2020届河北省石家庄市第二中学高三6月高考全仿真数学(文)试题解析

绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合(
){
}2
|lg 34A x Z y x x =∈=-++，{}|2
4x
B x =≥，则A B =（）
A ．[)2,4
B ．{}2,4
C ．{}3
D ．{}2,3
答案：D
利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 解：
由2340x x -++>得2340x x --<， 则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞. 从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D . 点评：
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（） A ．直线 B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
答案：A
先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程 解：
解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，
(4)(1)a b i a b i ++=++，
所以2
2
2
2
(4)(1)a b a b ++=++， 化简得250b +=，52
b =-
，
所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2
a -， 所以z 对应点的轨迹为直线52
y =-， 故选：A 点评：
此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题.
3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<
答案：A
因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3x
y =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求
解 解：
因为()0,1x ∈，所以0a <.因为
12
π
>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<， 故选：A. 点评：
本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题
4．若()tan 3,tan 2a ββ+==，则()
3sin π2sin πa a ⎛⎫- ⎪
⎝⎭+=（）
A ．
17
B ．7
C ．17
-
D ．-7
答案：B
由两角差的正切公式求出tan α，再用诱导公式化简后可得． 解：
()tan tan 1tan tan 1
ta ()()n n 7ta a a a a ββββββ+=+-==+⎡⎦+⎤⎣-，
()3πsin cos 127sin πsin tan a a a a a
⎛⎫
- ⎪
-⎝⎭====+-. 故选：B ． 点评：
本题考查两角差的正切公式，考查诱导公式、同角间的三角函数关系，三角函数化简求值一般是先化简再求值．要观察已知角与未知角的关系以确定选用的公式．
5．某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m ，80，93，其中0m >,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（） A ．70 B ．75
C ．80
D ．85
答案：D
根据中位数为80，可知80m ≤，从而得到平均数小于等于81，从而确定结果. 解：
已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67，80，85，93 该学生这5次考试成绩的中位数为80，则80m ≤ 所以平均数：
85678093
815
m ++++≤，可知不可能为85
本题正确选项：D 点评：
本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.
6．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 可能的解析式是（）
A ．()21
sin 21x x f x x +=⋅-
B ．()21
cos 21x x
f x x +=⋅- C ．()21
sin 21
x x f x x +=-⋅-
D ．()21
cos 21
x x
f x x +=-⋅- 答案：B
根据函数图象可判断函数的奇偶性，再根据函数在0,
π⎛⎫
⎪的函数值，一一判断可得；
解：
解：由函数图象可得，函数图象关于原点对称，故函数为奇函数，
对于A ：()()()2121
sin sin 2121
x x x x f x x x f x --++-=-⋅=⋅=--为偶函数，不满足条件；
同理可判断C 也不满足条件，
对于B ：当02x π
<<时，cos 0x >，212102121x x x +=+>--，故()21
cos 021
x x f x x +=⋅>-，
满足条件；
对于D ：当02x π
<<时，cos 0x >，212
102121
x x x +=+>--，故
()21
cos 021
x x f x x +=-⋅<-，不满足条件；
故选：B 点评：
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这种类型的问题一般选择排除法，属于基础题. 7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入()
A ．n 是偶数?，100n ≥?
B ．n 是奇数?，100n ≥?
C ．n 是偶数?，100n >?
D ．n 是奇数?，100n >?
答案：D
根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，
1,0;2,2;3,4;n s n s n s ======22
991100...;99,100,;
22
n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.
8．下列判断正确的个数是（）
①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件
②函数()2
2
99
f x x x =++的最小值为2
③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
答案：B
对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论.
解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；
对于②，由基本不等式得，()
2f x =≥=
成立，所以取不到等号，所以②错误；
对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确；
对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，
020*******x +≤”，所以④错误
所以正确的有1个， 故选：B 点评：
此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题.
9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移
12
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且
()g x 为奇函数，则（）
A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
D ．()f x 在2,3
6ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭上单调递增 答案：C
根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得
()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移
12
π
个单位长度后，可得
()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然
后逐项验证即可.
因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22T
π
ω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位长度后，
可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫+
+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=的图象， 又因为()g x 是奇函数，令()6
k k Z π
ϕπ+=∈，
所以()6
k k ϕπ=π-∈Z .又2π
ϕ<，
所以6
π
ϕ=-
.
故()2sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 当6
x π
=
时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，故A 错误；
当6
x π
=-
时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6
x π
=-
对称，不关于点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称，故B 错误；
在,63ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上，
2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确； 在2,3
6ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.
故选：C 点评：
本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222
x y b
+=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C
D
答案：D
本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果． 解：
根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为1
23MF MF ，M 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，1
2
2MF MF a ，即2
2
32MF MF a ，2MF a =，
因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，
因为2MH
OF ，所以22OF MH OM MF ，ab c
MH
，即M 点纵坐标为ab c ，
将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22
2
2
2a b c x b ，解得2b c
x
，2,b ab c
c
M
， 将M 点坐标带入双曲线中可得42
22
2
1b a a c c ，
化简得44
22b a
a c ，2
2
24
22c
a a a c ，223c a =，3c a
e
，故选D ．
点评：
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．
11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：D
每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面
1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.
