合肥市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

合肥市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．m N ∈且1m ，3m 可进行如下“分解”：333235,37911,413151719,=+=++=+++
若3m 的“分解”中有一个数是2019，则m =（ ）
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
【答案】B 【解析】 【分析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断 【详解】
由题意得底数是2的数分裂成2个奇数，底数是3的数分裂成3个奇数，底数是4的数分裂成4个奇数，则底数是m 数分裂成m 个奇数，则共有()()212342
m m m +-+++
+=
个奇数，
2019是从3开始的第1009个奇数，
()()4424419892
+-=，()()45245110342
+-=
∴第1009个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即45m =，
故选B 【点睛】
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。

2．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，
若2
(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022
a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或1
1a b =-⎧⎨=-⎩
即必要性不成立，
则“1a b ==”是“2
(i)2i a b +=”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．
3．已知P 为双曲线：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，A 为其左顶点，F 为其右焦点，满足
||||AF PF =，3
PFA π
∠=，则点F 到直线PA 的距离为（ ）
A B ．72
C D ．
152
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得APF 为等边三角形，求出点P 的坐标，然后代入双曲线中化简，然后求出a 即可 【详解】
由题意可得(),0A a -，(),0F c 由||||AF PF =，3
PFA π
∠=
可得APF 为等边三角形
所以有),22c a P a c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，代入双曲线方程可得()()22
22
3144c a a c a b -+-= 结合222b c a =-化简可得22340c ac a --=，可解得4c a =
因为c =a =
所以点F 到直线PA )15
2
a c +== 故选：D 【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，双曲线的方程及化简运算能力，属于中档题.
4．设向量()1,1a =-与()22
πsin ,cos ,0,2b ααα⎛⎤=∈
⎥⎝⎦
，且12a b ⋅=，则α=（） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
2
π
【答案】B 【解析】 【分析】 利用1
2
a b ⋅=列方程，解方程求得cos2α的值，进而求得α的值. 【详解】 由于12a b ⋅=，所以22
1sin cos 2αα-=，即1cos 22α=-，而(]20,πα∈，故2ππ2,33
αα=
=，故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 5．已知(1,cos )a a =，(sin ,1)b a =，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（ ） A ．
23
π B ．
34
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】B 【解析】
当a b ⊥ 时有0a b ⋅= ，所以sin cos 0αα+= ，得出tan 1α=- ，由于0απ<< ，所以34
πα= .故选B.
6．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－
或3}x ＞，则A B =（ ）
A ．R
B ．()4-∞，
C ．()4
3
1⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
-，-，
D ．()()13∞⋃+∞－，－
， 【答案】C 【解析】 【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案. 【详解】
根据题意得，2|2|x x -≤等价于()2
22|2|,0x x x -≤≥，解得4
43
x ≤≤， 于是()431A
B ⎡⎫
=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
-，-，，故答案为C.
【点睛】
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大. 7．5(12)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（ ）
A ．160
B ．-120
C ．40
D ．-200
【答案】D 【解析】 【分析】
将已知多项式展开,将求展开式中3x 的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的r 分别取32，求出二项式的含3x 和含2x 的系数． 【详解】
555(12)(2)2(12)(12)x x x x x --=---
5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，
令3r =得5
(12)x -展开式中3x 的项的系数是35880C -=-,
令2r
得5
(12)x -展开式中2x 的项的系数是25440C =,
555(12)(2)2(12)(12)x x x x x ∴--=---的展开式中3x 的项的系数是2(80)40200⨯--=-.
故选:D . 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易.
8．8张卡片上分别写有数字12345678、、、
、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ） A ．
1
6
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】C 【解析】 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可得出答案。

【详解】
事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个，
由古典概型的概率公式可得()286314
P AB C =
=， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，
由古典概型的概率公式可得()2
42
823
7
C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选：C 。

【点睛】
本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。

9．设
在
内单调递增；
.则是的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 试题分析：由在
内单调递增，得
在上恒成
立，只需
，即
，命题等价于命题：
，
是的充分必要条件，故选C .
考点：1、充分条件与必要条件；2、利用导数研究函数的单调性.
10．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ） A ．随机抽样 B ．分层抽样
C ．系统抽样
D ．以上都是
【答案】C 【解析】 【分析】
对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号. 【详解】
对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，
从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样. 【点睛】
本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解. 11．双曲线
的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
依据双曲线性质，即可求出。

