(江苏专用)高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程 理-人教版高三全册数学试题

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析
几何 9.8 曲线与方程 理
1.曲线与方程
一般地，如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y ). (3)列式——列出动点P 所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，对于曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和曲线C 2：f 2(x ，y )＝0，由于P 0(x 0，
y 0)是C 1与C 2
的公共点⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
f 1
x 0，y 0＝0，f 2x 0，y 0＝0，
所以，求两条曲线的交点，就是求方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
f 1x ，y ＝0，f 2x ，y ＝0
的实数解.反过来，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公
共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点.
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 4.圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹. 当0<e <1时，它表示椭圆； 当e >1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线.
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( √ ) (2)方程x 2
＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( × )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2
＝y 2
.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2
表示同一曲线.( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1
k
y 表示同一直线.( × )
1.方程(x 2
＋y 2
－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是_________________________________.
答案 ③
解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－4＝0，
x ＋y ＋1≥0，
它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2
＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分.
2.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________. 答案 2x －y ＋5＝0
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
3.设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9
a
(a >0)，则点P 的轨迹是
____________. 答案 椭圆或线段
解析 ∵a ＋9
a
≥2
a ·9
a
＝6.
当a ＝3时，a ＋9
a
＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，
P 点的轨迹为线段F 1F 2，
当a ≠3，a >0时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆.
4.(教材改编)和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c 的点的轨迹方程为________________.
答案 2x 2
＋2y 2
－2cx ＋c 2
－c ＝0
解析 设P (x ，y )为轨迹上一点，则x 2
＋y 2
＋(x －c )2
＋y 2
＝c ，∴2x 2
＋2y 2
－2cx ＋c 2
－c ＝0. 5.(教材改编)已知⊙O 方程为x 2
＋y 2
＝4，过M (4,0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________. 答案 (x －2)2
＋y 2
＝4(0≤x <1) 解析
根据垂径定理知：OP ⊥PM ，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分， 以OM 为直径的圆的方程为
(x －2)2
＋y 2
＝4，它与⊙O 的交点为(1，±3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2
＋y 2
＝4(0≤x <1).
题型一 定义法求轨迹方程
例1 已知圆M ：(x ＋1)2
＋y 2
＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.
解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆
P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，
所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左
顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2).
思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.
已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内
切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 解
如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0).设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；
由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.
∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2
＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 2
9－4y 2
7＝1 (x ≤－32).
题型二 直接法求轨迹方程
命题点1 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)
例2 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的
左，右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →
＝－2，求点M 的轨迹方程.
解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0). 由题意，可得PF 2＝F 1F 2，即a －c
2
＋b 2
＝2c ，
整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a
2＋c a
－1＝0，
得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12
.
(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2
，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c ).
A ，
B 两点的坐标满足方程组⎩⎨
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2
，
y ＝3x －c .
消去y 并整理，得5x 2
－8cx ＝0.
解得x 1＝0，x 2＝8
5
c ，
得方程组的解⎩⎨
⎧
x 1＝0，
y 1＝－3c ，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝85c ，y 2
＝335c .
不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
85
c ，335c ，B (0，－3c ).
设点M 的坐标为(x ，y )，
则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8
5c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c ).
由y ＝3(x －c )，得c ＝x －
3
3
y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，
即⎝
⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
85
y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2
－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2
－15163x 代入c ＝x －3
3y ，
得c ＝10x 2＋5
16x >0.
所以x >0.
因此，点M 的轨迹方程是18x 2
－163xy －15＝0(x >0). 命题点2 无明确等量关系求轨迹方程
例3 (2014·某某)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为5
3
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
解 (1)由题意知c ＝5，c a ＝
53
，
所以a ＝3，b 2＝a 2－c 2
＝4， 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2
4＝1.
(2)设两切线为l 1，l 2，
①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴，可知P (±3，±2). ②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3. 设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为－1
k
，
故l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立x 29＋y 2
4＝1，
得(9k 2
＋4)x 2
＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2
－36＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相切， 所以Δ＝0，
得9(y 0－kx 0)2k 2
－(9k 2
＋4)[(y 0－kx 0)2
－4]＝0， 所以－36k 2
＋4[(y 0－kx 0)2
－4]＝0， 所以(x 2
0－9)k 2
－2x 0y 0k ＋y 2
0－4＝0，
所以k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1k
是方程(x 20－9)x 2
－
2x 0y 0x ＋y 2
0－4＝0(x 0≠±3)的另一个根，
所以k ·(－1k )＝y 2
0－4x 20－9，得x 20＋y 2
0＝13，其中x 0≠±3，
所以此时点P 的轨迹方程为x 2
0＋y 2
0＝13(x 0≠±3). 因为P (±3，±2)满足x 2
0＋y 20＝13， 综上可知，点P 的轨迹方程为x 2
0＋y 2
0＝13.
