辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

大连二十高中2015--2016学年度下学期期中考试
高一数学试卷
考试时间:120分钟 试题分数：150分
卷 I
一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的.）
1.下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A ．1380°
B ．－60°
C ．600°
D ．－300°
2. tan690°的值为( ) A ．－
33 B.3
3
C. 3
D ．－ 3 3. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计 数据如右表：根据上表可得回归方程
^^^y b x a =+中的^
b 为9.4，据此模型预
报广告费用为6万元时销售额大约为( ) 万元
B ．65.5
C ．67.7
D ．72.0
4. 样本12310, , , a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310, , , b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本
1122331010, ,, , ,, , a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为( )
A. ()a b +
B. 2()a b +
C. 1()2a b +
D. 1
()10
a b +
5.1
arcsin()arccos02
-+的值为( )
A.
56
π B. π
C. 0
D. 3π-
6. 函数)0)(3
sin()(>+=ωπ
ωx x f 的图象的相邻两条对称轴间的距离是2π．若将函数)(x f 的
图象向右平移6
π
个单位，,再把图像上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到()g x ,则()
g x 的解析式为( ) A ．()sin(4)6g x x π
=+ B.()sin(8)3
g x x π
=- C.()sin()6
g x x π
=+ D.()sin 4g x x =
7. 1
()sin 22
f x x =+的最小正周期是( ) A. π
B.
2
π
C.
4
π
D. 2π
8. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时, 扇形的圆心角等于( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
9.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C 10. 若2sin sin 1θθ+=，则268cos cos cos θθθ++=（ ） A.
51
+ B.
35- C. 1 D. 4
3
11. 在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数2
2
()2f x x ax b π=+-+有零
点的概率为( ) A. 7
8 B. 3
4
C. 12
D. 1
4
12. 1
()(sin cos sin cos )2
f x x x x x =
++-的值域是( ) A. [1,1]-
B. 11[,]22
-
C. 2[,1]-
D. 2[1,]- 卷II (非选择题，共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．
13. ①函数y ＝cos(23x ＋π
2)是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝2；③若α、β是
第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π
4)的一条对称轴方程；
⑤函数y ＝tan(2x ＋π3)的图象关于点(π
12，0)成中心对称图形．
其中正确命题的序号为____________________.
14. 执行右面的程序框图，若输入的N 是5，那么输出的S 是_____. 15. 函数y ＝cosx 的定义域为[a ，b]，值域为[－1
2
，1]，则b －a 的
最小值为_______.
16. 某公司有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人
中抽取n 个人参加科技大会．如果采用系统抽样和分层抽样的 方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采 用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n=_______.
三、解答题（本大题共6小题，第17题10,其余每题12分，解题时写出详细必要的解答过程）
17. 已知1
tan()2
πα+=-，求下列各式的值． (1)
2cos()3sin()
34cos(2)cos()
2
παπαπ
απα--+-+-； (2)22sin 2sin cos 4cos αααα-+
18．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．
19. 某老师对本校2016届高三文科学生某次联考的数学成绩进行分析，抽取了20名学生的成绩
作为样本进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到频率分布表如下：
（1）求表中,a b 的值及分数在[90,100)范围内的学生数，并估计这次考试全体文科学生数学成绩
及格率（分数在[90,150]范围为及格）；
（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的
概率.
20. 已知函数()sin(
)3
f x A x π
φ=+,x R ∈,0 , 02
A π
φ><<
.()y f x =的部分图象如图所
示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．点R 的坐标为(1,0)，
34
PRQ π
∠=
(1)求()f x 的最小正周期以及解析式. (2)用五点法画出()f x 在111
[,]22
x ∈-上的图像.
分数段(分) 频数 频率 [50,70) a [70,90) [90,110) [110,130) b [130,150) 合计
茎
叶 5 6 6 8
7 8 0 2 6 9
10 0 2 6 6 11 6 8 12 8 13 6 14
2
21.已知函数12
()log )]4
f x x π
=-
.
(1)求()f x 的定义域和值域; （2）说明()f x 的奇偶性； （3）求()f x 的单调增区间；
22.已知2
()=231f x x x -+,()=sin() (0)6
g x k x k π
⋅-
≠.
(1)设()f x 的定义域为[0,3],值域为A; ()g x 的的定义域为[0,3],值域为B,且A B ⊆, 求实数k 的取值范围.
(2)若方程(sin )sin 0f x x a +-=在[0,2)π上恰有两个解,求实数a 的取值范围.
