2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二（下）期末数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（）A．8B．7C．4D．3
2．（5分）设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|＝1}，则A、B间的关系为（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅3．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（）
A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i
4．（5分）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a的值是（）A．B．C．D．
5．（5分）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）
A．p1p2B．p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）
C．1﹣p1p2D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）
6．（5分）函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x＝﹣3时取得极值，则a＝（）A．2B．3C．4D．5
7．（5分）设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度曲线如图所示，则有（）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
8．（5分）一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取
4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝12，Dξ＝2.4，则n与p的值分别是（）A．15与0.8B．16与0.8C．20与0.4D．12与0.6 10．（5分）函数y＝x2e x的单调递减区间是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）与（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）与（0，+∞）D．（﹣2，0）
11．（5分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前55个圈中的●的个数是（）
A．10B．9C．8D．11
12．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为﹣1，给出以下结论：
①f（x）的解析式为f（x）＝x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于0．
其中正确的结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）＝．
14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝．15．（5分）在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续
2天预报准确的概率是．
16．（5分）已知n为正整数，在二项式（+2x）n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．则n的值为，展开式中第项的系数最大．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（I）求复数z
（II）若复数+m2（1+i）﹣2i+2m﹣5为纯虚数，求实数m的值．
18．（12分）已知（1+m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x项的系数为84，
（I）求m，n的值
（II）求（1+m）n（1﹣x）的展开式中有理项的系数和．
19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收
入为R（x）万元，且R（x）＝
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入﹣年总成本）
20．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．
21．（12分）过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2＝1交于点M，N．（1）写出直线的一个参数方程；
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．
22．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二（下）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
故选：A．
2．【解答】解：集合B＝{（x，y）|y＝x，x≠0}，∴根据描述法的定义，集合B中所有元素都是A的元素，而集合A中存在元素（0，0）∉B；
∴根据真子集的定义有：B⊊A．
故选：B．
3．【解答】解：将z＝1﹣i代入得，
故选：A．
4．【解答】解：由f（x）＝ax3+3x2+2，得f′（x）＝3ax2+6x．
所以f′（﹣1）＝3a﹣6＝4，解得．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意，恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，则所求概率是p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1），
故选：B．
6．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）＝3x2+2ax+3
∵f（x）在x＝﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）＝0⇒a＝5，验证知，符合题意
故选：D．
7．【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，
∴σ1＜σ2
故选：A．
8．【解答】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，
根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为，
故选：D．
9．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝12，Dξ＝2.4，∴np＝12，且np（1﹣p）＝2.4，
解得n＝15，p＝0.8．
故选：A．
10．【解答】解：由y′＝2xe x+x2e x＜0，解得﹣2＜x＜0．
∴函数y＝x2e x的单调递减区间是（﹣2，0）．
故选：D．
11．【解答】解：将圆分组：
第一组：〇●，有2个圆；
第二组：〇〇●，有3个圆；
第三组：〇〇〇●，有4个圆；
…
每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为
s n＝2+3+4+…+（n+1）＝×n，
令s n＝55，
解得n≈9.6，
即包含9整组，
故含有●的个数是9个，
故选：B．
12．【解答】解：函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c＝0；
又f′（x）＝3x2+2ax+b，且f（x）在x＝±1处的切线斜率均为﹣1，
则有，解得a＝0，b＝﹣4．
所以f（x）＝x3﹣4x，f′（x）＝3x2﹣4．
①可见f（x）＝x3﹣4x，因此①正确；
②令f′（x）＝0，得x＝±．因此②不正确；
所以f（x）在[﹣，]内递减，
且f（x）的极大值为f（﹣）＝，极小值为f（）＝﹣，两端点处f（﹣2）＝f（2）＝0，
所以f（x）的最大值为M＝，最小值为m＝﹣，则M+m＝0，因此③正确．所以正确的结论为①③，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
E（X）＝＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
∴μ＝2，
∵P（ξ≤4）＝0.84，
∴P（ξ≥4）＝1﹣0.84＝0.16，
∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝0.16，
故答案为：0.16．
15．【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：
①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，
第二三天预报准确．
在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，
∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是
p＝0.83+0.82×0.2+0.2×0.82＝0.768．
∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．
故答案为：0.768．
16．【解答】解：前三项的系数分别为，，，
根据题意，可得为++＝79，
∵n为正整数，检验可得，n＝12，故二项式即（+2x）n＝（+2x）12，
它的通项公式为T r+1＝••（2x）r＝•22r﹣12•x r，故第r+1项的系数为
•22r﹣12，r＝0，1，2，3，…12，
由，求得r＝10，即第11项的系数最大，
故答案为：12；11．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（Ⅰ）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），
由|z|＝，得a2+b2＝5，
又复数（1+3i）z＝（a﹣3b）+（3a+b）i在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．
则a﹣3b＝3a+b，即a＝﹣2b，
又a＞0，∴a＝2，b＝﹣1，则z＝2﹣i；
（Ⅱ）∵+m2（1+i）﹣2i+2m﹣5＝m2+2m﹣3+（m2﹣1）i为纯虚数，
∴，解得m＝﹣3．
18．【解答】解：（I）由题意可知，2n＝128，解得n＝7．
∵含x项的系数为•m2＝84，m＝2．
（II）（1+m）n的展开项通项公式为T r+1＝•m r•，
（1+m）n展开式的有理项分别为T1、T3、T5、T7，
（1+m）n（1﹣x）的展开式有理项的系数和为0．
19．【解答】解：（1）当；
当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝98﹣﹣2.7x．
∴W＝
（2）①当0＜x＜10时，由W'＝8.1﹣＝0，得x＝9，
且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，
∴当x＝9时，W取最大值，且
②当x＞10时，
当且仅当，
即x＝时，W＝38，
故当x＝时，W取最大值38．
综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
20．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，
则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5
P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，
P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，
P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，
P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝
，
或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，
故分布列为：
E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．
21．【解答】解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2＝1，整理得
+＝0，
∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得sin2α≤，∵α∈[0，π），∴．
∴|PM|•|PN|＝|t1t2|＝≥＝．当且仅当，即α＝或
时取等号．
∴当α＝或时，|PM|•|PN|的最小值为．
22．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y ＝，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．
故﹣≥a﹣2，
解得a ≤，
故a的取值范围为（﹣1，]．
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