解：
在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线
1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，
故选：D. 点评：
本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题
12．已知22log (1),13
()123
5,
32
2x x f x x x x ⎧-<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫
+⋅+ ⎪⎝⎭
的取值范围()
A ．()0,10
B ．[]0,10
C ．()0,4
D ．[]0,4
答案：A
分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得
()()12111x x --=，34
10x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．
当(]1,3x ∈时，()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-， 因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，
所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤． 当()3,x ∈+∞时，()2123
522
f x x x =
-+，3410x x +=且01m <<． 所以()()341
2100,10m m x x m x x ⎛⎫
++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．
点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围． 二、填空题
13．曲线22x
x x y e +=在(0,0)
处的切线方程为_________.
答案：2y x = 求导()
2(22)2x
x x x y e
+-+'=，计算02x k y ='==，得到切线方程.
解：
()
()
222(22)2(22)2x x x
x
x e e x x x x x y e
e
+-++-+'=
=
，故02x k y ='==，
故所求切线方程为2y x =. 故答案为：2y x =. 点评：
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.
14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为
________. 答案：
34
π
将|2|2a b +=
两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a
与的夹角的余弦值,进而求得与的夹角即可.
解：
因为(1,1)a =-,则2a =
因为|2|2a b +=
,等式两边同时平方可得
2
2
442a a b b +⋅+=
代入2a =
,||1b =可得
1a b ⋅=-
设,a b 夹角为α,则
由平面向量数量积的定义可得221
cos a b a b
α⋅=
=-⨯⋅=
因为0απ≤≤ 所以34
π
α=
故答案为:34
π 点评：
本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题. 15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______.
答案：1
12
12(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨
-⎪≥+⎪⎩
根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1n n n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1
11
1n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 解：
当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅， 则11n n n n S S S S ---⋅-=，
1
111n n S S -∴
-=，
112
a =
，∴11
2S =，即112
S =，
()1
2111n
n n S ∴
=+-⨯=+， 所以1
1
n S n =
+， 所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n
--=-=-=++， 当1n =时，11
2
a =
，不满足上式， 故1
12
12(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，
故答案为：1
12
12(1)
n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩
点评：
本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．
答案：438,33⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故
14
33
S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，
232cos SC θ=-又224SC ≤≤112cos [,]2233
ππ
θθ⇒-≤≤⇒∈，则
2sin 2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -
的体积取值范围为8
[
]33
. 三、解答题
17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ． （Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4
π
=
，△ABC 的面积为6，求BC ．
答案：（Ⅰ）tanB ＝2；
（Ⅱ）（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.
（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值. 解：
（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sin
B =
，cos
B =． ∴sin A ＝sin （B +
C ）＝sin B cos C +cos B sin
C 22
10=
=． ∴a b sinA sinB =，可得：
a 2
b ==．又12ab sin 4π=6，可得
b a
=． ∴
a 4a
=
⨯
，即218a =，解得BC a =
＝ 点评：
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
18．四棱锥S ABCD -如图所示，其中四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，
AD DC ⊥，SA ⊥平面ABCD ，12DA DC AB ==
，AC 与BD 交于点G
，cos SCA ∠=，点M 线段SA 上.
（1）若直线//SC 平面MBD ，求
SM
MA
的值； （2）若1DA =，求点A 到平面SCD 的距离. 答案：（1）
12；（2）
3
. （1）连接MG ，直线//SC 平面MBD ，可推出//SC MG ，从而得
SM CG
MA AG
=，而由已知条件可得
12DC CG AB AG ==，进而可得SM
MA
的值； （2）在平面SAD 内作AN SD ⊥于点N ，可得AN ⊥平面SCD ，于是求出AN 的值就是点A 到平面SCD 的距离，结合已知条件在Rt SAD △利用面积法可求解. 解：
解：（1）连接MG .
AB AD ⊥，AD DC ⊥，且AB ，CD 在同一平面内，//AB CD ∴，
设1DC =，2AB =，得
2AG AB
GC DC
==， //SC 平面MBD ，平面SAC 平面MBD MG =，SC ⊂平面SAC ，//SC MG ∴， 故
1
2
SM CG MA AG ==；
（2）在平面SAD 内作AN SD ⊥于点N
SA ⊥平面ABCD DC SA ∴⊥，
又DC AD ⊥，SA
AD A =，得DC ⊥平面SAD.
AN ⊂平面SAD ，CD AN ∴⊥.又SD
CD D =，
AN ∴⊥平面SCD.
25
cos
SCA ∠=
， ∴25
sin ASC ∠=
，又2AC =，
10
sin AC SC ASC ∠∴=
=
， 则2
2
SA =
，而1AD =，SA AD ⊥，求得2262SD SA AD =+=，
·3
3
SA AD AN SD =
=
， 即点A 到平面SCD 的距离为3
. 点评：
此题考查线面平行的性质和线面垂直的判定，考查了点到面的距离，考查了推理和计算能力，属于中档题.
