【优质文档】2017-2018学年甘肃省张掖市高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?U M）=（）
A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}
2．（5分）若直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，则实数m的值是（）A．﹣B．C．﹣D．
3．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
4．（5分）函数的定义域为（）
A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
5．（5分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖
去部分的体积之比为（）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2
6．（5分）用斜二侧画法画出的三角形是斜边为的等腰直角三角形，则原三
角形的面积（）
A．B．a2C．D．2
7．（5分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0
9．（5分）已知l，m，nn为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断
正确的是（）
A．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
10．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）
A．90 cm2B．129 cm2C．132 cm2D．138 cm2
11．（5分）关于x的方程（）|x|+a﹣1=0有解，则a的取值范围是（）A．0≤a＜1 B．﹣1＜a≤0 C．a≥1 D．a＞0
12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有
＞0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为．14．（5分）log327+lg=．
15．（5分）函数，当x=3时，y＜0．则该函数的单调递减区间是．
16．（5分）如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE 边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下
描述：①AB与DE所成角的正切值为；②AB∥CE；③V B﹣ACE=；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号
为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10分）已知集合．
（Ⅰ）当a=1时，求（?R B）∪A；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．
（Ⅰ）求过A点且垂直于BC的直线方程；
（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
19．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=CE=2，求三棱锥F﹣ABC的体积．
20．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．设．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA1=3，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．
22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足，定义域为实数集R的函数．
（Ⅰ）讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）≥0恒成立，求实数k 的取值范围．
2017-2018学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?U M）=（）
A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}
【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．
故选C
2．（5分）若直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，则实数m的值是（）A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：∵直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，
∴tan30°=﹣，
∴m=﹣，
故选：C．
3．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
4．（5分）函数的定义域为（）
A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C． D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：由，解得x＞﹣2且x≠﹣1．
∴函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．
故选：B．
5．（5分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖
去部分的体积之比为（）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．1：2
【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；
V圆锥=?πｒ3，V半球=×πｒ3=πｒ3，
∴V=V半球﹣V圆锥=πｒ3，
∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，
故选：C
6．（5分）用斜二侧画法画出的三角形是斜边为的等腰直角三角形，则原三
角形的面积（）
A．B．a2C．D．2
【解答】解：三角形的直观图是斜边为a的等腰直角三角形，
∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，
且直角边分别为a，2a，
∴原三角形的面积为×a×2a=a2．
故选：C．
7．（5分）已知，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：，
则b=1，c＞30=1，且c＜3，
a=31.1＞3，
即有a＞c＞b，
即b＜c＜a．
故选：D．
8．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）
A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0
【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，
因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，
所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），
化简得：x+2y﹣5=0，
故选：A．
9．（5分）已知l，m，nn为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（）
A．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
【解答】解：对于A，过m作平面γ∩α=a，过m作平面θ∩β=b，
∵m∥α，m?γ，α∩γ=a，
∴m∥a，同理：m∥b，
∴a∥b，
又a?β，b?β，
∴a∥β，又a?α，α∩β=l，
∴a∥l，又a∥m，
∴m∥l，故A正确；
对于B，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m∥n，故B错误；
对于C，若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m与n异面，故C错误；对于D，若l?α，显然结论不成立，故D错误．
故选A．
10．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）
A．90 cm2B．129 cm2C．132 cm2D．138 cm2
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
可知该几何体为组合体，左边是直三棱柱，右边为长方体，
其表面积为2（4×6+4×3）+3×6+3×3+3×4+2（）+3×5=138 cm2，故选：D．
11．（5分）关于x的方程（）|x|+a﹣1=0有解，则a的取值范围是（）A．0≤a＜1 B．﹣1＜a≤0 C．a≥1 D．a＞0