2015--2016学年度下学期期中考试
高一数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:1---5 DABCB 6---10 DAADC 11—12 BC
二、填空题:13. ①④⑤ 14. -399 15. 2π
3
16. 6
三、解答题:
17.解: 因为tan(π＋α)＝－12，所以tanα＝－1
2
，……… (2分)
(1)原式＝－2cosα－3(－sinα)4cosα＋sin(－α)＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα
4－tanα
……… (4分)
＝－2＋3×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－124－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝－79. ……… (5分)
(2)sin 2
α－2sinαcosα＋4cos 2
α＝sin 2
α－2sinαcosα＋4cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α
……… (7分) ＝tan 2
α－2tanα＋4tan 2
α＋1……… (9分) ＝1
4+1＋414
＋1＝215. ……… (10分) 18．解: (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，
2和3，2和4，3和4，共6个．……… (2分)
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．……… (4分)
因此所求事件的概率P ＝26＝1
3
. ……… (6分)
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个． ……… (8分)
又满足条件n<m ＋2的事件为:
(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4),(1，3)，(1，4)，(2，4)，共13个，……… (10分) 故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为P ＝13
16
.……… (12分)
19.（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，
∴2
0.120
a =
=，b ＝3． …………(2分) 又分数在[110,150)范围内的频率为5
0.2520
=，
∴分数在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴分数在[90,110)范围内的人数为20×0.4＝8，
由茎叶图可知分数[100,110)范围内的人数为4人， ∴分数在[90,100)范围内的学生数为8－4＝4（人）．…………(4分) 从频率分布表可知分数在[90,150)范围内的频率为0， 所以估计全校数学成绩及格率为65％ …………(6分) （2）设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130分”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为,,,,a b c d e ，…………(7分) 则选取学生的所有可能结果为：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e (,),(,)c d c e ,(,)d e ，
基本事件数为10，…………(9分)
事件“2名学生的平均得分大于等于130分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所以可能结果为：（118,142），（128,136），（128,142），（136, 142）， 共4种情况，基本事件数为4， …………(11分) 所以42
()105
P A ==． …………(12分)
20. 解:(1)由题意得：()f x 的最小正周期263
T π
π
=
=,…… (1分)
因为P(1，A)在()sin()3f x A x π
φ=+的图像上,所以sin()13
π
φ+=， 所以
2 ()3
2
k k Z π
π
φπ+=
+∈,即2 ()6
k k Z π
φπ=
+∈，又因为02
π
φ<<
，
因此，6
π
φ=
…… (3分)
过Q 做QD ⊥x 轴，垂足为D,设0(,0)D x ，则0(,)Q x A -，由周期为6可知，RD=3， 由于34PRQ π∠=
，所以4
DRQ π
∠=,于是QD= RD=3，所以A=3, ()3sin()36
f x x ππ
∴=+ …… (6分) (2)列表:
21.解:(1)2)04x π-> ,即sin()04x π->，所以224
k x k π
πππ<-<+， 所以52244
k x k ππ
ππ+<<+
因此()f x 的定义域为5(2,2) ()44
k k k Z ππ
ππ++∈ ……… (2分)
又因为0sin()14x π
<-
≤，所以02)24
x π
<-≤ (3分)
再考察12
log (02)y t t =<≤
的图像，可知1
2
y ≥-，
所以()f x 的值域为1
[,)2
-
+∞……… (5分) (2) 由(1)知()f x 的定义域不关于原点对称，故()f x 是非奇非偶函数. …… (8分) (3)由题意可知222
4
k x k π
π
πππ+
<-
<+ …… (10分)
即352244
k x k ππ
ππ+<<+
， 所以()f x 的单调增区间为35(2,2) ()44
k k k Z ππ
ππ+
+∈…… (12分) 22.解：（1）当[0,3]x ∈时，由于()f x 图像的对称轴为3
=
4
x ，且开口向上，可知 min 31
()()48
f x f ==-，max ()(3)10f x f ==，
所以()f x 的值域
1[,10]8
A =-……… (1分) 当[0,3]x ∈时， ()[,3]6
66x π
π
π-
∈-
-，1
sin()[,1]62
x π-∈-……… (2分) 所以当0k >时，()g x 的值域1
[,]2
B k k =-
所以当0k <时，()g x 的值域1
[,]2
B k k =-
……… (4分) A B ⊆，所以0
0111 288101102
k k k k k k ⎧
⎪><⎧⎪⎪⎪⎪
-≤-≤-
⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩或……… (5分) 即 10 20k k ≥≤-或 ……… (6分) （2）
(sin )sin 0f x x a +-=，所以22sin 2sin +10x x a --=在[0,2)x π∈上恰有两个
解，……… (7分)
设sin t x =，则[1,1]t ∈-，令2
()22+1h t t t a =--，
①当(1,1)t ∈-时，由题意()0h t =恰有一个解或者有两个相等的解,
即(1)(1)0h h -⋅-<或48(1)0a =--=，即15a <<或1
2
a =
……… (9分) ②若1t =-是方程2
22+10t t a --=的一个根，此时5a =，且方程的另一个根为2t =，于
是sin 1x =-或sin 2x =,因此32
x π
=，不符合题意， 故5a =(舍). ……… (10分)
③若1t =是方程2
22+10t t a --=的一个根，此时1a =，且方程的另一个根为0t =，于是
sin 1x =或sin 0x =,因此0x =或
2
π
或π，不符合题意，故1a =(舍). ……… (11分) 综上, a 的取值范围是15a <<或1
2
a = ……… (12分)。