1.4全称量词,特称量词

关系: (3)在(1)的基础上,用短语”对所有的”对
变量x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 全称量词
一.全称命题
1. 全称量词及表示: 定义： 短语“对所有的”、“对任意一个”、 “对一切”、“对每一个”、“任给”、 “所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
表示： 用符号“ ”表示 2. 全称命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称命题。
练习 判断下列命题的真假
(1)∃α ,β ∈R,使sin(α +β )=sinα +sinβ 真 如:α=β=0时,成立 真 (2)∃x,y∈Z,使3x-2y=10 如:x=y=10时,成立 (3)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数 真 如:函数y=0,x∈[-1,1]既是偶函数又是奇函数 ∵x2+x+8=(x+1/2)2+31/4>0
二.如何判断全称题,必须对 限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称命题是假命题,只要能 举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立 即可。
练习. 判断命题的真假 (1) xR, x2+x+1>0 真 (2) xQ, x2+0.5x+1是有理数 真 (3) xR, x2-3x+2=0 假 (x=1或2时才成立)
末位数不是0。
(2) 有些对数函数不是单调函数。
例2、写出下列命题的否定：
(1) 某些平行四边形是矩形。 (1) 没有一个平行四边形是矩形。 也即：所有的平行四边形都不是矩形。 (2)有些四边形的四个顶点共圆。
(2) 没有一个 四边形的四个顶点共圆。 也即：所有的四边形的四个顶点都不共圆。
(1) 某些平行四边形是矩形。
一.特称命题
1. 存在量词及表示: 定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、 “有些”、“有一个”、“对某个”、 “有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示：用符号“∃”表示, 2.特称命题及表示： 定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示： 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 可用符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
区别 在哪 否定：所有的平行四边形都不是矩形。
(2)有些四边形的四个顶点共圆。
否定：所有的四边形的四个顶点都不共圆。
特称命题p x M , p( x) 它的否定p x M , p( x)
练习2、写出下列特称命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形：
（2）有的梯形是等腰梯形； （1）所有的三角形不是直角三角形。 （2）一切梯形都不是等腰梯形。
小结
一.全称命题
1. 全称量词及表示: 2. 全称命题及表示:
二.如何判断全称命题的真假
若判定一个全称命题是真命题,必须对 限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立; 若判定一个全称命题是假命题,只要能 举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立 即可。
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4) 之间有什么关系? 存在量词 (1)2x+1=3 不是 (3)(4) (2)x能被2和3整除; 不是 特称命题 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 是 关系:(3)在(1)的基础上,用短语“存在一 个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成 了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个” 对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了 可以判断真假的语句.
• 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量 词与存在量词的意义． • 2.会判定全称命题和特称命题的真假.
• 1.全称量词和存在量词的含义．(难点) • 2.全称命题和特称命题真假的判定．(重点)
下列语句是命题吗?(1)与 (3),(2)与(4)之间有什么关系? (3)(4) 不是 (1)x>3 全称命题 (2)2x+1是整数 不是 (3)对所有的xR,x>3 是 (4)对任意一个x Z,2x+1是整数 是
例如:命题（1）有的平行四边形是菱形; （ （2）有一个素数不是奇数 都是特称命题. 例1 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立 至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立
练习5、写出下命题的否定及否命题；
并判断真假。
(1)x, y R, 若x y 0, 则x 0或y 0.
否定： x, y R, 若x y 0, 则x 0且y 0. 否命题：
x, y R, 若x y 0, 则x 0且y 0.
例4、 已知 : x 2 4ax 4a 3 0, x 2 (a 1) x a 2 0, x 2 2ax 2a 0三个方程中， 至少有一个有实数根 ，
(4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立
假
小结
一.特称命题
1. 存在量词及表示: 2. 特称命题及表示：
二. 如何判断特称命题的真假 要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真 命题，只需在集合M中找到一个元素x0， 使p(x0)成立即可.
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个特称命题是假命题.
它的否定p: x M , p( x)
⑴全称命题的否定：全称量词变存在量词， 肯定变否定。 ⑵特称命题的否定：存在量词变全称量词， 肯定变否定。
例3、写出下列命题的否定，并判断真假；
x