【详解】 由双曲线
得，
，即
，
所以双曲线的渐近线方程是，故选D 。

【点睛】
本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线
的渐近线方程是
；
双曲线的渐近线方程是。

12．等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( ) A ．9 B ．18
C ．27
D ．54
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 2． 【详解】
在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝2． ∴S 2()1955
929992
2
a a a a
+⨯⨯=
===．
故选：A ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 二、填空题：本题共4小题
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 为1CC 的中点，点F 为线段1DD 上靠近1D 的四等分点，平面BEF 交1AA 于点G ，则AG 的长为__________．
【答案】1 【解析】 【分析】
作1DD 的中点H ，连接AH ，EH ，得四边形AHFG 为平行四边形即可求解 【详解】
作1DD 的中点H ，连接AH ，EH ，易知
AH
BE
.又面11ADD A ∥ 面11BCC B ，故//GF BE ，所以
//GF AH ，由于11//AA DD ，所以四边形AHFG 为平行四边形，所以211AG HF ==-=.
故答案为1
【点睛】
本题考查点线面的位置关系及线段的计算，考查面面平行的基本性质，考查空间想象能力和运算求解能力. 14．已知向量a 与b 的夹角为120︒，且()2,4a =--，5b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为________． 【答案】5【解析】 【分析】
由题知，25a =，再根据投影的概念代入计算即可. 【详解】
()2,4a =--，()()
22
2425a ∴=-+-=，
所以向量a 在向量b 方向上的投影为1cos ,2552a a b ⎛⎫
⋅=⨯-= ⎪⎝⎭
故答案为：5【点睛】
本题主要考查了向量模的坐标计算，投影的概念与计算.
15．某省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选考3科.学生甲想报考某高校的医学专业，就必须要从物理、生物、政治3科中至少选考
1科，则学生甲的选考方法种数为________（用数字作答）.
【答案】19 【解析】 【分析】
在物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科的选法中减去只选化学、历史、地理3科的情况，利用组合计数原理可得出结果. 【详解】
从物理、生物、政治3科中至少选考1科，也可以理解为：在物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科选法中减去只选化学、历史、地理3科的情况，
6科中任选3科的选法种数为3
6C ，
因此，学生甲的选考方法种数为33
6319C C -=.
故答案为：19. 【点睛】
本题考查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.
16．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2
f π
π>，
则()f x 的单调递增区间是______. 【答案】2,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
【解析】 【分析】
根据题设条件得出()6
f π是函数的最大值或最小值，从而得到6,k k Z π
ϕπ=
+∈，结合()2f f ππ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，最后得到56
π
=-ϕ，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间. 【详解】
解:若()()6
f x f π
≤对x ∈R 恒成立,
则()6
f π等于函数的最大值或最小值,即2,6
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈,
则6
,k k Z π
ϕπ=+∈ ,
又()2f f ππ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
,即 sin 0ϕ<
令 1k =-,此时56
π
=-ϕ ,满足条件 令522,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤
-
∈-+∈⎢⎥⎣⎦
, 解得2,()63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣
⎦. 则()f x 的单调递增区间是2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. 故答案为:2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦ . 【点睛】
本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数22
()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数，e ＝1．718 18…是自然对数的底数）．
（1）当0k ≤时，求函数f （x ）的单调区间；
（1）若函数()f x 在（0,1）内存在两个极值点，求k 的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞；（1）2
(,)2
e e ．
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，
()f x '=3
(2)()
x
x e kx x
--= 由0k ≤可得0x e kx ->，
得到()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）分0k ≤，0k >，01k <≤，1k >时，
讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少. 试题解析：（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，
242
221()()x x x e xe f x k x x x
-=--+'
32
2(2)
x x xe e k x x x
--=- 3
(2)()
x x e kx x
--= 由0k ≤可得0x e kx ->，
所以当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减， 故()f x 在(0,2)内不存在极值点；
当0k >时，设函数(),[0,)x
g x e kx x =-∈+∞， 因为ln ()x
x
k
g x e k e e '=-=-，
当01k <≤时，
当(0,2)x ∈时，()0x
g x e k '=->，()y g x =单调递增，
故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，
得(0,ln )x k ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减，
(ln ,)x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增，
所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-， 函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；
