江苏省泰州市兴化实验中学高二数学文月考试题含解析

江苏省泰州市兴化实验中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为若,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B 等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
参考答案：
B
2. 双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b的值是（▲）
A．- B．C．-或D．2或
参考答案：
B
略
3. 下列命题中不正确命题的个数是（）
⑴ 三点确定一个平面；⑵ 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C 四点不在同一平面内；⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内；⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
A
4. 若圆的方程为(为参数),直线的方程为(为参数),则直线与圆的位置关系是
A.相交过圆心
B.相交而不过圆心
C.相切
D.相离
参考答案：
B
本题主要考查的是直线与圆的位置关系、直线的参数方程、圆的参数方程等知识,意在考查学生分析问题、解决问题的能力. 把圆的参数方程化为普通方程得,所以圆心坐标为,半径,把直线的参数方程化为普通方程得:,即,故圆心到直线的距离
,又圆心不在直线上,所以直线与圆的位置关系是相交而不过圆心,故选B.
5. 实数满足，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
6. 两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）
A．12 B．11 C．10 D．9
参考答案：
B
【考点】进位制．
【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．
【解答】解：∵由题意可得，=1×22+1×21+0×20=6．
∴5+6=11．
故选：B．
7. 函数，以下关于此函数的说法正确的是
A．在处取得极小值B．在处取得极大值
C．在处取得极小值D．在处取得极大值
参考答案：
D
8. 设是的面积，的对边分别为，且则( )
A．是钝角三角
形B．是锐角三角形
C．可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D．无法判断
参考答案：
A
略
9. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东300，B在C南偏东600，则A、B之间相距：
A、a km
B、a km
C、a km
D、2a km
参考答案：
C
略
10. 已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q
参考答案：
B
【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．
【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；
q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．
∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在第______象限．
参考答案：
二
【分析】
求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限. 【详解】解：，
故复数对应点的坐标为，
故复数对应点在第二象限.
【点睛】本题考查了复数的运算，复数的几何意义，运算正确与否是解题正确与否的关键，属于基础题.
12. 在平面直角坐标系xOy中，若直线 (t为参数)过椭圆 (φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
参考答案：
a＝3.
13. 已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸
（单位：cm），可得这个几何体的体积是 __________；
参考答案：
14. 若函数,则
．
参考答案：
e
15. 已知公差为的等差数列满足：成等比数列，若是的前项和，则
的值为________.
参考答案：
3
略
16. △ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．
参考答案：
﹣=1（x＞3）
【考点】轨迹方程．
【分析】根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【解答】解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，
则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，
所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x ＞3）．
故答案为：﹣=1（x＞3）．【点评】本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
17. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则
_____________
参考答案：
3
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先确定命题p，q为真时，实数m的范围，进而由p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q 一真一假，得到答案．
【解答】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …
若q为真，则，即m≤﹣2 …
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假
若p真q假，则，解得：m＞1 …
若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …
综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …
19. 2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40
名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路
的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图的频率分布直方图．
（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
（3）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率．
参考答案：
（1）系统抽
样．……………1分
（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即……………2分
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：
，
解得
即中位数的估计值为
．……………4分
平均数的估计值为：
……………6分
（3）车速在的车辆数为：2
车速在的车辆数为：4 ……………8分
设车速在的车辆为，车速在的车辆为，
则基本事件有：共15种，其中，车速在的车辆至少有一辆的事件有：……………10分
共14种，
所以车速在的车辆至少有一辆的概率为…………….12分
20. 已知函数．
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求a的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时，
所以上为增函数
当，由
上为增函数，
在上是减函数
（Ⅱ）
【详解】
试题分析：（I）的定义域为（，1）（1，）
因为（其中）恒成立，所以
⑴当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑵当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑶当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）
（其中）
所以在各区间内的增减性如下表：
（，）（，t）（1，+）的符号
的单调性
（II）显然
⑴当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；
⑵当时，是在区间0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；
⑶若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。

综合⑴、⑵、⑶，a的取值范围为（－∞，2]
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，函数的恒成立问题。

中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。

对于恒成立问题，往往通过“分离参数法”，转化成求函数的最值问题。

21. 已知圆，圆，动圆与圆内切并且与圆外切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知曲线与轴交于两点，过动点的直线与交于(不垂直轴)，过作直线交于点且交轴于点，若构成以为顶点的等腰三角形，证明：直线，的斜率之积为定值.
参考答案：
【命题意图】本小题主要考查曲线与方程、椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等.
【试题简析】
（Ⅰ）由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.
设圆的圆心为，半径为.
因为圆与圆外切且与圆内切，
所以，
由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为3，短半轴长为的椭圆(右顶点除外)，
其方程为.
注：(没有挖去一点扣除1分)
（Ⅱ）设直线的方程为，，，
联立方程组消去，得，
由根与系数关系，得
若构成以为顶点的等腰三角形，则，
即.
设，则，即，
,
化简得，
所以为定值.
22. P为椭圆上一点，、为左右焦点，若
（1）求△的面积；
（2）求P点的坐标．
参考答案：
∵a＝5，b＝3c＝4 （1）设，，则①
②，由①2－②得
（2）设P，由得 4，将代入椭圆方程解得，或或或。