《理论力学》精品课件_TM.7-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的..

7-5 以矢量表示角速度和角加速度·
以矢积表示点的速度和加速度
一、角速度矢
绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。

1．角速度矢的大小
角速度矢ω的大小等于角速度的绝对值，即
t
d d ϕ
ω=
=ω （7-16） 2．角速度矢的指向
角速度矢ω沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则所观察到的刚体作逆时针向转动，如图7-10a 所示；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，姆指代表角速度矢ω的指向，如图7-10b 所示。

(a ) (b )
图7-10
至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。

如取转轴为z 轴，它的正方向用单位矢k 的方向表示（图7-11）。

于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成
k ω=ω （7-17）
式中ω是角速度的代数值，它等于ϕ。

(a ) (b )
图7-11
二、角加速度矢
同样，刚体绕定轴转动的角加速度可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示：
k ε=ε （7-18）
式中ε是角加速度的代数值，它等于ω
或ϕ 。

于是 )(d d
d d k k ωωt
t ==
ε （7-19）
即角加速度ε是角速度矢ω对时间的一阶导数。

根据上述角速度和角加速度的矢量表示法，刚体内任一点的速度可以用矢积 表示。

三、速度的矢量积表示
如在轴线上任选一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，如图7-12所示。

图7-12
那么，点M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积来表示，即
r v ⨯=ω （7-20）
为了证明这一点，需证明矢积r ⨯ω确实表示点M 的大小和方向。

根据矢积的定义知，r ⨯ω仍是一个矢量，它的大小是
v r r =⋅=⋅=⨯R ωωωθsin
式中θ是角速度矢ω与矢径r 的夹角。

于是证明了矢积r ⨯ω的大小等于速度的大小。

矢积r ⨯ω的方向垂直于ω和r 所组成的平面（即图7-12中三角形OMO 1平面），从矢量v 的末端向始端看，则见ω按逆时针转向转过角θ与r 重合，由图容易看出，矢积r ⨯ω的方向正好与点M 的方向相同。

于是可得结论：绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积。

四、加速度矢的矢积表示
绕定轴转动的刚体上任一点的加速度矢也可用矢积表示。

因为点M 的加速度为
t
d d v
a =
把速度的矢积表达式（7-20）代入，得
t
t t t d d d d )(d d d d r r r v a ⨯+⨯=⨯==ωωω
已知
v r
==t
t d d d d ，εω，于是得 v r a ⨯+⨯=ωε （7-12）
式中右端第一项的大小为
R ⋅=⋅=⨯εεεθsin r r
这结果恰等于点M 的切向加速度的大小。

而r ⨯ε的方向垂直于ε和r 所构成的平面，指向如图7-13所示，这方向恰
与点M 的切向加速度的方向一致，因此矢积r ⨯ε等于切向加速度a t ，即
r a ⨯=εt
（7-22）
图7-13
同理可知，式（7-21）右端的第二项等于点M 的法向加速度，即
v a ⨯=ωn （7-23）
于是可得结论：转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积。

例7-1
刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O ，角速度矢为
k j i 352
cos
52
sin
5++=t
t
ππω
求t =1s 时，刚体上点M (0，2，3)的速度矢和加速度矢。

解：
k j i k
j i
r v 10153103
2
352
cos 52
sin
5+--==⨯=t
t
ππω k j i v r v r a 75200)3752
15
(d d --+-=⨯+⨯=⨯+⨯=πωωωt ε
例7-2
某定轴转动刚体的转轴通过点M 0(2，1，3)，其角速度矢ω的方向余弦为
0.6，0.48，0.64，t =1s 时，角速度的大小为rad/s 25=ω。

求刚体上点M (10，7，11)的速度矢。

解：
设原坐标系为z y x O ''''，取新坐标系以M 0为原点，记为M 0xyz ，且x ，y ，
z 三轴分别平行于原坐标系的z y x ''',,轴。

在新坐标系中有
k j i k j i 161215)64.048.06.0(++=++⨯=ωω
点M 在新坐标系中的矢径为
k j i r )311()17()210(-+-+-=，
于是有
k j k j i r v 688
6
8
161215-==⨯=ω
理论力学（72学时）第33学时讲稿
一、授课主题：以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度
二、基本问题
1．刚体绕定轴转动的角速度矢是滑动矢量吗？如何用右手螺旋规则确定它的转向和转向？
2．刚体绕定轴转动的角加速度也可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示吗？
3．如何用角速度矢与它的矢径来表示点的速度？
4．如何用刚体的角加速度矢与该点矢径来表示转动刚体内任一点的切向加速度？
5．如何用刚体的角速度矢与该点速度矢来表示转动刚体内任一点的法向加速度？
三、基本概念和基本定律
角速度矢；右手螺旋规则；角加速度矢；滑动矢量
四、基本定理和基本结论
用刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积来表示一点的切向加速度；
用刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积来表示一点的切向加速度
五、基本方法
用刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积来表示一点的切向加速度；
用刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积来表示一点的切向加速度
六、基本内容
1．角速度矢
2．角加速度矢
3．速度矢的矢积表示
4．加速度矢的矢积表示
5．例题7-1，7-2
七、思考题和课外作业
思考题：7-7
习题：7-9，7-11，7-13，7-14
八、参考文献
[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室编．理论力学（普通高等教育“十五”
国家级规划教材），（Ⅰ）．第六版．北京：高等教育出版社，2002
[2] 洪嘉振，扬长俊编著．理论力学（普通高等教育“十五”国家级规划教
材）．第二版．北京：高等教育出版社，2002
[3] 范钦珊，刘燕，王琪编著．理论力学（普通高等院校基础力学系列教
材）．北京：清华大学出版社，2004
[4] 清华大学理论力学教研组编．理论力学：上册，中册，下册．第四版．北
京：高等教育出版社，1994
[5] Arthur P. Boresi，Richard J. Schmidt．Engineering Mechanics –Statics,
Dynamics．Thomsion Learning，2001．（重庆大学出版社，2005）
第7章小结
1．刚体运动的最简单形式
刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。

2．刚体运动的平行移动 (1)平移
刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运 动称为刚体的平行移动，简称平移。

刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。

(2)平移刚体的速度和加速度
刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度的大小、方向 都相同。

3．刚体绕定轴转动 (1)转动
刚体运动时，其中有两点保持不动，此种运动称为刚体绕定轴的转动， 简称转动。

(2)刚体的转动方程
刚体的转动方程)(t f =ϕ表示刚体的位置随时间变化的规律。

(3)角速度
角速度ω表示刚体转动的快慢程度和转向，是代数量，即
ϕ
ω = 角速度也可以表示成矢量形式：
k ω=ω
(4)角加速度
角加速度ε表示角速度对时间的变化率，是代数量，即
ϕω
ε ==
角加速度也可以表示成矢量形式：
k ε==t
d d ωε
当角加速度ε与角速度ω同号时，刚体作加速运动；当角加速度ε与角速度
ω异号时，刚体作减速运动。

(5)绕定轴转动刚体运动量之间的关系
绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：
r v ⨯=ω，r a ⨯=εt ，v a ⨯=ωn
式中r 为点的矢径。

速度、加速度的代数值为
2n t ,,ωεωR a R a R v ===
(6)传动比
1
2
122112z z R R i ===
ωω。