面角的余弦值为427
.
点评：
本题考查面面垂直性质定理和线面垂直判定定理的运用、向量法求二面角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意定理条件的完整性. 19．已知数列{}n a 中，11a =，()*11
2
n n n a a n N +⋅=
∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T . 答案：(1)答案详见解析；（2）213[1()]2
n
n T =- （1）由()*
112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112
n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论.
（2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案. 解：
因为在数列{}n a 中，()*11
2
n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，2122211
2
n n n a a +++⋅=②，
②式除以①式得
22212n n a a +=，即2(1)21
2
n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2
n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以121
2b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以1
2
为公比的等比数列.
（2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*
112
n n n a a n N +⋅=∈，
可得2122112n n n a a --⋅=，22121
2
n n n a a +⋅=，
所以
212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112
n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，
所以数列{}n c 是1为首项以1
2
为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++
++
1321242()()n n a a a a a a -=+++++++
1212
()()n n c c c b b b =++
+++
111[1()][1()]
12223[1()]1121122
n n n --=
+=--- 点评：
本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题. 20．已知函数2
ln ()()x
f x x a =
+，其中a 为常数．
(1)若0a =，求函数()f x 的极值；
(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围． 答案：（1）见解析；（2）1
22a e -≤-.
分析：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，
()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）()f x 在()0,a -上单调递增等价于()0f x '≥在()0,x a ∈-上恒成立，求得导数和单调区间，讨论
a -与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得a 范围.
详解：（1）当0a =时：()2
ln x
f x x =
的定义域为()0,+∞ ()3
12ln x
f x x -'=
令()0f x '=
，得x =
当(x ∈时，()0f x '>，()f x
在(上单调递增；
当)
x ∈+∞时，()0f x '<，()f x
在)
+∞上单调递减；
当x =
()f x
的极大值为1
2f
e
=
，无极小值. （2）()()
3
12ln a
x x f x x a +
-+'=
()f x 在()0,a -上单调递增 ()0f x ∴'≥在()0,x a ∈-上恒成立，
()()3
0,,0x a x a ∈-∴+< ∴只需12ln 0a
x x
+
-≤在()0,x a ∈-上恒成立 ∴2ln a x x x ≤-在()0,x a ∈-上恒成立
令()()2ln ,0,g x x x x x a =-∈- 则()2ln 1g x x ='+ 令()0g x '=，则：1
2x e -=
①若1
20,a e -<-<即1
20e a --<<时
()0g x '<在()0,x a ∈-上恒成立
∴()g x 在()0,a -上单调递减
∴()()()2ln a a a a ≤---- ∴()ln 0a -≥，∴11a a -≥⇒≤-
这与1
2a e ->-矛盾，舍去 ②若1
2,a e -->即1
2a e -<-时
当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在120,e -⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；
当12,x e a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1
2,e a -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增；
当1
2x e -=时，()g x 有极小值，也是最小值，
∴()11111
22222min 2ln 2g x g e e e e e -----⎛⎫
==⋅-=- ⎪⎝⎭
∴
12
2a e -≤-
综上1
22a e -≤-
点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的最大值.
21．已知抛物线C ：()2
20x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两
点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 答案：（1）2
4x y =；（2）4.
（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；
（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线
l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；
解：
（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，准线方程为2p
y =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =， 所以抛物线的方程为2
4x y =.
（2）抛物线的方程为2
4x y =，即214y x =，所以1
2
y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，
1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()2
22242
x x
y x x -=-.
由于12l l ⊥，所以
12
122
x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得2
4y kx m
x y
=+⎧⎨
=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112
22
24
24
x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
，得12122214x x x k x x y +⎧
==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l
的距离d ==
.
()241AB k =
=+，
所以
()()3222
1414142S k k =⨯+=+≥.
当0k =时，MAB △面积取得最小值4. 点评：
本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy
中，曲线1C
的参数方程为22
22
x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），在以O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C
的方程为ρ=.
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.
答案：（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=
分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2)设点B 为
()2cos ,sin θθ,再求出AB
=
|AB|
的最小值.
详解：（Ⅰ）由2x
=2
x =-，代入2y =+， 得1C 的普通方程4y x
=-+. 由ρ=
，得222
3sin 4ρρθ+=.
因为2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=，
所以2C 的直角坐标方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
可设点B 为()2cos ,sin θθ， 由点到直线的距离公式，
得AB
=
=
=，
其中cos
ϕ=
sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB
点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意
在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 23．
已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；
（2）求证：1
()22f x a a ≥--. 答案：（1）1
{|1}3
x x x ≤-≥-或.（2）见解析.
试题分析：
（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为
1
{|1}3
x x x 或≤-≥-.
（
2
）
由
题
意
结
合
绝
对
值
不
等
式
的
性
质
可
得
：
()222a a f x x x x =+++
++222a a x ≥-++22a ≥-()122a a =--1
22
a a ≥--. 试题解析：
（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥
2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧
-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332
x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩
2x ⇔≤-或21x -<≤-或13
x ≥-
1x ⇔≤-或1
3
x ≥-，
所以不等式的解集为1{|1}3
x x x 或≤-≥-. （
2
）
()22f x x x a
=+++222
a a x x x =+++
++222
a a
x ≥-
++2222
a a
≥-
=-()122a a =--122a a ≥--1
22
a a =--.。