当且仅当(0)0(1)0(2)00ln 2g g nk g k >⎧⎪<⎪
⎨>⎪⎪<<⎩，
解得2
2
e e k <<，
综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2
(,)2
e e .
考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.
18．小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为
13，第二次投篮命中的概率为12
，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为
2
3，否则为14
. （1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；
（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望.
【答案】（1）34
；（2）49
36.
【解析】
分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.
详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝1
4； 所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝3
4
.
（2）ξ可能的取值为0，1，2，1．
P(ξ＝0)＝
1
4； P(ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝1
4；
P(ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P(ξ＝1)＝13×12×23＝1
9
；
故随机变量ξ的概率分布为
所以数学期望E(ξ)＝0×
4＋1×4＋2×18=＋1×9＝36
． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 19．已知函数()ln m
f x x x
=+
. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[
)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞ 【解析】 【分析】
（1）求出()f x '
，当1m =时，求出()0,()0f x f x '
'
><的解即可；
（2）所求的问题为ln 10m
x x m x
+
+--≥在[)1,+∞上恒成立，
设()ln 1m
g x x x m x
=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可. 【详解】
（Ⅰ）当1m =时，()()1
ln 0f x x x x
=+>， 则()22111x f x x x x
-'=
-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.
所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1. （Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10m
x x m x
+
+--≥在[)1,+∞上恒成立.
设()ln 1m g x x x m x =++--，则()222
11m x x m
g x x x x +-'=-+=
. 设()()2
1h x x x m x =+-≥，
①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[
)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，
所以当2m ≤时，ln 10m
x x m x
+
+--≥在[)1,+∞上恒成立；
②当2m >时，令()2
0h x x x m =+-=，
得1x =
或2x （舍去）.
所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<，
则()g x 是1141,
m ⎛⎫
-++ ⎪ ⎪⎝⎭
上的减函数； 当114,m x ⎛⎫-++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>， 则()g x 是114,m ⎛⎫
-+++∞ ⎪
⎪⎝⎭
上的增函数. 所以当1141,2m x ⎛⎫
-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10m
x x m x
+
+--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】
本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.
20．已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若()0f x 在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）切线方程为3y =-.
（2）当01a <<时，()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； 当1a =时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；
当1a >时，()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a .
（1）2e 2e
2e 2
a -≥
-. 【解析】
试题分析：（1）求出a=1时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2）对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（1）恒成立问题常转化为最值计算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以只需令区间端点对应的函数值小于等于零求解即可． 试题解析：（1）∵a ＝1，∴f （x ）＝x 2－4x ＋2lnx ， ∴f ′（x ）＝
（x>0），f （1）＝－1，f ′（1）＝0，所以切线方程为y ＝－1．
（2）f ′（x ）＝
（x>0），
令f ′（x ）＝0得x 1＝a ，x 2＝1，
当0<a<1时，在x ∈（0，a ）或x ∈（1，＋∞）时，f ′（x ）>0，在x ∈（a ，1）时，f ′（x ）<0，∴f （x ）的单调递增区间为（0，a ）和（1，＋∞），单调递减区间为（a ，1）；当a ＝1时，f ′（x ）＝
≥0，
∴f （x ）的单调增区间为（0，＋∞）；当a>1时，在x ∈（0，1）或x ∈（a ，＋∞）时，f ′（x ）>0，在x ∈（1，a ）时，f ′（x ）<0，∴f （x ）的单调增区间为（0，1）和（a ，＋∞），单调递减区间为（1，a ）． （1）由（2）可知，f （x ）在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f （x ）在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f （1）＝1－2（a ＋1）≤0且f （e ）＝e 2－2（a ＋1）e ＋2a≤0，解得a≥．
考点：•导数法求切线方程；‚求含参数的函数的单调性问题；ƒ恒成立问题求参数范围． 【方法点睛】恒成立问题求参数范围常常将参数移到一边转化为函数最值问题即恒
成立，即等价于
．该解法的优点是不用讨论，但是当参数不易移到一边，或
移到一边后另一边的函数值域不易求时，就不要移，而是将不等式的一边化为零即，
由于此时函数
含有参数，所以应讨论并求最值
，从而求解．