【解答】解：若关于x的方程（）|x|+a﹣1=0有解，
则关于x的方程（）|x|﹣1=﹣a有解，
∵（）|x|∈（0，1]，
∴（）|x|﹣1=﹣a∈（﹣1，0]，
∴0≤a＜1，
故选：A
12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，
∴函数f（x）=在R上单调递增，
∴，
解得：a∈[4，8），
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为．
【解答】解：直线2x+3y+1=0，即4x+6y+2=0，∵它与直线4x+my+7=0平行，∴m=6，
则它们之间的距离为=，
故答案为：．
14．（5分）log327+lg=3．
【解答】解：log327+lg
=3log33﹣lg102+lne+×2
=3﹣2++×3
=3．
故答案为：3．
15．（5分）函数，当x=3时，y＜0．则该函数的单调递减区间是（1，+∞）．
【解答】解：函数，当x=3时，y＜0，
当x=3时，2x2﹣3x+1=10，即log a10＜0，
可得：0＜a＜1，
令函数2x2﹣3x+1=u，（u＞0）则y=log a u是减函数，
函数u=2x2﹣3x+1，开口向上，对称轴为x=，
∵u＞0，
即2x2﹣3x+1＞0，
解得：x＞1或x＜．
∴函数u在（1，+∞）单调递增，
函数u在（﹣∞，）单调递减，
根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
16．（5分）如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿BE
边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值为；②AB∥CE；③V B﹣ACE=；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号为③
④．
【解答】解：∵正方形BCDE的边长为a，
已知AB=BC，将△ABE沿BE边折起，
折起后A点在平面BCDE上的射影为D点
∴AB=a，AE=a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，
在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，
∵AB=a，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，
∴tan∠ABC=，∴AB与DE所成角的正切值为，故①错误；
在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线，故②错误；
在③中，V B﹣ACE=S△BCE?AD=×a3=a3，故③正确；
在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC?平面ABC，
∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D，
∴BC?平面ADC，又BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确．
故答案为：③④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知集合．
（Ⅰ）当a=1时，求（?R B）∪A；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，集合A={x|0＜2x+1≤3}={x|﹣＜x≤1}，
B={x|﹣＜x＜2}，
∴?R B={x|x≤﹣或x≥2}，
∴（?R B）∪A={x|x≤1或x≥2}；
（Ⅱ）若A∩B=A，则A?B，
∵A={x|0＜2x+a≤3}={x|﹣＜x≤}，
∴，
解得﹣1＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣1，1]．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6）．（Ⅰ）求过A点且垂直于BC的直线方程；
（Ⅱ）求过B点且与点A，C距离相等的直线方程．
【解答】解：（I）k BC==，∴与BC垂直的直线斜率为﹣2．
∴过A点且垂直于BC的直线方程为：y﹣0=﹣2（x﹣4），化为：2x+y﹣8=0．
（II）当经过点B的直线方程斜率不存在时，不满足要求．
当经过点B的直线方程斜率存在时，设为k，则直线方程为：y﹣10=k（x﹣8），即kx﹣y+10﹣8k=0．
则=，解得k=或k=﹣．
因此所求的直线方程为：7x﹣6y+4=0，或3x+2y﹣44=0．
19．（12分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=CE=2，求三棱锥F﹣ABC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，∴OF∥DE．
又OF?面ACF，DE?面ACF，
∴DE∥平面ACF…．（4分）
（II）由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
解：（III）取BC中G，连结FG，
在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥底面ABCD，
∵FG是△BCE的中位线，∴FG⊥底面ABCD，
∵AB=，∴FG=，
∴三棱锥F﹣ABC的体积V==××4×=．
20．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．设．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知g（x）=a（x﹣2）2﹣4a+b，
∵a＞0，∴g（x）在[0，1]上是减函数，
∴，解得a=1，b=1，
（Ⅱ）由于f（2x）﹣k?2x≥0，则有2x+﹣4﹣k?2x≥0，
整理得k≤1+（）2﹣4?（），
令t=，则1+（）2﹣4?（）=t2﹣4t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
令h（t）=t2﹣4t+1，t∈[，2]，
则h（t）∈[﹣3，﹣]．
∵k≤h（t）有解，
∴k≤﹣，
故故符合条件的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣]．
21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA1=3，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，设BC1∩B1C=O，则O为BC1的中点，连结OD，
∵D为AB的中点，∴OD∥AC1，
又∵OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
（Ⅱ）∵AC=4，BC=3，AB=5，AA1=3，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴AC⊥CC1，
又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，
∵BC1?平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）得AC⊥平面B1BCC1，
∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影，
∴∠AB1C是直线AB1与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△AB1C中，B1C=3，AC=4，
∴tan∠AB1C==，
∴直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值为．
22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足，定义域为实数集R的函数．
（Ⅰ）讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）≥0恒成立，求实数k 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）=a x，（a＞0且a≠1），
∴g（）==，解得a=2，
∴f（x）==﹣1+，
任取x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣1++1﹣=，∵x1＜x2，考虑函数y=2x在R上为增函数，
∴﹣＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数y=f（x）在R上单调递减；
（Ⅱ）∵f（x）=，
∴f（﹣x）===﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）≥0恒成立，∴f（2t﹣3t2）≥﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），
∵函数y=f（x）在R上单调递减，
∴2t﹣3t2≤k﹣t2，
∴k≥﹣2t2+2t=﹣2（t﹣）2+，
令h（t）=﹣2（t﹣）2+≤，
∴k≥，
故k的取值范围为[，+∞）．。