浙江省杭州地区七校2014届高三第一学期期中联考数学(文)试题(含答案)

杭州地区七校2014届高三第一学期期中联考数学文试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一．选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M
N = （ ）
A ．{21}x x -≤<
B ．{21}x x -<<
C ．{2}x x <-
D ．{|2}x x ≤
2．在等比数列{}n a 中，13465
10,4
a a a a +=+=
，则公比q 等于（ ） A ．2 B ．
12 C ．－2 D ．12
- 3．若函数))(1()(a x x x f -+=为偶函数，则=a （ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
4．“1sin =x ”是“0cos =x ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知01a <<，log log a
a x =1
log 52
a y =，log log a a z = ）
A ．x y z >>
B ．z y x >>
C ．y x z >>
D ．z x y >>
6．将函数sin 2y x =的图像向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（ ）
A ．cos 2y x =
B ．2
2cos y x = C ．1sin(2)4
y x π
=++
D ．22sin y x =
7．若函数()a
f x x =满足(3)9f =,那么函数()lo
g (1)a g x x =+的图象大致为（ ）
8．已知实数0
,0>
>y
x，2
lg
8
lg
2
lg=
+y
x，则
y
x
1
1
+的最小值是（）A．3
2B．3
4C．3
2+D．3
2
4+
9．已知函数
⎩
⎨
⎧
>
<
≤
+
-
=
)1
(
log
)1
0(
4
4
)
(
2013
2
x
x
x
x
x
x
f，若c
b
a,
,互不相等，且)
(
)
(
)
(c
f
b
f
a
f=
=，则c
b
a+
+的取值范围是（）
A．)
2014
,2(B．)
2015
,2(C．)
2014
,3(D．)
2015
,3(
10．已知数列{}n a是等差数列，且[][][]3,2
,2,1
,1,0
3
2
1
∈
∈
∈a
a
a，则
4
a的取值范围是（）
A．[]4,3B．⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3
13
,
3
8
C．⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
9
,
2
5
D．[]5,2
二．填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．化简[]0
2
1
6)1
(
)2
(-
-
-的结果为；
12．已知平面向量)1,3(
=
a
，)3
,
(-
=x
b
，且b
a
⊥，则x的值为；
13．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a = ；
14．已知3
sin()4
5
x π
+=
，则x 2sin 的值为 ；
15．若函数b bx x x f +-=3)(3在区间)1,0(内有极值，则实数b 的取值范围是 ；
16．已知正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PA PB ×的最大值是 ；
17．函数)1(ln )(2e x x
x
x f ≤≤=
与函数kx x g =)(恒有两不同的交点，则k 的取值范围是 ；
三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)
已知集合A 为函数2
()lg(2)f x x x =-+的定义域，集合{}
22210B x x kx k =-+-? 。

（Ⅰ）求集合A 、B ；
（Ⅱ）若A 是B 的真子集，求实数k 的取值范围。

19．(本小题满分14分)在锐角ABC ∆中，2sin a B ， （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）当2=BC 时，求ABC ∆面积的最大值。

20．(本小题满分14分)已知向量)1,(cos ),2
3,(sin -==x x ， （Ⅰ）当b a //时，求x 2tan 的值； （Ⅱ）求函数b b a x f ⋅+=)()(在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,2π上的值域。

21．(本小题满分15分)
已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知147
16
a a +=-，且1S ，3S ，2S 成等差， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n
b n =（n N +∈），记3
12123
n n n
b b b b T a a a a =
++++
，若2
(1)(1)n n m T n -≤--对于+∈≥N n n ,2恒成立，求实数m 的取值范围。

22．(本小题满分15分)已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=， （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[]4,1内的最小值为2ln 2-，求a 的值。

（参考数据7.02ln ≈）
2013-2014学年第一学期期中杭州地区七校联考
高三年级数学（文科）参考答案
1．D 2． B 3． C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10． C
11．7 12．1 13．8 14．725- 15．()0,1 16．32 17．421
,2e e 轹÷ê÷ê滕
18．（本小题满分14分）
已知集合A 为函数2()lg(2)f x x x =-+的定义域，集合{}
22
210B x x kx k =-+-? ，
（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若A 是B 的真子集，求实数k 的取值范围。

18．解：（Ⅰ）由题意得2
20x x -+>，02x \<<，()
0,2A \=，------------------------------------3分
B 中：[][](1)(1)0x k x k -+--?得1x k ?或1x k ?，(][),1
1,B k k \=-?++?。