R ,2
x

4

0 .
（1）一切分数都是有理数；
否定：存在一个分数不是有理数。 （2）有些三角形是锐角三角形； 否定：所有的三角形不是锐角三角形。 （3）x是任意实数,都有2x+4不小于0
全称命题举例： 命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。

一.全称命题
全称命题的符号表示:
命题：对任意的 x∈R，

x>3；
含x的 语句px
x的取值 范围M
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表 示，变量x的取值范围用M表示，那么，
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为：
例2 下列语句是不是全称或特称命题
(1) 有一个实数a,a不能取对数 特称命题 (2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R 全称命题 (3) 三角函数都是周期函数吗? 不是命题 (4) 有的向量方向不定 特称命题
二. 如何判断特称命题的真假
例3 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.
1 0 解:假设三个方程均无实数根,则 2 0 0 2 3
求实数a的取值范围。
(4a ) 4(4a 3) 0 2 2 3 即: (a 1) 4a 0 解得: a 1 2 4a 2 4(2a ) 0
练习3、写出下列特称命题的否定：
（1）存在一个四边形，它的对角线互相
垂直且平分； （2）有的菱形是正方形。
（1）对所有的四边形，它的对角线都不
互相垂直且平分。
（2）所有的菱形都不是正方形。
全称命题p: x M , p( x)
它的否定p: x M , p( x) 特称命题p: x M , p( x)
有什么不同
否定：有的人不喝水。 (2)对所有实数
a ，都有 | a | 0
否定: 存在一个实数 a， 使 a 0 。
全称命题p: xM , p(x)
它的否定p: x M , p( x)
练习1、写出下列全称命题的否定： (1) 所有可以被5整除的整数, 末位数都是0；
(2) 对数函数都是单调函数。 (1) 有些可以被5整除的整数，
例1、写出下列命题的否定： (1) 所有的人都喝水。 (2) 对所有实数 a ，都有 | a | 0 (1) 并非所有的人都喝水。 也即：有的人不喝水。
(2)并不是对所有实数 a, 都有a 0 。
也即: 存在一个实数 a， 使 a 0 。
(1) 所有的人都喝水。 原命题与否定
否定: x R,2 x 4 0.
练习4、写出下列命题的否定形式。 ⑴三角形的两边之和大于第三边。 有些三角形的两边之和小于或等于第三边。
⑵直角相等。 有些直角不相等。 ⑶△ABC的内角中必有一个锐角。
△ABC的所有内角都不是锐角。
命题的否定形式有：
原 语句 否定 形式 是 都是 > 至少有 一个 不 不 一个也 是 都是 没有 至多有 一个 至少有 两个 对任意xA, 使p(x)真 存在x A, 使p(x)假
解: (1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使
x2+2x+3=0的实数x不存在. 所以,特称命题(1)是假命题.
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相 平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同 一条直线. 所以,特称命题(2)是假命题.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3, 所以特称命题(3)是真命题. 如何判断特称命题的真假 方法： 要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真 命题，只需在集合M中找到一个元素x0， 使p(x0)成立即可. 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个特称命题是假命题.
所以,三个方程至少有一方程有实根的实 数a的取值范围是 a 3 或a 1
2
小 结:
全称命题的否定 特称命题的否定
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
二.如何判断全称命题的真假 例3.判断下列全称命题的真假
(1) 所有的素数是奇数; (2) x R, x2+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数

解: (1)∵2是素数,但不是奇数. ∴全称命题(1)是假命题 (2)∵ x R,x2≥0,从而x2+1≥1 ∴全称命题(2)是真命题 (3)∵ 2是无理数,但( 2 )2=2是有理数 ∴全称命题(3)是假命题