思维升华 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程.直接代入即可得出方程.
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.
(1)已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .
若MN →2＝λAN →·NB →
，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是下列中的________. ①圆；②椭圆；③抛物线；④双曲线. 答案 ③
解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0).
因为MN →2＝λAN →·NB →，
所以y 2
＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2
＋y 2
＝λa 2
，
当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆； 当λ<0时，轨迹是双曲线； 当λ＝0时，轨迹是直线.
综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线. (2)
如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →
.
①求mn 的值；
②求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 ①∵OA →·OB →
＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝1
4
.
②设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →
，
得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n ).
∴⎩⎨
⎧
x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，
整理得x 2
－y 2
3
＝4mn ，
又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2
－y 2
3
＝1 (x >0).
它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2
－y 2
3＝1的右支.
题型三 相关点法求轨迹方程
例4 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2
＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程. 解
设△ABC 的重心为G (x ，y )，
点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝4a ，
y 2
＝4ax ，
消去y 并整理得：
x 2－12ax ＋16a 2＝0.
∴x 1＋x 2＝12a ，
y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .
∵G (x ，y )为△ABC 的重心，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0
＋x 1
＋x 2
3＝x 0
＋12a 3，y ＝y 0
＋y 1
＋y 2
3＝y 0
＋4a
3
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x －12a ，
y 0＝3y －4a .
又点C (x 0，y 0)在抛物线上，
∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2
＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a
3
(x －4a ).
又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为
(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±25
3)a ).
思维升华 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＝f x ，y ，
y 1＝g
x ，y ；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.
设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴
上运动时，求点N 的轨迹方程. 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，
∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 2
0＝0. 由MN →＝2MP →
得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝－x ，y 0＝1
2y .
∴－x ＋y 2
4
＝0，即y 2
＝4x .
故所求的点N 的轨迹方程是y 2
＝4x .
20.利用参数法求轨迹方程
典例 (16分)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连结
OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).
(1)求证：点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；
(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△O 的面积比为4∶1，求直线l 的方程. 规X 解答
方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,
1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为 (10，i )，
所以直线OB i 的方程为y ＝i
10
x .[2分]
设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝i ，y ＝i
10
x ，
得y ＝110
x 2，即x 2
＝10y .
所以点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2
＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋10，x 2
＝10y ，得x 2
－10kx －100＝0，
此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[8分]
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②
因为S △OCM ∶S △O ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △O ， 所以|x 1|＝4|x 2|.
又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③
把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪
⎧
－3x 2＝10k ，－4x 2
2＝－100，
解得k ＝±3
2
.[14分]
所以直线l 的方程为y ＝±3
2x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[16分]
方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2
＝10y 上.
证明如下：过A i (i ∈N *,
1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i
10
x .[2分]
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝i ，y ＝i 10
x ，解得P i 的坐标为(i ，i 2
10
)，
所以点P i 的坐标都满足方程x 2
＝10y ，
所以点P i (i ∈N *,
1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2
＝10y .[6分] (2)同方法一.
温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标.
(2)得出动点M 的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝f
k ，y ＝g k .
(3)消去参数k ，得M 的轨迹方程. (4)由k 的X 围确定x ，y 的X 围.
[方法与技巧]
求轨迹的常用方法
(1)直接法：
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)待定系数法：
已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.
(3)定义法：
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
(4)代入法(相关点法)：
当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动时.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就是把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
[失误与防X]
1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
1.平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2＝2y－1，则他的建系方式是________.
答案 ③
解析 因为点P 的轨迹方程为x 2
＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋1
2
，
抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
所以该同学的建系方式是③.
2.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是________(填序号). ①x ＋y ＝5；②x 2
＋y 2
＝9；③x 225＋y 2
9
＝1；④x 2
＝16y .
答案 ②
解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，
B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216
－y 2
9
＝1.
①中，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；
②中，x 2
＋y 2
＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； ③中，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 2
9＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；
④中，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 2
9＝1，即y 2
－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.
综上，②中的曲线不是“好曲线”.
3.已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →
，则点P 的轨迹方程为________. 答案 y ＝2x
解析 设P (x ，y )，R (x 1
，y 1
)，由RA →＝AP →
知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x
1
2＝1，y ＋y
1
2＝0，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2－x ，
y 1＝－y .
∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，
∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .
4.已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________. 答案
x 2
9
－y 2
16
＝1 (x >3) 解析
如图，AD ＝AE ＝8，
BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，
所以CA －CB ＝8－2＝6<10＝AB .