------7
分
（Ⅱ）若A 是B 的真子集，则
○
110k +?，得1k ?------------------------------------------------------------10分 或○212k -?得3k ³，--------------------------------------------------------------13分 综上得(][),13,k ??+?--------------------------------------------------------------14分
19．（本小题满分14分）
在锐角ABC ∆中，2sin a B ， （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）当2=BC 时，求ABC ∆面积的最大值．
19．解：（Ⅰ） 2sin a B ，2sin sin A B B \，-----------------2分
sin 0B >， 2sin A \故2
3
sin =
A ，------------------------------------------------------------------------5分 因为ABC ∆为锐角三角形，所以 60=A ………………………………7分 （Ⅱ）解：设角C
B A ,,所对的边分别为c b a ,,．
由题意知2=a ，由余弦定理得222242cos60b c bc b c bc =+-=+----------------9分 又222b c bc bc bc bc +-?=，4≤∴bc ------------------------------------------------11分
∴ 344
34360sin 21=⨯≤==
∆bc bc S ABC ，--------------------------------------------13分 当且且当ABC ∆为等边三角形时取等号，
所以ABC ∆面积的最大值为3． ………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知向量)1,(cos ),2
3
,(sin -==x x ，
（Ⅰ）当b a //时，求x 2tan 的值； （Ⅱ）求函数x f ⋅+=)()(在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,2π上的值域。

20．解：（Ⅰ）
//a b ，∴3
sin (1)cos 02
x x ⋅--⋅=，-----------------------------------2分
即3sin cos 02x x +=，∴3
tan 2x =-， -----------------------------------------------4分
∴2
2tan 12
tan 21tan 5
x x x ==----------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）x f ⋅+=)()(=22
3sin cos cos 12a b b x x x ?=-++1311sin 2cos 212222
x x =-+++
)4x p
+-------------------------------------------------------------------10分
30,22
444x x p p p p -＃\-??，1sin(2)4x p -??-----------------------12分
1)42
x p -??
，即1
()2f x ?臌
----------------------------------------14分
21．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知147
16
a a +=-，且有1S ，3S ，2S 成等差； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n
b n =（n N +∈），记3
12123
n
n n
b b b b T a a a a =++++
，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2
n ≥恒成立，求实数m 的范围。

21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，231,,S S S 成等差，2132S S S +=∴，---------------------1分
)2()1(2121q a q q a +=++∴，得022=+q q ，
2
1
-=∴q 或0=q （舍去），----------3分
又)1(1673141q a a a +=+=-，211-=∴a ，n n a )2
1
(-=∴，---------------------5分 （Ⅱ）
1
,(),22n n n n n n
b b n a n a ==-∴=⋅，---------------------------------------------------------6分
231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅
23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+++-⋅+⋅
23122222n n n T n +∴-=+++
+-⋅
1
1122(2)(1)2212n n n n T n n +++-∴=--⋅=-⋅+----------------------------------------------10分
若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，则2
1
(1)[(1)2
21]n n m n n +-≤-⋅+--，
21(1)(1)(21)n n m n +-≤-⋅-，1
1
21
n n m +-∴≥
-对2n ≥恒成立---------------------------------12分
令11()21n n f n +-=-，12121
1(2)21
(1)()02121(21)(21)
n n n n n n n n f n f n +++++--⋅-+-=-=<---- 所以当2n ≥时，)()1(n f n f <+，()f n 为减函数，1
()(2)7f n f ∴≤=
-------------------14分
1
7m ∴≥
-------------------------- ----------------------15分
22．（本小题满分15分） 已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=
， （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[]4,1内的最小值为2ln 2-，求a 的值。

（参考数据7.02ln ≈） 22．解：（Ⅰ）由x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=
得 )0()
1)(()1()1()(2>+-=---=---='x x
x a x x a x a x x a a x x f --------------------------------2分
○
1当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 的单调递增区间是),0(+∞；---------------------------------4分 ○
2当0>a 时，0)(>'x f a x >⇒，0)(<'x f a x <<⇒0， 可得)(x f 在),0(a 单调递减，),(+∞a 单调递增。

------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）结合（Ⅰ）可知：
○
1当0≤a 时，)(x f 在区间[]4,1内单调递增， []2ln 223)1()(min -=-=
=
a f x f 02ln 22
3
>+=⇒a ， 与0≤a 矛盾，舍去；----------------------------------------------------------------------------------------8分 ○
2当10≤<a 时，)(x f 在区间[]4,1内单调递增， []2ln 223)1()(min -=-=
=
a f x f 12ln 22
3
>+=⇒a ， 与10≤<a 矛盾，舍去；----------10分
○3当4≥a 时，)(x f 在区间[]4,1内单调递减，[]2ln 24ln 448)4()(min -=-+-==a a f x f ， 得到42
ln 22
ln 6<++=a ，舍去；----------------------------------------------------------------------------12分
○
4当41<<a 时，)(x f 在[]a ,1单调递减，[]4,a 单调递增， []2ln 2ln 2
1
)()(2min -=-+-==
a a a a a f x f ，
令a a a a a h ln 2
1)(2
-+-=，则0ln )ln 1(1)(<--=+-+-='a a a a a h ，故)(a h 在)4,1(内为减
函数，
又2ln 2)(-=a h ，2=∴a ---------------------------------------------------------14分 综上得2=a ----------------------------------------------------------------------------15分 （其它解法酌情给分）。