2018-2019学年成都市天府新区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2018-2019学年成都市天府新区八年级（上）期末数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是（）
A．B．C．3.14 D．
2．下列各式中，正确的是（）
A．＝﹣2 B．＝9 C．＝±3 D．±＝±3
3．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D．∠C＝∠A﹣∠B
6．下列命题中，是真命题的是（）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么AD′为（）
A．6 B．3C．18 D．3
8．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D作直线，分别交AC和AB于点E，H．下列的结论中一定不正确的是（）
A．∠B＞∠ACD B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B+∠ACB＜180°D．∠HEC＞∠B
9．下列关于函数y＝﹣2x+3的说法正确的是（）
A．函数图象经过一、二、三象限
B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）
C．y的值随着x值得增大而增大
D．点（1，2）在函数图象上
10．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．的算术平方根是．
12．估计与1.5的大小关系是： 1.5（填“＞”“＝”或“＜”）
13．如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组
的解是．
14．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．
三、解答题（共54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣1）2018+|1﹣|．
（2）解方程组：
16．（6分）如图，已知AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求证：AE∥FC．
17．（8分）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，C点坐标是（1，﹣1），画出△ABC关于关于y轴对称的△A′B′C′．
18．（8分）某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为．
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数．
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
19．（10分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
20．（10分）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．若+（x+2y﹣3）2＝0，则x+y的值为．
22．若是关于x，y的二元一次方程mx﹣y＝4的一个解，则点P（m+1，﹣2m）在平面直角坐标系中的第象限．
23．在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），B为x轴上一点，若△AOB为等腰三角形，且OB＝AB，则B 点的坐标为．
24．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是．
二、解答题（共30分）
26．（8分）某批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．新年来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案：
方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x（x≥20）件．
（1）分别写出优惠方案一购买费用y1（元）、优惠方案二购买费用y2（元）与所买乙种商品x（件）之间的函数关系式；
（2）若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其
余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．
27．（10分）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠B＝30°，在直角三角形ABD中，AD：BD：AB＝1：：2，且＝；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
（3）如图2，若AD＝2，BD＝4，求线段BC的长．
28．（12分）建立模型：
（1）如图 1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线 l 上．操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证△CAD≌△BCE．
模型应用：
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕着点A 顺时针旋转45°得到l2．求l2的函数表达式．
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点 A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：，，4.14是有理数，
是无理数，
故选：A．
2．【解答】解：A、＝2，故本选项错误；
B、＝3，故本选项错误；
C、＝3，故本选项错误；
D、＝±3，故本选项正确；
故选：D．
3．【解答】解：根据题意得，2x﹣1≥0，
∴x≥．
故选：C．
4．【解答】解：点（﹣1，2）在第二象限．
故选：B．
5．【解答】解：A、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形．
D、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形；
故选：C．
6．【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A错误，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，故B错误，是假命题；
C、两条平行直线北第三条直线所截，同旁内角互补，故C错误，是假命题，
D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，
故选：D．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝3，
在Rt△ABD′中，BD′＝BD＝3，AB＝3，∠ABD′＝90°，
∴AD′＝＝＝3，
故选：B．
8．【解答】解：A、∠B＜∠ACD，故本选项符合题意；
B、∵∠B+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，故本选项不符合题意；
C、∵∠B+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠B+∠ACB＜180°，故本选项不符合题意；
D、∵∠HEC＞∠AHD，∠AHD＞∠B，
∴∠HEC＞∠B，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．【解答】解：
在y＝﹣2x+3中，令y＝0可求得x＝1.5，令x＝0可得y＝3，
∴函数与x轴交点坐标为（1.5，0），与y轴的交点坐标为（0，3），∴函数图象经过第一、二、四象限，故A不正确、B正确；
∵﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故C不正确；
当x＝1时，y＝1≠2，
∴点（1，2）不在函数图象上，故D不正确；
故选：B．
10．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
二、填空题
11．【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．【解答】解：∵1.5＝，
+1＞3，
∴＞1.5．
故答案为：＞．
13．【解答】解：∵y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），∴方程组的解是．
故答案为．