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 2
9
－y 2
16
＝1 (x >3). 5.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________. 答案 直线
解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →
＝(－1,3)，
∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，
又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0表示一条直线.
6.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案 4π
解析 设P (x ，y )，由PA ＝2PB ， 得
x ＋2
2
＋y 2
＝2
x －1
2
＋y 2
，
∴3x 2
＋3y 2
－12x ＝0，即x 2
＋y 2
－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.
7.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2
(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2
.
其中，所有正确结论的序号是________. 答案 ②③
解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以PF 1·PF 2＝a 2
对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2≤12PF 1·PF 2＝12a 2
，即△F 1PF 2
的面积不大于12
a 2
，所以③正确.
8.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，延长PO
与椭圆交于点M ，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是________.
答案 x 24a 2＋y 2
4b
2＝1
解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，
则OP →
＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2
)，
即P 点坐标为(－x 2，－y
2
)，又P 在椭圆上，
则有
－
x
2
2
a 2＋
－y
2
2
b 2
＝1，即x 24a 2＋y 2
4b
2＝1.
9.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →
|＝22，求顶点A 的轨迹方程.
解 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所
示的坐标系，E 、F 分别为两个切点. 则BE ＝BD ，CD ＝CF ，
AE ＝AF ，∴AB －AC ＝22<4＝BC ，
∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴顶点A 的轨迹方程为x 22－y 2
2
＝1(x >2).
10.在圆O ：x 2
＋y 2
＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.设M 为线段PD 的中点.
(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；
(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系. 解 (1)设M (x ，y )，则P (x,2y ).
∵点P 在圆x 2
＋y 2
＝4上，∴x 2
＋(2y )2
＝4， 即点M 的轨迹E 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2. 显然与轨迹E 相切.
当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0). ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |
k 2
＋1
＝2，
即t 2
－4k 2
－4＝0.
又∵直线MN 的斜率为k
2，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－t
k ，0，
∴直线MN 的方程为y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋t k ，即y ＝1
2(kx ＋t ).
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝
1
2
kx ＋t ，
x 2
4＋y 2
＝1，
得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2
－4＝0.
∵Δ＝(2kt )2
－4(1＋k 2
)(t 2
－4)＝－4(t 2－4k 2
－4)＝0， ∴直线MN 与轨迹E 相切. 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切.
B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11.动点P 在直线x ＝1上运动，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是______________. 答案 两条平行直线 解析
设Q (x ，y )，P (1，y 0)， 由题意知OP ＝OQ ， 且OP →·OQ →
＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＝1＋y 2
0， ①x ＋y 0y ＝0， ②
将y 0＝－x
y
代入①得
x 2＋y 2＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x y 2， 化简即y 2
＝1，∴y ＝±1，表示两条平行直线. 12.
如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD
上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系
xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________.
答案 y 2
＝23x －19
解析
过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )， 由PH 2
－PM 2
＝1，
得x 2
＋1－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，
化简得y 2
＝23x －19
.
13.(2015·某某)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点
P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是________.
答案 椭圆
解析 本题可构造如图圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆.
14.如图，动圆C 1：x 2
＋y 2
＝t 2,
1<t <3，与椭圆C 2：x 2
9
＋y 2
＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，
A 2分别为C 2的左，右顶点.求直线AA 1与直线A 2
B 交点M 的轨迹方程.
解 由椭圆C 2：x 2
9＋y 2
＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0).
设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝
y 0
x 0＋3
(x ＋3).①
直线A 2B 的方程为y ＝
－y 0
x 0－3
(x －3).② 由①②得y 2
＝－y 2
0x 20－9
(x 2
－9).③
又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20
＝1－x 20
9
.④
将④代入③得x 2
9－y 2
＝1(x <－3，y <0).
因此点M 的轨迹方程为x 2
9－y 2
＝1(x <－3，y <0).
15.
如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2
＋y 2
＝1上运动时. (1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点T (0，t )作圆x 2
＋y 2
＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标.
解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y
2
，① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＝1上，所以x 2
0＋y 2
0＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2
＋y 2
4＝1.
(2)由题意知，|t |≥1.
当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A ，B 的坐标分别为(－
32，1)，(3
2
，1)， 此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋t ，x 2＋y 2
4＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2
－4＝0.③
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2
－44＋k 2.
又由l 与圆x 2
＋y 2
＝1相切，得|t |
k 2＋1
＝1，
即t 2
＝k 2
＋1， 所以AB ＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＝ 1＋k
2
[4k 2t 2
4＋k
2
2
－
4
t 2－44＋k 2
]＝43|t |
t 2＋3
. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43
|t |＋
3
|t |
，
且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.
依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2
＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1
＝1，
此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。