向量的二范数

向量的二范数
二范数：在向量组上，把相应的两个单位向量组之间所夹的内积称为二范数。

其中S是内积， f是两向量组成的基， X是两向量的夹角。

首先，我们对向量进行一下分类。

给定向量a和b，其中A和B 是与ab垂直的向量。

现在以这两个向量为标准，假设有两个相等向量c和d，那么就说这两个向量a和b可以通过与c和d方向相反、大小相等的向量进行线性转化。

因此向量a=b，那么由于向量组的标准形式为：，那么向量组A与C可以互相转换。

我们将这种由两个相等向量通过线性运算而产生的新向量称为一个新向量（或称基向量），它必须是向量组A与C的共同基向量。

同理，向量a与d可以通过与c和d方向相反、大小相等的向量进行线性转化，即向量a=d。

这种共同的基向量称为这两个向量的共同基向量。

每个向量可以由向量组中任何一个向量转化而来，只要满足：，则转化后的向量仍然是这个向量的共同基向量。

从这个角度看，我们可以认为这个向量是向量组的中心。

任意两个向量都可以用共同基向量表示出来，这两个向量就叫做向量组的基向量。

这样，我们[gPARAGRAPH3]就可以证明了：在向量组上，把相应的两个单位向量组之间所夹的内积称为二范数。

这里所说的范数并不指的是内积的范数，而是由这两个单位向量组之间的共同基向量决定的内积的范数。

它们所具有的范数由所夹的内积决定。

由于二范数总是正数，所以向量组上两个向量组之间所夹的二范数与所求二维空间
中两点的二维欧式距离，等于两个向量组的共同基向量。

共同基向量为两向量的夹角，我们说向量a与b的夹角为二范数。

再根据内积定义，可知有向量组A与C的共同基向量。

当这两个向量组在空间有共同点时，则称它们共线，若两向量在该点有相同的向量值，则称这两个向量平行。

设两向量a与b在P点有相同的向量值，则称a与b平行于P，记作ab=b，写成a=b，则称a与b平行的充要条件是一对二范数相等。

这样，我们可以用实数轴表示向量，从而用数轴表示向量组。

当有向量组时，数轴上表示向量的点与向量的点重合，不与它们相交。

根据平行公理，有，那么。

可以看到数轴上存在平行于数轴的向量组，而且它们共面。

数轴上存在的向量组，叫做向量组的正交基。