翁牛特旗第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)

翁牛特旗第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 3． 已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． （理）已知tan α=2，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
6． 设偶函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0，则不等式＞0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
7． 设P 是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
8． 在△ABC 中，AB 边上的中线CO=2，若动点P 满足=（sin 2θ）+（cos 2θ）
（θ∈R ），则（+）
•
的最小值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．0
9． 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A．B．C．D．10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）
A．1 B．C．D．
11．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
12．若一个球的表面积为12π，则它的体积为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，
其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．
14．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 15．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
16．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
17．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．
18．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，12n n a S +=（其中*)n ∈N ，则n S = .
三、解答题
19．（本小题满分12分） 设函数mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；
（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．
20．椭圆C ：
=1，（a ＞b ＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM
的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．
（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．
22．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．
23．若数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有
．
24．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5
B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．
翁牛特旗第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C 83
=56，
所以所求概率为
=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r ，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 3． 【答案】C
【解析】 令得
，所以
，即
，所以
是以1为公差的等差数列，首项为
，
所以
，故选C
答案：C
4． 【答案】D
【解析】解：∵tan α=2
，∴
=
=
=
．
故选D ．
5． 【答案】A 【
解
析
】
6． 【答案】B
【解析】解：∵f（x）是偶函数
∴f（﹣x）=f（x）
不等式，即
也就是xf（x）＞0
①当x＞0时，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②当x＜0时，有f（x）＜0
∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2），
∴﹣x＞2⇒x＜﹣2
综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
故选B
7．【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．
8．【答案】C
【解析】解：∵=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），
且sin2θ+cos2θ=1，
∴=（1﹣cos2θ）+（cos2θ）=+cos2θ•（﹣），
即﹣=cos2θ•（﹣），
可得=cos2θ•，
又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OC上，
由于AB边上的中线CO=2，
因此（+）•=2•，设||=t，t∈[0，2]，
可得（+）•=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，
∴当t=1时，（+）•的最小值等于﹣2．
故选C．
【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】
考点：三视图．
10．【答案】C
【解析】解：第一次循环第二次循环得到的结果第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果
…
所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S
∵2011=502×4+3
所以输出的S是
故选C
11．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：设球的半径为r，
因为球的表面积为12π，
所以4πr2
=12π，所以r=，
所以球的体积V==4π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】
②
【解析】解：由MP ，OM
分别为角的正弦线、余弦线，如图，
∵
，
∴OM ＜0＜MP ． 故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
14．
【答案】π.
【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ
⎧≠+⎪⎨⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,
)(,)244442k k k k k k π
π
π
π
ππ
ππππππ-
+-
+-
++++，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而
可知其最小正周期为π，故填：π.
15．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
16．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
17．【答案】 38 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y 得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，
由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38
18．【答案】1
3n --
【解析】∵12n n a S +=，∴12n n n S S S +-=， ∴∴13n n S S +=，11133n n n S S --=⋅=．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211
()x mx f x x m x x
-+'=+-=．
令()0f x '=，得2
10x mx -+=．
当2
40m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．
当2
40m ∆=->，即2m >时，由2
10x mx -+=解得
12m x =
，22
m x =，且120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，
∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．
（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．
又∵1
()(2)ln 2
f x x x m x =
-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．
当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，
且211(()(ln
m m m m f x =+-
=+222
04
m m -+-<<，
4014
<=<=（∵2m >），
∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，
又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．
（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，
则有
()()f x f x x '=，即2
1ln 2x x mx x +-1x m x =+-， 化简得：2
1ln 102x x -+=（0x >）．（*）
记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211
()x g x x x x
-'=-=，
令()0g x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，
∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当
0x >时，213
ln 12
2
x
x -+≥．
由此说明方程（*）无解，∴曲线(
)y f x =没有经过原点的切线．
20．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C ：
=1，（a ＞b ＞0）的离心率
，点（2，）在C 上，可得，
，解得a
2=8，b 2
=4，所求椭圆C 方程为：
．
（2）设直线l ：y=kx+b
，（k ≠
0，b ≠0），A
（x 1，y 1），B （x 2
，y
2），M （x
M ，y M ），
把直线y=kx+b 代入可得（2k 2+1）x 2+4kbx+2b 2
﹣8=0，
故x M =
=
，y M =kx M +b=
，
于是在OM 的斜率为：K OM =
=
，即K OM k=
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．
（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设AA1=h，
由题设=﹣=10，
∴
即，解得h=3．
故A1A的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1=，=，
∴，
则cos∠O1BC===．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．23．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜
=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y），
∵，∴x+y=17，①
∵，
=，
∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②
由①②解得或，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，
共有个基本事件，
∴P（C）=，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．。