21．设函数2()2ln f x x ax x =-++.
（1）若()f x 在其定义域上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）当3a =时，()f x 在[,)()n
e n Z +∞∈上存在两个零点，求n 的最大值.
【答案】 (1)(,22]-∞;(2)-2. 【解析】
分析：（1）由()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数
求解新函数的单调性研究最值即可.（2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x
---+==
，得出函数的单调性和极值，然后根据()f x 在)
(),n
e n Z ⎡+∞∈⎣上存在两个零点，列出等价不等式求解即可.
详解：
（1）∵定义域为()0,+∞，()1
'2f x x a x
=-+
， ∵()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥，12a x x
≤+， ∵1
222x x
+
≥a 的取值范围是(
,22-∞. （2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x
---+==
， 由()'0f x >得()10,
1,2x ⎛
⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，由()'0f x <得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴()f x 在1
2x =
处取得极大值13
1ln 024
2f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在1x =处取得极小值()10f =，
∴1x =是一个零点，当1x >，()0f x >，故只需12
n
e <
且()
0n
f e ≤， ∵()
21
22
1313210e e f e
e e e
-+-=-+-=>，()
2
42130f e e e -=-<，∴n 的最大值为-2. 点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x 轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.
22．2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项测试各项20分，满分60分．某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分钟跳绳情况，按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试，其中女生54人，得到下面的频率分布直方图，计分规则如表1：
表1
每分钟跳绳个数 [)155,165
[)165,175
[)175,185
[)185,+∞
得分
17
18
19
20
（1）规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀，在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大于等于185个的有28人，根据已知条件完成表2，并根据这100名学生测试成绩，能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关？ 表2 跳绳个数 185≥
185<
合计 男生 28 女生 54 合计
100
附：参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
临界值表：
（2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，全年级恰有2000名学生，所有学生的跳绳个数X 服从正态分布(
)2
,N μσ（用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，各组
数据用中点值代替）．
①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）；
②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．
附：若随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
()220.9544P X μσμσ-<<+=，
()
330.9974P X μσμσ-<<+=13≈．
【答案】（1）不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；（2）①约为1683人，②见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给信息，完成表2，根据表中数据计算K 2的观测值k ，查表判断即可；
（2）利用频率分布直方图求解平均数和标准差，推出正式测试时，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=1． ①()1
1[1(182208)]0.8413182
2P X P ξ-==<>-，由此可推出人数．
②由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，得到ξ服从
13,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求出ξ的分布列，然后求解期望即可． 【详解】
（1）在抽取的 100 人中 ， 满分的总人数为 100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人， 男生满分的有 28 人，所以女生满分的有 20 人，
男生共有 46 人，女生 54 人，所以男生跳绳个数不足 185 个的有46−28=18人，女生跳绳个数不足 185 的有 54−20=34 人，
完成表2如下图所示：
由公式可得()2
210028341820 5.65348524654
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.653 6.635<，
所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关； （2）①根据频率分布直方图可得初三上学期跳绳个数的平均数：
=1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
而13σ≈，所以正式测试时，18510195μ=+=，故X 服从正态分布()
2
195,13N ，
且182μσ-=，则()11[1(182208)]0.8413182
2P X P ξ-==<>-，
所以20000.84131682.61683⨯=≈，故正式测试时，1分钟跳1个以上的人数约为1683人； ②
()11952P X >=
，ξ∴服从13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 3
11(0)28P ξ∴===，3
1313(1)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3
2313(2)28P C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 3
33
1(3)21
8
P C ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，
则ξ的分布列为：
()13322
=⨯
=E ξ． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图中平均数的计算、独立性检验和正态分布的问题，以及二项式分布，主要考查分析数据，处理数据的能力，综合性强，属中档题.。