14．【解答】解：给图中角标上序号，如图所示．
∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°．
故答案为：105°．
三、解答题
15．【解答】解：（1）原式＝1+﹣1﹣2＝﹣2；
（2）方程组整理得：，
①﹣②得：4y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x＝3，
则方程组的解为．
16．【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BCD，且AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF．
17．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示．
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求．
18．【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人），图①中m的值为×100＝25；
（2）∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为5；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，有＝6，
∴这组数据的中位数是6；
由条形统计图可得＝＝5.8，
∴这组数据的平均数是5.8．
（3）＝360（人）．
答：估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人．
故答案为：（1）40，25．
19．【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1＝6辆，租60座客车需要5﹣1＝4辆．220×6＝1320（元），300×4＝1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
20．【解答】解：（1）对于y＝x+3
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）
由y＝0得：y＝x+3，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，则，
解得．
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）设M（m，0），
则P（m，m+3）、Q（m，﹣m+3）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ＝|（﹣m+3）﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
∴S△PQB＝PQ•BD＝m2＝，
解得m＝±，
∴M（，0）或M（﹣，0）；
（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
∴BM2+BC2＝MC2
设M（x，0），则P（x，x+3）
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45 ∴x2+9+45＝（6﹣x）2，
解得x＝﹣．
∴P（﹣，）．
当点M在y轴的右侧时，如图3，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
一、填空题
21．【解答】解：∵+（x+2y﹣3）2＝0，
∴，
①+②，得：3x+3y＝﹣3，
则x+y＝﹣1，
故答案为：﹣1．
22．【解答】解：把代入二元一次方程mx﹣y＝4，得
3m﹣2＝4，
解得m＝2，
则点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中的第四象限．
故答案为四．
23．【解答】解：设B点的坐标为（a，0），
∴（a﹣3）2+42＝a2
解得a＝，
∴B点的坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
24．【解答】解：∵点P（1，）在“勾股一次函数”y＝的图象上，∴，即a+b＝，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是5，∴ab＝5，即ab＝10，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
即∴（）2﹣2×10＝c2，
解得c＝5，
故答案为：5．
25．【解答】解：分两步：
①连接AP，则AP＝AP′，
∴△A'PC周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，
∵A′P+PC≥AC，
当A、P、C三点共线时，A′P+PC有最小值，是AC的长，
所以AC与MN的交点就是点P，
由勾股定理得：AC＝＝3，
②连接CM，
∵A′C≥CM﹣A′M，
∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，
此时，∵M是AD的中点，
∴AM＝DM＝1.5，
∴MC＝＝，
由折叠得：AM＝A′M＝1.5，
∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，
∴△A'PC周长的最小值是：﹣+3，
故答案为：﹣+3．
二、解答题
26．【解答】解：（1）根据题意得：y1＝20×300+80×（x﹣20）＝80x+4400；
y2＝（20×300+80x）×0.8＝64x+4800．
（2）设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，则按照方案二的优惠办法购买了（20﹣m）件甲种商品，
根据题意得：w＝300m+[300（20﹣m）+80（40﹣m）]×0.8＝﹣4m+7360，
∵w是m的一次函数，且k＝﹣4＜0，
∴w随m的增加而减小，
∴当m＝20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低．
27．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）解：CD＝AD+BD，
理由：如图2，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；
（3）∵△DAB≌△EAC，
∴AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
∴DE＝AD＝＝6，
∵△ADH为直角三角形，∠DAH＝30°，
∴AH＝，
∴DH＝EH＝3，
∵CE＝BD＝4，
∴EC＝4，
∴CH＝7，
∴AC＝＝2，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴BC＝AC＝2．
28．【解答】解：
（1）如图1，
∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
在△ACD和△CBE中，
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（2）∵直线y＝x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，8）、B（﹣6，0），如图2，
过点B做BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴，在△BDC和△AOB中，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴CD＝BO＝6，BD＝AO＝8，
∴OD＝OB+BD＝6+8＝14，
∴C点坐标为（﹣14，6），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，C点坐标代入，得，解得，
∴l2的函数表达式为y＝x+8；
（3）∵点Q（a，2a﹣6），
∴点Q是直线y＝2x﹣6上一点，
当点Q在AB下方时，如图3，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F．
在△AQE和△QPF中，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
∴AE＝QF，即8﹣（2a﹣6）＝10﹣a，解得a＝4；
当点Q在线段AB上方时，如图4，
过点Q作EF⊥y轴，分别交y轴和直线BC于点E、F，则AE＝2a﹣14，FQ＝10﹣a．在△AQE和△QPF中，
∴△AQE≌△QPF（AAS），
AE＝QF，即2a﹣14＝10﹣a，
解得a＝8；
综上可知，A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值为4或8。