19．2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎
（CoronaVirusDisease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．
为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t 的值依次1，2，
…，10）建立模型ˆy
c dt =+和ˆ 1.5t y a b =+⋅． 参考数据：其中 1.5i
t i ω=，10
1
110i i ωω==∑．
（1）根据散点图判断，ˆy
c dt =+和ˆ 1.5t
y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于t 的回归方程；
（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： （i ）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？ （ii ）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，……，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u β
α=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1
1
2
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i i i n
n
i i
i i u u v v u v nuv
u u u
nu β
====---==
--∑∑∑∑，ˆv u αβ=-．
答案：（1）ˆ 1.5t
y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；（2）ˆ1622 1.5t y =+⨯（3）（i ）可靠；（ii ）有效，见解析
（1）根据散点图直接得到答案.
（2）设 1.5t ω=，则ˆy
a b ω=+，根据最小二乘法公式代入数据计算得到答案. （3）（i ）取11t
=，12t =，13t =，代入回归方程计算比较得到答案.
（ii ）取15t =，代入回归方程比较得到答案. 解：
（1）根据散点图可知：
ˆ 1.5t y
a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型； （2）设 1.5t ω=，则ˆy
a b ω=+， 10
1
10
2
2
2
1
1013472010173902260001011ˆ7
0i i
i i
i y y
b
ωωω
ω==--⨯⨯==
=-⨯-∑∑，390ˆˆ221716a y b ω=-=-⨯=， 1622.ˆ15t y
∴=+⨯； （3）（i ）当11t
=时，ˆ1930y
=，1930197545
0.119751975
-=
<， 当12t =时，ˆ2876y
=，28762744132
0.127442744-=
< 当13t =时，ˆ4306y
=，43064515209
0.14515
4515
-=
<， ∴（2）的回归方程可靠；
（ii ）当15t =时，ˆ9696y
=，9696远大于真实值7111，故防护措施有效． 点评：
本题考查了求回归方程，回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
其右顶点为A ，下顶点为B ，
定点()0,2C ，ABC 的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
答案：（1）2
214
x y +=（2）是定值，43
（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 解：
（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，
1(2)32b a ∴+=①，又由2
3=1c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，
∴椭圆方程为2
214
x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y 则直线BP 的方程为1111y y x x +=
-，令0y =，得点M 的横坐标111
M x
x y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=
-，令0y =，得点N 的横坐标221
N x
x y =+， 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=
++12
12(3)(3)
x x kx kx =++
12
212123()9
x x k x x k x x =
+++
把直线2y kx =+代入椭圆2
214
x y +=得22(14)16120k x kx +++=，
由韦达定理得1221214x x k =+，12
21614k
x x k +=-+ ∴22222
1214124891414M N k x x k k k k
+==-+++222
12412489363
k k k =-++，是定值． 点评：
本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题.
21．已知函数2
1()ln 22
f x x x ax =+
-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛
⎫
-
- ⎪⎝⎭
，求a 的取值范围. 答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2
）544⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ （1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题； （2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =
>，从而构造函数11()ln 22h t t t t
=-+，根据函数
的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 解：
解：（1）2121
()2(0)x ax f x x a x x x
-+'=+-=>.
令2
()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.
①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.
②当0
0a >⎧⎨∆>⎩
，即1a >时，
由()0f x '>
，得0x a <<
x a > 由()0f x '<
，得a x a <<+
∴()f x
在(0,a
和()a ++∞上单调递增，
在(a a 上单调递减.
综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当1a >时，()f x
在(0,a
和()a ++∞上单调递增，
在(a a 上单调递减.
（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.
由（1）得1x ，2x 为2
()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .
所以()()()()2
2221212111ln
22
x f x f x x x a x x x -=+--- 222
22212212211112112
ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.
令21(1)x t t x =
>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t
-==-+， 因为22
222
11121(1)()02222t t t h t t t t t -+---'=--==<，
所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15
(4)2ln 28
h =-， 所以24t ≤≤，
又()2
1
2212
1
42([2,4])x x a t t x x t
+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增，
所以
2925
424
a ≤≤， 所以实数a
的取值范围为544⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. 点评：
本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
22．选修4-4：坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为
,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．
（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．
答案：（1）2
22439x y =⎛⎫++ ⎪⎝
⎭（2）3 （1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩
'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013
t t +=''-
，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 解：
（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，
则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ， 即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩
消去θ，得2
22439x y =⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，此即为点M 的轨迹方程. （2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212
y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩
'⎪（t '为参数），
代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-
， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭
， 故可设点,A B 对应的参数为1
t '，2t '， 则2
1213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 点评：
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c
++；
（2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：
111c b a b c
++++ 答案：（1）见解析（2）见解析 （1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 解：
证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c
++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a
=++++++， 当a b c ==时等号成立.
（2）因为11111111111222a b c a b a c b c ab ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc
=， 111
c b a b c ∴+++.
当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.
点评：
本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。